그레이엄-로스차일드 정리

수학에서 Graham-Rothchild 정리는 단어와 결합 정육면체의 결합에 램지 이론을 적용하는 정리다.1971년 증거를 발표한 로널드 그레이엄과 브루스 로스차일드(Bruce Lee Rothschild)의 이름을 따서 지은 것이다.^[1]1972년 그레이엄, 로스차일드, 클라우스 렙[de]의 작품을 통해 구조적인 램지 이론의 토대가 되었다.^[2]그레이엄-로스차일드 정리의 특별한 사례는 그레이엄 수의 정의에 동기를 부여하는데, 이 숫자는 사이언티픽 아메리칸의^[3] 마틴 가드너에 의해 대중화되었고 수학적 증거에 나타난 가장 큰 숫자로 기네스북에 등재되었다.^[4]

배경

정리에는 모두 길이가 같은 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$과$($와) 알파벳에 작용하는 그룹과 함께 길이가 같은 문자열 집합이 포함된다.결합 입방체는 문자열이 고정된 문자를 포함하도록 문자열의 일부 위치를 구속하고, 그룹 작용에 의해 서로 동등하거나 서로 연관되도록 다른 위치 쌍을 구속함으로써 결정된 문자열의 하위 집합이다.이 결정은 고정 문자를 포함하도록 제약되지 않는 위치에 와일드카드 문자가 있는 문자열과 그룹 동작에 의해 동일하거나 관련되어야 하는 와일드카드 문자를 설명하는 추가 라벨을 사용하여 더 공식적으로 지정할 수 있다.조합 큐브의 치수는 이러한 와일드카드 문자에 대해 자유롭게 선택할 수 있는 수입니다.치수 1의 결합 입방체를 결합선이라고 한다.^[4]

예를 들어, tic-tac-toe 게임에서 tic-tac-toe 보드의 9개의 셀은 3개의 상징 문자 {1,2,3}(세포의 카르테시안 좌표)에 걸쳐 2개의 줄로 지정할 수 있으며, 3개의 셀의 승선은 결합선을 형성한다.수평선은 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$ -coordinate$$(길이 2 문자열의 두 번째 위치)를 고정하고 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ -coordinate를$$ 자유롭게 선택하여 얻고, 수직선은 $x{\displaystyle }$ ${\displaysty x}$ -coordinate를$$ 고정하고 $y{\displaystyle }$ ${\displaysty y}$ -coordinate를$$ 초로 하여 얻는다.거리낌없이 말하다tic-tac-toe 보드의 두 대각선은 (주 대각선의 경우) 같도록 구속되거나 (대각선의 경우) 1과 3자를 스왑하는 그룹 작용에 의해 관련되도록 구속되는 두 개의 와일드카드 문자를 가진 매개변수 워드로 지정할 수 있다.^[5]

The set of all combinatorial cubes of dimension ${\displaystyle d}$, for strings of length ${\displaystyle n}$ over an alphabet ${\displaystyle A}$ with group action ${\displaystyle G}$, is denoted ${\displaystyle [A,G]{\tbinom {n}{d}}}$. A subcube of a combinatorial cube is anothe더 큰 조합 큐브에서 문자열 집합의 하위 집합을 구성하는 더 작은 차원의 조합 큐브결합형 큐브의 하위 큐브도 매개 변수 단어에 대한 자연적 구성 작용으로 설명할 수 있으며, 한 매개 변수 단어의 기호를 다른 매개 변수 단어의 와일드카드로 대체함으로써 얻을 수 있다.^[4]

성명서

기호 위와 함께, Graham–Rothschild 정리 매개 변수로 빛깔의{A\displaystyle}, 집단 행동 G{G\displaystyle}, 한정이었고 넌 결코 모르네{r\displaystyle}, 그리고 조합 입방체 m{m\displaystyle}이고, k{k\displaystyle}의 6을과 2차원, k{\displaystyle m& 알파벳이 걸린다.gt, k}. $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $A$$\},$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $G$$\},$ r ${\displaystyle$ r$\},$ $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m$ k ${\$$displaystyle$ $k}$의 모든 조합에 대해 문자열 길이 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$ {\$displaystystylementaleq m}$이 존재한다고 명시되어 있으며${\displaystyle ,}$ 만일 각 조합이 [${\displaystyle A}$, [$A$${\displaystyle ]}$에 있다$.$$le [A$$,$$G]{\tbinom{n}{k}}}}$에는 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$색$$ 중 하나가 할당되고$,{\displaystyle }$ 그 다음 [${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle ]}$ (${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{n}{}}$ m${\displaystyle }$) ${\$$displaystyle$$[A,G]{\tbinom${$n}{$$m}}}}}}}}$에 조합 큐브가 있으며, 모두 $동일$한 색상이 지정되어 있다.^[5]

Graham-Rothchild 정리의 비위생적인 버전도 알려져 있다.^[6]

적용들

$m{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle m=1$$\},$ ${\displaystyle \mathrm{k}}$= $0{\displaystyle }$ ${\displaystyle k=0}$을 가진 그레이엄-로스차일드 정리의 특별한 경우, 사소한 집단 작용은 할레스-제트 정리로, 주어진 알파벳에 걸쳐 긴 문자열을 모두 색칠하면 단색 결합선이 존재한다고 명시한다.^[5]

Graham의${\displaystyle 번호}$는 ${\displaystyle \mathrm{A}}$ =$$2 {\$displaystyle A$=${\displaystyle 2\},<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; |A|=2\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/6604b053e7462fd23b8d4c87b5bcc37c26e5a514"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:7.298ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="124">}$ r =$$2 {\$displaystyle$r$=$$2{\displaystyle \},}$ ${\displaystyle \mathrm{m}}$ =$$2 {\$displaystyle$m$=$$2{\displaystyle \},}$ ${\displaystyle \mathrm{k}}$ =$$1 {\$displaystyle$k$=$1}, 그리고 비교 그룹 액션을 가진 Graham-Rothchild의 경계선이다.이러한 파라미터의 경우 이진 알파벳을 통한$$ 길이 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ 문자열 집합은 n ${\displaystyle n}$ -차원$$ 하이퍼큐브의 정점을 설명하며, 이 $두{\displaystyle }$ 문자열은 모두 결합선을 형성한다.모든 조합 선 세트는 정점에 있는 완전한 그래프의 가장자리라고 설명할 수 있다.정리는 고농축 치수 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$의 경우$,$ 이 전체 그래프의 가장자리 세트가 두 가지 색상으로 할당될 때마다 공통 기하학적 평면에 속하며 6개의 가장자리가 모두 동일한 색상으로 할당되는 단색 콤비네이터리틱 정점 세트가 존재한다고 명시하고 있다.그레이엄의 숫자는 반복적인 지수를 사용하여 계산된$$이 $숫자{\displaystyle }$ n ${\displaystyle n}$에 대한 상한으로, 그레이엄-로스차일드 정리의 문장이 참인 가장$$ $작은{\displaystyle }$ n$${\$displaystyn}$보다 상당히 큰 것으로 생각된다.^[4]

참조