오르락내리락

수학의 한 분야인 정류 대수학에서, 오르고 내려가는 것은 본질적인 연장선상에 있는 주요 이상 사슬의 특정한 속성을 가리키는 용어다.

위로 올라가는 구절은 체인을 '위로 포함하는 것'으로 연장할 수 있는 경우를, 아래로 가는 것은 '아래로 포함하는 것'으로 체인을 연장할 수 있는 경우를 말한다.

주요 결과는 어빈 S에 의해 증명된 코헨-세이덴버그의 이론들이다. 코헨과 아브라함 세이덴버그.이것들은 위로 올라가거나 아래로 내려가는 이론으로 알려져 있다.

오르락내리락

A ⊆ B를 교화 고리의 연장선이 되게 하라.

위로 올라가거나 아래로 내려가는 이론들은 A의 더 긴 프라임 이상 사슬의 구성원들 위에 놓여 있는 B의 프라임 이상 사슬이 A의 프라임 이상 사슬의 길이로 확장될 수 있는 충분한 조건을 준다.

엎드린 채 비교 불가

첫째, 우리는 몇 가지 용어를 고친다.$p{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$와 $q{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$mathfrak{q}}이$($가) 각각 A와 B의 주요 이상이라면 다음과 같다$$.

${\displaystyle {\mathfak{q}\cap A={\mathfak{p}}}$

(note that ${\displaystyle {\mathfrak {q}}\cap A}$ is automatically a prime ideal of A) then we say that ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ lies under ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ and that ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ lies over ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$. In general, a반지의 확장자 A ⊆ B는 A의 모든 기본 이상 $p{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$이(가) B의 어떤$$ 프라임 이상 $q{\displaystyle \mathfrak{}}${\$displaystyle {\mathfrak{q}}$ 아래에 있다면 누운 속성을 만족시킨다고 한다.

The extension A ⊆ B is said to satisfy the incomparability property if whenever ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ and ${\displaystyle {\mathfrak {q}}'}$ are distinct primes of B lying over a prime ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ in A, then ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ⊈ ${\di$$splaystyle {\mathfrak {q}$과($와{\displaystyle {\mathfrak{}}^{}}$) q $′$ {\$displaystyle${\$mathfrak {q}$ ⊈$$ $q{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$

위로

링 익스텐션 A ⊆ B는 언제가 되면 상승 특성을 만족시킨다고 한다.

${\displaystyle {\mathfrak{p}_{1}\\mathfrak {p}{2}\mathfrak \!\;\cdots \cdots \cdots \!\\,\cdeq {\mathfrak{p}_{n}}}$

A의 주요한 이상들의 사슬이다.

${\displaystyle {\mathfrak{q}_{1}\matfrak {\mathfrak {q}{2}\cdots \cdots \mathfrak{q}}}{m}}}}$

m < n을 가진 B의 프라임 이상 체인으로, ${\$가 p ${\displaystyle i_{}}$ ${\$에 놓여 있으면$$$$, 후자는 체인까지 연장할 수 있다.

${\displaystyle {\mathfrak{q}_{1}\mathfrak {q}\mathfrak {q}\cdots \cdots \cdots \cdeck \mathfrak{q}}}}{n}}}}}$

${\$이(가) 각 1≤ i n n에$$ ${\displaystyle {대해}_{}}$ p$${\$displaystyle${\$mathfrak{p}_{i}}$ 위에 놓여$$ 있도록 한다.

(Kaplansky 1970) harv error: no target: CATEREFKaplansky1970 (도움말) 확장자 A ⊆ B가 상승 특성을 만족하면 누운 재산도 만족하는 것으로 나타난다.

내려가기

링 익스텐션 A ⊆ B는 언제가 되더라도 go-down 속성을 만족시킨다고 한다.

${\displaystyle {\mathfrak{p}_{1}\supseteq {\mathfrak {p}{2}\supseteq \!\!\;\cdots \cdots \cdots \!\,\supseteq {\mathfrak{p}_{n}}}$

A의 주요한 이상들의 사슬이다.

${\displaystyle {\mathfrak{q}_{1}\supseteq {q}{2}\supseteq \cdots \supseteq{q}}}{m}}}}\displaystyle {\mathfrak {q}}}$

m < n을 가진 B의 프라임 이상 체인으로, ${\$가 p ${\displaystyle i_{}}$ ${\$에 놓여 있으면$$$$, 후자는 체인까지 연장할 수 있다.

${\displaystyle {\mathfrak{q}_{1}\supseteq {q}{2}\supseteq \cdots \supseteq {q}{m}\cdots \supseteq{q}}}}}{n}}}}$

${\$이(가) 각 1≤ i n n에$$ ${\displaystyle {대해}_{}}$ p$${\$displaystyle${\$mathfrak{p}_{i}}$ 위에 놓여$$ 있도록 한다.

링 형태에 의한 링 확장 케이스의 일반화가 있다.f : A → B를 f(A)의 링 확장형으로 (유니탈) 링 동형성으로 한다.그 다음 F는 상승 부동산이 B에서 f(A)를 보유할 경우 상승 부동산을 만족시킨다고 한다.

마찬가지로, B가 f(A)의 링 확장인 경우, go-down 속성이 b에서 f(A)를 유지한다면 f는 go-down 속성을 만족한다고 한다.

A ⊆ B와 같은 일반 링 확장자의 경우, 포함 지도가 해당 지도다.

상승 및 하강 정리

통상적으로 위로 올라가거나 아래로 내려가는 이론의 문장은 고리 연장 A ⊆ B:

1. (상승) B가 A의 일체형 연장인 경우, 그 연장선은 상승재산(따라서 누운 재산)과 비교불가능성을 만족시킨다.
2. (내려감) B가 A의 정수연장이고, B가 도메인이고, A가 분수영역에서 통합적으로 닫힌다면, 확장(상향, 누운, 비교불가능성 외에)은 하방재산을 만족시킨다.

하향식 속성에 대한 또 다른 충분한 조건이 있다.

• A ⊆ B가 정류 링의 평평한 확장인 경우, 아래로 향한 속성은 유지된다.^[1]

증명:^[2] p₁ ⊆ p를₂ A의 주요한 이상이 되게 하고 q₂₂ ∩ A = p와₂ 같은 B의 주요한 이상이 되게 하라.우리는 q에₂₁ q p₁ A = p와 같은 B의 가장 이상적인 q가₁ 들어 있음을 증명하고 싶다. A b B는 반지의 평평한 확장이다. 따라서_p2 A ⊆ B는_q2 반지의 평평한 확장이다.실제로 A_p2 ⊆ B는_q2 포함지도 A_p2 → B가_q2 국소 동형이기 때문에 충실하게 평평하게 고리를 확장한 것이다.따라서 스펙트럼 Spec(B_q2) → Spec(A_p2)에 대한 유도 맵은 굴절적이며, A의_p2 paA의_1p2 최상 이상에 계약하는 B의_q2 프라임 이상이 존재한다.B에서_q2 B로 이 주요한 이상형의 수축은 p로₁ 수축되는 q에₂ 포함된 B의 최상 이상 q이다₁.증거가 완전하다.Q.E.D.

참조

• 아티야, M. F., I. G. 맥도날드, 정류 대수학 소개, 페르세우스 북스, 1969, ISBN0-201-00361-9미스터242802
• 윈프리드 브런스; 위르겐 헤르조그, 코헨-맥컬레이가 울린다.케임브리지 고등 수학 연구 39세케임브리지 대학 출판부, 1993.xii+403 페이지ISBN 0-521-41068-1
• Cohen, I.S.; Seidenberg, A. (1946). "Prime ideals and integral dependence". Bull. Amer. Math. Soc. 52 (4): 252–261. doi:10.1090/s0002-9904-1946-08552-3. MR 0015379.
• Kaplansky, Irving, Communative 링, Alyn과 Bacon, 1970.
• Matsumura, Hideyuki (1970). Commutative algebra. W. A. Benjamin. ISBN 978-0-8053-7025-6.
• Sharp, R. Y. (2000). "13 Integral dependence on subrings (13.38 The going-up theorem, pp. 258–259; 13.41 The going down theorem, pp. 261–262)". Steps in commutative algebra. London Mathematical Society Student Texts. Vol. 51 (Second ed.). Cambridge: Cambridge University Press. pp. xii+355. ISBN 0-521-64623-5. MR 1817605.