피셔 일관성

통계에서 로널드 피셔의 이름을 딴 피셔 일관성은 추정자가 표본이 아닌 전체 모집단을 사용하여 계산한 경우 추정된 모수의 참 값을 얻을 것이라고 주장하는 추정자의 바람직한 특성이다.^[1]

정의

각 X가_i 알 수 없는 모수 on에 의존하는 누적 분포_θ F를 따르는 통계 표본₁ X, ..., X가_n 있다고 가정합시다.표본에 기초한 θ의 추정기를 경험적 분포함수 F̂_n의 함수로 나타낼 수 있는 경우:

${\displaystyle {\hata}}=T({\hat {F}_{n}\})$

추정자는 다음과 같은 경우 피셔 일관성이 있다고 한다.

$\displaystyle T(F_{\theta }}=\theta \,}$^[2]

X를_i 교환할 수 있는_i 한, X의 관점에서 정의한 추정기 T는 데이터의 모든 순열에서 평균 T를 계산하여 _nF의 관점에서 정의할 수 있는 추정기 T′로 변환할 수 있다.결과 추정기는 T와 동일한 기대값을 가지며 그 분산은 T의 기대값보다 크지 않을 것이다.

만약 대수의 강한 법칙을 적용할 수 있다면, 경험적 분포함수 F̂_n은 F에_θ 점으로 수렴하여 Fisher의 일관성을 한계로 표현할 수 있다 - 추정자는 다음과 같은 경우 Fisher이다.

${\displaystyle T\left(\lim _{n\오른쪽 화살표 \}{\hat {F}_{n}\오른쪽)=\theta .\,}$

유한집단예

우리의 표본이 유한 모집단₁ Z, ..., Z로부터_m 얻어진다고 가정하자.모집단의 각 값에 대한 표본 n_i/n의 비율 측면에서 크기 n의 표본을 나타낼 수 있다.estim의 추정치를 T(n₁ / n, ..., n / n)로 작성하면, 추정기의 모집단 아날로그는 T(p₁, ..., p_mm)이며 여기서_i p = P(X = Z_i)이다.따라서 T(p₁, ..., p_m) = θ이면 피셔 일관성이 있다.

관심 있는 모수가 기대값 μ이고 추정기가 표본 평균이며, 이 평균은 기록할 수 있다고 가정해 보십시오.

${\displaystyle n^{-1}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m(X_{i}=Z_{j})Z_{j}}$

여기서 나는 표시기 기능이다.이 표현식의 인구 아날로그는

${\displaystyle n^{n1}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}p_{j}Z_{j}=n^{-1}\sum _{i=1}^{n}\mu =\mu ,}$

그래서 우린 피셔의 일관성을 가지고 있어

최대우도 추정의 역할

우도함수 L을 최대화하는 것은 다음과 같은 경우 매개변수 b에 대해 Fisher와 일치하는 추정치를 제공한다.

${\displaystyle E\left[{\frac {d\ln L}{db}\right]=0{\text{{}{{b=b_{0},}$

여기서 b는₀ b의 참 가치를 나타낸다.^[3][4]

무증상 일관성과 편향성과의 관계

통계에서 일관성이라는 용어는 일반적으로 점증적으로 일관성이 있는 추정자를 가리킨다.비록 둘 다 추정자의 바람직한 속성을 정의하는 것을 목표로 하지만, 피셔 일관성과 점증상 일관성은 구별되는 개념이다.많은 추정자들이 두 가지 의미 모두에서 일관성이 있는 반면, 두 정의 모두 다른 것을 포함하지 않는다.예를 들어, Fisher와 점증상 일관성이 있는 추정기 T를_n 선택한 다음 T_n + E를_n 형성한다고 가정합시다. 여기서 E는_n 0이 아닌 숫자가 0으로 수렴되는 결정론적 시퀀스입니다.이 추정기는 점증적으로 일관되지만, 어떤 n에 대해서도 피셔가 일관되지는 않는다.

표본 평균은 모집단 평균에 대한 Fisher의 일관되고 편향되지 않은 추정치지만 모든 Fisher 일관성 있는 추정치가 편향되지 않은 것은 아니다.(0,197)에 대한 균일한 분포에서 표본을 관측하고 θ을 추정한다고 가정합시다.표본 최대값은 피셔의 일관성이 있지만 아래쪽으로 치우쳐 있다.반대로 표본 분산은 모집단 분산에 대한 편향되지 않은 추정치지만 Fisher와 일관성이 없다.

의사결정 이론에서의 역할

위험의 모집단 최소화가 Bayes 최적 의사결정 규칙으로 이어지는 경우 손실 함수는 Fisher와 일치한다.^[5]

참조