하다마르의 부등식

수학에서 하다마드의 불평등(결정요인에^[1] 대한 하다마드의 정리라고도 한다)은 자크 하다마드가 1893년에 처음 발표한 결과물이다.^[2] 이 값은 열 벡터의 길이 측면에서 항목이 복잡한 행렬의 결정 인자에 대한 한계다. 기하학적 용어로, 실제 숫자로 제한되는 경우, 이 벡터 v의_i 길이 측면에서 1 ≤ i ≤ n에 대해 n 벡터 v로_i 표시된 n 치수의 유클리드 공간의 체적을 제한한다.

구체적으로는, Hadamard의 불평등에는 N이 행렬이^[3]_i v열로 되어 있으면, 그 다음이라고 되어 있다.

${\displaystyle \left \det(N)\오른쪽 \leq \prod _{i=1}^{n}\ v_{i}\ .}$

n 벡터가 0이 아닌 경우, 벡터가 직교하는 경우에만 하다마드의 불평등에서 균등이 달성된다.

대체 양식 및 Corollaries

n by n matrix N의 항목이 B로 제한되면 모든 i와 j에 대해_ij N ≤B로 제한된다.

${\displaystyle \left \det(N)\오른쪽 \leq B^{n^{n/2}.}$

특히 N의 항목이 +1과 -1인 경우에만 해당된다^[4].

${\displaystyle \left \det(N)\오른쪽 \leq n^{n/2}.}$

조합학에서, 평등이 유지되는 행렬 N, 즉 직교 기둥을 가진 행렬을 Hadamard 행렬이라고 한다.

양성-세미드핀 행렬 P는 NN으로 작성할^* 수 있으며, 여기서 N은^* N의 결합 전이를 나타낸다(Cholesky 분해 참조). 그러면

${\displaystyle \det(P)=\det(N)^{2}\leq \prod_{i=1}{n}\{n}\v_{i}\{2}=\prod _{i=1}{i=1}^{n}p_{ii}.}$

따라서 양의 확정 행렬의 결정 인자는 대각선 입력의 산물보다 작거나 같다. 때때로 이것은 또한 Hadamard의 불평등이라고도 알려져 있다.^[2][5]

증명

행렬 N이 단수일 경우 결과는 사소한 것이므로 N의 열이 선형적으로 독립적이라고 가정한다. 각 열을 그 길이로 나누면 각 열의 길이가 1인 특수 사례, 즉 e가_i 단위 벡터이고 M이 e를_i 열로 갖는 행렬인 경우 그 결과가 동등하다는 것을 알 수 있다.

$\displaystyle \left \det M\right \leq 1,}$

(1)

그리고 벡터가 직교 집합인 경우에만 평등이 달성된다. 이제 일반적인 결과는 다음과 같다.

${\displaystyle \left \det N\right ={\bigg (}\prod _{i=1}\v_{i}\\\{\bigg )}\왼쪽 \det M\req \reprod \{i=1}^{n}\v_{i}\.}}}}}$

(1)을 증명하기 위해 P =MM을^* 고려하고 P의 고유값을 ,, λ₁₂, … λ으로_n 한다.M의 각 열의 길이는 1이므로 P의 대각선 각 입력은 1이므로 P의 흔적은 n이다. 산술적, 기하학적 수단의 불평등을 적용하면

${\displaystyle \det P=\prod _{i=1}^{n}\lambda _{i=1}^{n}\lambda _{i}{\bigg )^{n}^{n}=\{1 \overn}\operatorname {tr}Prig\rig\rig\rig)^{n}=1^{n}=1,}$

그렇게

${\displaystyle \left \det M\right ={\sqrt {\det P}\leq 1.}$

평등이 있다면 λ의_i 각자는 모두 평등해야 하고 그 합은 n이므로 모두 1이어야 한다. 행렬 P는 에르미트어이므로 대각선이 가능하므로 ID 행렬이다. 즉, M의 열은 직교 집합이고 N의 열은 직교 집합이다.^[6] 다른 많은 증거들은 문헌에서 찾을 수 있다.^[7]

참고 항목

• 피셔의 부등식

메모들

참조

• Maz'ya, Vladimir; Shaposhnikova, T. O. (1999). Jacques Hadamard: A Universal Mathematician. AMS. pp. 383ff. ISBN 0-8218-1923-2.
• Garling, D. J. H. (2007). Inequalities: A Journey into Linear Analysis. Cambridge. p. 233. ISBN 978-0-521-69973-0.
• Riesz, Frigyes; Szőkefalvi-Nagy, Béla (1990). Functional Analysis. Dover. p. 176. ISBN 0-486-66289-6.
• Weisstein, Eric W. "Hadamard's Inequality". MathWorld.

추가 읽기

• Beckenbach, Edwin F; Bellman, Richard Ernest (1965). Inequalities. Springer. p. 64.