고파 코드

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수학에서 Goppa 코드로 알려진 대수 기하학 코드(AG-code)는 한정된 필드 $F{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$에 대해 대수 곡선 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X}을(를$)$ 사용하여 구성된 일반적인 형태의 선형 코드로$,$ 발레리 데니소비치 고파가 도입했다. 특히, 그들은 흥미로운 극단적 특성을 가질 수 있다. 예를 들어, 매 켈리스 암호 시스템에서 사용되는 이진 Goppa안 된다 혼동해서는 코드와.

건설

$전통적$으로 AG 코드는 $유한{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ $필드{\displaystyle \mathbf{}}$ F$$$q$ {\$displaystyle$ $\mathb {F$$}$ $_{q}$에 대한 비송도 투사 곡선 X에서 X ${\$displaystyle $\$$mathbb {F$} $_{$q}}_$$$}$의 고정 고유 F$$\$displaystypoints$를 사용하여 생성된다$.$

${\displaystyle {\mathcal {P}:=\{P_{1},\ldots, P_{n}\}\subset \mathbf {X}(\mathb {F} _{q})}$

$합리적$인 포인트로만 구성되며 $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$$예{\displaystyle \mathcal{}}$: P ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle \mathrm{supple}}$ ${\displaystyle (G}$) =$∅{\displaystyle{P}\cap \operatorname {supt}(G$)=$varnote})$와 분리되는 지원을 사용하여 G${\$disor가 되도록$$ 한다.$$

리만-로치 정리에 의해, $디비저{\displaystyle }$ G ${\displaystyle$G$\}$에 관한 $고유$의 유한차원 벡터 공간 L (G){\displaystyle $L(G)}$이 있다$.$ 벡터 공간은 X의 함수 영역의 하위 공간이다.

위의 정보를 사용하여 구성할 수 있는 AG 코드는 크게 두 가지 유형이 있다.

함수코드

$곡선{\displaystyle \mathcal{}}$ X, $분할자{\displaystyle }$ G ${\displaystyle G}$ 및$$$$설정된 P {\$displaystyle$ {\$mathcal{P}$에 대한 함수 코드(또는 이중 코드)는 다음과 같이 생성된다$$.

Let $D{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$+ ${\displaystyle \cdots }$+ ${\displaystyle P_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 위와 같이 정의된 P i ${\$와 함께 divisor가 된다. 우리는 보통 C(D,G)로 Goppa 코드를 나타낸다. 이제 우리는 고파 코드를 정의하는데 필요한 모든 것을 안다.

${\displaystyle C(D,G)=\left\{\{{n1}),\ldots,f(P_{n}\right)\\\\f\in L(G)\right\}\subset \mathb {F}_{q}^{n}}}}}$

For a fixed basis ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{k}}$ for L(G) over ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$, the corresponding Goppa code in ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}^{n}}$ is spanned over ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ by the vectors

${\displaystyle \left(f_{i}(P_{1}),\ldots ,f_{i}(P_{n}\right)}$

그러므로

${\displaystyle {\begin{bmatrix}f_{1}(P_{1})&\cdots &f_{1}{1}(P_{n})\\\cdots \\\f_{k}&\cdots &f}(P_{n}}}}}}}}end{bmatrix}}}}}}}}}}}}}}}})}$

$C{\displaystyle (D,}$ ${\displaystyle G}$)에 대한 제너레이터 매트릭스${\displaystyle .}$ ${\displaystyle C(D,G)$$}$

동등하게, 의 이미지로 정의된다.

${\displaystyle {\begin}\alpha :L(G)\mathb {F}^{n}\f\mapsto(f(P_{1}),\ldots ,f(P_{n})\end{case}}}}}}$

다음은 코드 매개변수가 C(cf)의 디비저 D(divisor d) 선형 시스템의 고전적 매개변수와 어떻게 관련되는지 보여준다. Riemann-Roch 정리). 표기법 ℓ(D)는 L(D)의 치수를 의미한다.

발의안 A. 고파 코드 $C{\displaystyle (D}$, G${\displaystyle }$) ${\displaystyle C(D,G)}$의 치수는 $k{\displaystyle }$= ${\displaystyle \ell }$( G${\displaystyle }$)${\displaystyle }$- ${\displaystyle \ell }$(${\displaystyle G}$- ${\displaystyle D}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle$ k$=\ell (G)-\ell (G-D$)이다$.$$}$

증명. $C{\displaystyle }$(${\displaystyle D}$, ${\displaystyle G}$) ${\displaystyle \cong }$ ${\displaystyle L}$( G${\displaystyle }$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle \ker }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle (\alpha }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle C(D,G)\cong L(G)/\ker(\alpha$ )}이(가) 있으므로$,$ 우리는$$ 그것을 보여 주어야 한다.

$[\displaystyle \ker(\alpha )=L(G-D)]}$

그 f(P1))⋯)f(Pn))f0{\displaystyle f(P_{1})=\cdots =f(P_{n})=0} 그렇게div⁡(f)을 ker⁡(α){\displaystyle f\in \ker(\alpha)}∈;D{\displaystyle \operatorname{div}(f)>자.D}. 따라서, f∈ 나는(G− D).{\displaystyle f\in L(G-D).}이와 반대로 그런 것 같아 f∈ 나는(G− D),{\displaystyle f\.$(G-D)$에서 div$$ ()> D ${\displaystyle \operatorname {div} (f)$ >$이후$ D$}$

${\displaystyle P_{i}<G,\quad i=1,\ldots,n.}$

(${\displaystyle G}$는 -${\displaystyle }$D ${\displaystyle -D$의 문제를 "수정"하지 않으므로 f는 대신 그렇게 해야 한다.) ${\displaystyle {그\mathrm{}}_{}}$ 뒤에 f${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ 1 )${\displaystyle }$=${\displaystyle f_{}}$=${\displaystyle }$f ( ${\displaystyle {}_{}}$n ) = ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle f(P_{1}}=\cdots =f($$P_{n})=0$.$}$

발의안 B. 두 코드 단어 사이의 최소 거리는 ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle ⩾}$ n${\displaystyle }$- ${\displaystyle \mathrm{deg}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle G}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle d\geqslant n-\deg(G$)이다$.$$}$

증명. 해밍 중량이 $\alpha {\displaystyle (f}$) ${\displaystyle \alpha(f)}$이라고 가정한다. That means that for ${\displaystyle n-d}$ indices ${\displaystyle i_{1},\ldots ,i_{n-d}}$ we have${\displaystyle f(P_{i_{k}})=0}$ for ${\displaystyle k\in \{1,\ldots ,n-d\}.$$}$ 그 다음$$ f${\displaystyle f}$L (${\displaystyle {{G\mathrm{}}_{}}_{}}$- ${\displaystyle {}_{}}$ i ${\displaystyle {1{}_{}}_{}}$- ${\displaystyle \cdots }$- ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {i_{}}_{}}$ ${\displaystyle {n{}_{}}_{}}$- ${\displaystyle {d_{}}_{}}$) ${\displaystyle f\in L(G-P_{1}-\cdots -P_{n_{n-d$ 그리고

${\displaystyle \operatorname {div}(f)+G-P_{1}-\cdots -P_{n_{n-d}}0.}$

양쪽에서 학위를 따고 그것을 주목했다.

${\displaystyle \div(\disname {div})(f)=0,}$

우리는 얻는다.

${\displaystyle \deg(G)-(n-d)\geqslant 0.$

그렇게

$(\displaystyle d\geq n-\deg(G)).}$

잔류 코드

잔류물 코드는 기능 코드의 이중으로 정의하거나 P ${\displaystyle i_{}}$ ${\$s에서 일부 기능의 잔류물로 정의할 수 있다$.$

참조

• 키 원 정, 곶파 코드, 2004년 12월 아이오와 주립대학 수학학부.

외부 링크

• 대수적 기하학적 부호화 이론에 관한 학부논문
• 곶파 암호 키 원 청