거대 성분

네트워크 이론에서 거대 구성요소는 전체 그래프 정점의 유한 부분을 포함하는 주어진 무작위 그래프의 연결된 구성요소다.

Erdős-Rényi 모델의 거대 구성 요소

거대 구성요소는 무작위 그래프의 Erdős-Rényi 모델(ER)에서 두드러진 특징으로, 주어진 $정점$ 집합의 쌍을 연결하는 각 가능한 에지가 다른 에지와는 독립적으로 존재하며 확률 $p$ 가 있다. $\epsilon >0$ 모델에서, 0 ${\$ $displaystyle p\leq {\frac {1-\epsilon }{$ $n}}$ 의 상수에 대해 $p\leq {\frac {1-\epsilon }{n}}$ $p\leq {\frac {1-\epsilon }{n}}$ $p\leq {\frac {1-\epsilon }{n}}$ 1 - $p\leq {\frac {1-\epsilon }{n}}$ $\epsilon >0$ n ${\$ $displaystyle \epsilon$ }}}}}}}을(를) 사용할 경우 $\epsilon >0$ 그래프의 연결된 모든 구성요소의 크기가 $O(log$ $n$ )이고 거대 구성요소는 없다 $.$ 그러나 $p\geq {\frac {1+\epsilon }{n}}$ ≥ $p\geq {\frac {1+\epsilon }{n}}$ + $p\geq {\frac {1+\epsilon }{n}}$ ${\$ { $1+\epsilon }{n}}$ 의 경우 다른 모든 성분의 크기가 $O(log$ n)인 단일 거대 성분의 확률이 높다 $p\geq {\frac {1+\epsilon }{n}}$ $.$ $p=p_{c}={\frac {1}{n}}$ = $p=p_{c}={\frac {1}{n}}$ = $p=p_{c}={\frac {1}{n}}$ ${\$ $displaystyle p$ $=p_{c}={\frac{1}{n}}}$ 의 경우, 이 두 가지 가능성 사이의 중간 $p=p_{c}={\frac {1}{n}}$ 그래프에서 가장 큰 구성 $P_{\inf }$ 인 P $P_{\inf }$ ${\$ ${\inf$ }}}의 정점 수는 $n^{2/3}$ 2 $n^{2/3}$ / $n^{2/3}$ 에 비례하는 높은 확률이다 $P_{\inf }$ $n^{2/3}$ ^[1]

거대한 구성요소는 또한 퍼콜레이션 이론에서도 중요하다.^[1]^[2]^[3]^[4] When a fraction of nodes, $q=1-p$ , is removed randomly from an ER network of degree $\langle k\rangle$ , there exists a critical threshold, $p_{c}={\frac {1}{\langle k\rangle }}$ . Above $p_{c}$ there exists a gian크기 p/<>로 T구성 요소(클러스터 큰), Pinf{\displaystyle P_{\inf}}. Pinf{\displaystyle P_{\inf}}fulfills, Pinf)p(1− 지수 함수 ⁡(− ⟨ k⟩ Pinf)){\displaystyle P_{\inf}(1-\exp(-\langle k\rangle P_{\inf}))}. 안 c{\displaystyle p<, p_{c}}이 방정식의 해결책이 있다. p $P_{\inf }=0$ = $P_{\inf }=0$ ${\displaystyle P_{\inf }=0$ 즉 거대한 구성 요소가 없다.

$p_{c}$ $p_{c}$ ${\$ 에서 클러스터 크기 분포는 위상 전환의 $n(s)$ 인 $s^{-5/2}$ n $n(s)$ ( $n(s)$ ) $n$ ~ s $s^{-5/2}$ - $s^{-5/2}$ / $s^{-5/2}$ ${\$ 의 전원 법칙으로 작용한다 $p_{c}$ 거대한 구성요소는 격자망의 퍼콜레이션에서도 나타난다.^[2]

또는 빈 그래프에서 시작하여 임의로 선택한 가장자리를 한 번에 하나씩 추가하는 경우, $n/2$ n / $n/2$ {\ $displaystyle n/$ 2}개의 $n/2$ 가장자리가 추가되고 나서야 그래프에 큰 구성요소가 포함되며, 그 직후 구성요소가 거대해진다. 좀 더 정밀하게, 때 t가장자리, t값을 가까워야 하나 n/2{\displaystyle n/2}, 거대한 요소의 크기보다 큰 것으로 약 4t− 2n{4t-2n\displaystyle}.[1] 하지만 쿠폰 수집 문제에 따르면, Θ(n로그⁡ n){\displaystyle \Theta(nn\log)}가장자리에서 또는 필요하다 추가되었다.드r 전체 랜덤 그래프가 연결될 가능성이 높음.

상호의존적 네트워크의 거대한 구성요소

단순성을 위해 노드 수와 개수가 동일한 두 개의 ER 네트워크를 고려하십시오. 한 네트워크의 각 노드는 다른 네트워크의 노드(기능을 위해)에 의존하며, 그 반대의 경우도 양방향 링크를 통해 이루어진다. 이 시스템을 상호의존적 네트워크라고 한다.^[5] 시스템이 작동하기 위해서, 두 네트워크 모두 한 네트워크의 각 노드가 다른 네트워크의 노드에 의존하는 거대한 구성요소를 가져야 한다. 이것을 상호 거인 성분이라고 한다.^[5] 이 예는 나무와 같은 구조의 종속성 링크를 통해 연결된 n ER 네트워크 시스템으로 일반화될 수 있다.^[6] 흥미롭게도, n ER 상호의존적 네트워크로 구성된 트리의 경우, 상호 거대 구성요소(MGC)는 P $P_{\inf }=p(1-\exp(-\langle k\rangle P_{\inf }))^{n}$ = $P_{\inf }=p(1-\exp(-\langle k\rangle P_{\inf }))^{n}$ ( $P_{\inf }=p(1-\exp(-\langle k\rangle P_{\inf }))^{n}$ - $P_{\inf }=p(1-\exp(-\langle k\rangle P_{\inf }))^{n}$ exp $P_{\inf }=p(1-\exp(-\langle k\rangle P_{\inf }))^{n}$ ( $P_{\inf }=p(1-\exp(-\langle k\rangle P_{\inf }))^{n}$ - $P_{\inf }=p(1-\exp(-\langle k\rangle P_{\inf }))^{n}$ $P_{\inf }=p(1-\exp(-\langle k\rangle P_{\inf }))^{n}$ $P_{\inf }=p(1-\exp(-\langle k\rangle P_{\inf }))^{n}$ P $P_{\inf }=p(1-\exp(-\langle k\rangle P_{\inf }))^{n}$ $P_{\inf }=p(1-\exp(-\langle k\rangle P_{\inf }))^{n}$ $P_{\inf }=p(1-\exp(-\langle k\rangle P_{\inf }))^{n}$ ${\$ 에 의해 주어진다. $^{n}}$ 는 $P_{\inf }=p(1-\exp(-\langle k\rangle P_{\inf }))^{n}$ 단일 네트워크 공식의 자연 일반화인 $P_{\inf }=p(1-\exp(-\langle k\rangle P_{\inf }))^{n}$ $P_{\inf }=p(1-\exp(-\langle k\rangle P_{\inf }))^{n}$ = $P_{\inf }=p(1-\exp(-\langle k\rangle P_{\inf }))^{n}$ ( 1 $P_{\inf }=p(1-\exp(-\langle k\rangle P_{\inf }))^{n}$ - $P_{\inf }=p(1-\exp(-\langle k\rangle P_{\inf }))^{n}$ exp $P_{\inf }=p(1-\exp(-\langle k\rangle P_{\inf }))^{n}$ ( $P_{\inf }=p(1-\exp(-\langle k\rangle P_{\inf }))^{n}$ - $P_{\inf }=p(1-\exp(-\langle k\rangle P_{\inf }))^{n}$ $P_{\inf }=p(1-\exp(-\langle k\rangle P_{\inf }))^{n}$ $P_{\inf }=p(1-\exp(-\langle k\rangle P_{\inf }))^{n}$ P $P_{\inf }=p(1-\exp(-\langle k\rangle P_{\inf }))^{n}$ ) ${\$ })이다 $.$ $^{n}}$ .

보강된 노드

강화(네트워크의 탈중앙화)가 존재하는 상층 거대 구성요소는 위안 외 연구소에 의해 연구되었다.^[7] 보강된 노드들은 그들이 속한 유한한 요소들을 지원할 수 있는 추가 소스를 가지고 있다. 즉, 거대한 요소들에 대한 대체 링크를 갖는 것과 동등한 것이다.

임의 도 분포가 있는 그래프

모든 성분이 작은 그래프로 이어지는 모수와 거대한 성분을 이끄는 모수 사이의 유사한 날카로운 임계값은 동일하지 않은 도 분포의 랜덤 그래프에서도 발생한다. 도 분포는 그래프를 고유하게 정의하지 않는다. 그러나 도 분포 이외의 모든 측면에서 그래프를 완전히 랜덤으로 취급한다고 가정할 때 유한/무한 성분 크기에 대한 많은 결과가 알려져 있다. 이 모델에서 거대 성분의 존재는 도 분포의 처음 두 모멘트(혼합)에만 의존한다. 임의로 선택한 꼭지점에 $도$ k{\ $displaystyle k}$ 이(가) 포함되도록 두십시오 $k$ 그러면 거대한 구성 요소는 다음과 같은 경우에만 존재한다^[8].

\mathb {E}[k^{2}]-2\mathb {E}[k]]0.

\mathbb {E} [k]

[

\mathbb {E} [k]

\mathbb {E} [k]

\mathb {E}[k]

도

\mathbb {E} [k]

{\langle k\rangle }

{\langle k\rangle }

⟩

{\

의 형태로 쓰여진 것이 네트워크의

{\langle k\rangle }

평균 수준이다. 지시된 그래프에도 유사한 식이 유효하며, 이 경우 도 분포는 2차원이다.^[9] 지시된 그래프에는 세 가지 유형의 연결된 구성요소가 있다. 임의로 선택한 꼭지점의 경우:

아웃 컴포넌트는 모든 아웃포워드를 재귀적으로 따라가면 도달할 수 있는 정점 집합이다.
구성 요소 내(in-component)는 모든 in-in-probled backwards를 재귀적으로 따라가면 도달할 수 있는 정점 집합이다.
약한 성분은 방향과 상관없이 모든 가장자리를 재귀적으로 따라가면 도달할 수 있는 정점 집합이다.

지시된 구성 그래프와 리디렉션되지 않은 구성 그래프의 거대한 구성 요소 존재 기준

임의로 선택한 꼭지점에 ${\$ 의 in-edge와 $k_{\text{in}}$ $k_{\text{out}}$ $k_{\text{out}}$ ${\$ 의 $k_{\text{out}}$ 바깥쪽 가장자리에 $k_{\text{in}}$ 가 있도록 한다. By definition, the average number of in- and out-edges coincides so that $c=\mathbb {E} [k_{\text{in}}]=\mathbb {E} [k_{\text{out}}]$ . If $G_{0}(x)=\textstyle \sum _{k}\displaystyle P(k)x^{k}$ is the generating function of the degree distribution $P(k)$ for an undirected network, then $G_{1}(x)$ can be defined as $G_{1}(x)=\textstyle \sum _{k}\displaystyle {\frac {k}{\langle k\rangle }}P(k)x^{k-1}$ . For directed netw오크, 공동 확률 분포 $P(k_{in},k_{out})$ ( ${\mathcal {G}}(x,y)=\sum _{k_{in},k_{out}}\displaystyle P({k_{in},k_{out}})x^{k_{in}}y^{k_{out}}$ $P(k_{in},k_{out})$ $P(k_{in},k_{out})$ $P(k_{in},k_{out})$ $P(k_{in},k_{out})$ t $P(k_{in},k_{out})$ ) $P(k_{in},k_{out})$ {\ $displaystyle$ $P$ $($ $k_{in},$ $k_$ ${out}}}$ 에 $x$ 할당된 $y$ 생성 함수는 ${\mathcal {G}}(x,y)=\sum _{k_{in},k_{out}}\displaystyle P({k_{in},k_{out}})x^{k_{in}}y^{k_{out}}$ x ${\mathcal {G}}(x,y)=\sum _{k_{in},k_{out}}\displaystyle P({k_{in},k_{out}})x^{k_{in}}y^{k_{out}}$ , ${\mathcal {G}}(x,y)=\sum _{k_{in},k_{out}}\displaystyle P({k_{in},k_{out}})x^{k_{in}}y^{k_{out}}$ ) = ${\mathcal {G}}(x,y)=\sum _{k_{in},k_{out}}\displaystyle P({k_{in},k_{out}})x^{k_{in}}y^{k_{out}}$ ${\mathcal {G}}(x,y)=\sum _{k_{in},k_{out}}\displaystyle P({k_{in},k_{out}})x^{k_{in}}y^{k_{out}}$ ${\mathcal {G}}(x,y)=\sum _{k_{in},k_{out}}\displaystyle P({k_{in},k_{out}})x^{k_{in}}y^{k_{out}}$ ${\mathcal {G}}(x,y)=\sum _{k_{in},k_{out}}\displaystyle P({k_{in},k_{out}})x^{k_{in}}y^{k_{out}}$ ${\mathcal {G}}(x,y)=\sum _{k_{in},k_{out}}\displaystyle P({k_{in},k_{out}})x^{k_{in}}y^{k_{out}}$ ${\mathcal {G}}(x,y)=\sum _{k_{in},k_{out}}\displaystyle P({k_{in},k_{out}})x^{k_{in}}y^{k_{out}}$ ) = k ${\mathcal {G}}(x,y)=\sum _{k_{in},k_{out}}\displaystyle P({k_{in},k_{out}})x^{k_{in}}y^{k_{out}}$ k ${\mathcal {G}}(x,y)=\sum _{k_{in},k_{out}}\displaystyle P({k_{in},k_{out}})x^{k_{in}}y^{k_{out}}$ ${\mathcal {G}}(x,y)=\sum _{k_{in},k_{out}}\displaystyle P({k_{in},k_{out}})x^{k_{in}}y^{k_{out}}$ ${\mathcal {G}}(x,y)=\sum _{k_{in},k_{out}}\displaystyle P({k_{in},k_{out}})x^{k_{in}}y^{k_{out}}$ ${\mathcal {G}}(x,y)=\sum _{k_{in},k_{out}}\displaystyle P({k_{in},k_{out}})x^{k_{in}}y^{k_{out}}$ ) k ) ${\mathcal {G}}(x,y)=\sum _{k_{in},k_{out}}\displaystyle P({k_{in},k_{out}})x^{k_{in}}y^{k_{out}}$ i를 $사용$ 하여 ${\mathcal {G}}(x,y)=\sum _{k_{in},k_{out}}\displaystyle P({k_{in},k_{out}})x^{k_{in}}y^{k_{out}}$ 할 수 있다 $P(k_{in},k_{out})$ ${\mathcal {G}}(x,y)=\sum _{k_{in},k_{out}}\displaystyle P({k_{in},k_{out}})x^{k_{in}}y^{k_{out}}$ ${\mathcal {G}}(x,y)=\sum _{k_{in},k_{out}}\displaystyle P({k_{in},k_{out}})x^{k_{in}}y^{k_{out}}$ , then one can define $g(x)={\frac {1}{c}}{\partial {\mathcal {G}} \over \partial x}\vert _{y=1}$ and $f(y)={\frac {1}{c}}{\partial {\mathcal {G}} \over \partial y}\vert _{x=1}$ $f(y)={\frac {1}{c}}{\partial {\mathcal {G}} \over \partial y}\vert _{x=1}$ $f(y)={\frac {1}{c}}{\partial {\mathcal {G}} \over \partial y}\vert _{x=1}$ ${\$ 지시 및 방향 지정되지 않은 랜덤 그래프에서 거대 구성 요소 존재에 대한 기준은 아래 표에 제시되어 있다.


유형	기준
리디렉션되지 않음: 거대 구성 요소	$\mathbb {E} [k^{2}]-2\mathbb {E} [k]>0$ [ k $\mathbb {E} [k^{2}]-2\mathbb {E} [k]>0$ $\mathbb {E} [k^{2}]-2\mathbb {E} [k]>0$ - $\mathbb {E} [k^{2}]-2\mathbb {E} [k]>0$ $\mathbb {E} [k^{2}]-2\mathbb {E} [k]>0$ [ $\mathbb {E} [k^{2}]-2\mathbb {E} [k]>0$ $\mathbb {E} [k^{2}]-2\mathbb {E} [k]>0$ 0 ${\displaystyle \mathb {E}[k^{2}]-2\mathb {E}[k]0$ ^[8] $G'_{1}(1)=1$ $G'_{1}(1)=1$ 1 $G'_{1}(1)=1$ ( $G'_{1}(1)=1$ ) $G'_{1}(1)=1$ = $G'_{1}(1)=1$ ${\displaystyle$ G' $_{1}(1)=1$ }
지시됨: 거대한 내부/외부 구성 요소	$\mathbb {E} [k_{\text{in}}k_{out}]-\mathbb {E} [k_{\text{in}}]>0$ ,^[9] or $g'_{1}(1)=f'_{1}(1)=1$ ^[9]
지시됨: 거대하고 약한 구성 요소	$2\mathbb {E} [k_{\text{in}}]\mathbb {E} [k_{\text{in}}k_{\text{out}}]-\mathbb {E} [k_{\text{in}}]\mathbb {E} [k_{\text{out}}^{2}]-\mathbb {E} [k_{\text{in}}]\mathbb {E} [k_{\text{in}}^{2}]+\mathbb {E} [k_{\text{in}}^{2}]\mathbb {E} [k_{\text{out}}^{2}]-\mathbb {E} [k_{\text{in}}k_{\text{out}}]^{2}>0$ ^[10]

거대 성분의 다른 특성과 그 성질이 과대포장 이론 및 임계 현상에 대한 관계는 참조를 참조하십시오.^[3]^[4]^[2]

참고 항목

참조

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