일차차 추정기

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통계학 및 계량경제학에서 FD(첫 번째 차이) 추정기는 패널 데이터로 생략된 변수의 문제를 해결하는 데 사용되는 추정기입니다.이는 고정 효과 모델의 가정 하에서 일관된다.특정 상황에서는 표준 고정 효과(또는 "군내") 추정기보다 더 효율적일 수 있습니다.

추정치에는 $개별{\displaystyle }$ 단위 ${\displaystyle \mathrm{i}}$ ${\displaystyle =}$${\displaystyle }$1, ${\displaystyle \dots ,}$ $(\displaystyle i=1,\$$display$$,$N) 및 t$(\displaystyle$ t=1$displaystyle$ t$=1,\$displaystyle $t_$${it$$\})$의 종속 변수와 ${\displaystyle {독립}_{}}$ 변수 ${\displaystyle {\mathrm{xi}}_{}}$t$(\$ $x_{it$에 대한 데이터가 필요합니다$.$${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$\ $displaystyle$\ $Delta x$$_$$${$$it$$ $\}$ $ression{\displaystyle \mathrm{}}$ y t \ $displaystyle$ \ $Delta$ x _ { $it$ }의 ${\displaystyle {}_{}}$에 대한 합동 최소 제곱(OLS) 추정치.

파생

FD 추정기는 시간 경과에 따른 반복 관측을 사용하여 일부 관측되지 않은 시간 불변 $변수{\displaystyle {}_{}}$ $(\$로 인한 편향을 방지합니다.

${\displaystyle y_{it}=x_{it}\display +c_{i}+u_{it},t=1,...T,}$

$\displaystyle y_{it-1}=x_{it-1}\display +c_{i}+u_{it-1},t=2,...T.}$

방정식을 차분화하면 다음과 같은 결과가 나옵니다.

$\displaystyle \Delta y_{it}=y_{it-1}=\Delta x_{it}\delta +\Delta u_{it},t=2,...T,}$

$관찰$되지 않은 $({$를 삭제합니다.

FD $추정기\beta {\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$^ ${\displaystyle {\mathrm{FD}}_{}}$ $($ 스타일$)$FD$}}$은(는) OLS에서 x와 u의 차이점을 사용하여 구합니다.

$(\displaystyle {\hat }_{FD}=(\Delta X'\Delta X)^{-1}\Delta Y=\delta +(\Delta X'\Delta X'\Delta u)$

$여기$서 X${\displaystyle ,}$ $,$ \$displaystyle$ X,$y,$ $u$\$displaystyle$u는 관련 변수의 행렬 표기법입니다.${\displaystyle {}^{}}$ X$$ $Delta$X'\$Delta$ X$}$가 반전 ${\displaystyle \mathrm{가능}}$하려면 순위 조건이 충족되어야 합니다($r{\displaystyle }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle n}$[ ${\displaystyle {}^{}}$ X${\displaystyle {}^{}display\mathrm{}\mathrm{display}}$ X ]$=$k \ $display style$$$rank[ \ $Delta$ X ' \ $Delta$ X ] k$$$$$）$ 。

${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ i $=$ [ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{i}}_{}}$ 2,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ X ${\displaystyle {\mathrm{i}}_{}}$3, . ,${\displaystyle }$. X i $]{$ $displaystyle \Delta X_{i$}=[\$Delta X_{i2},\$Delta X_{$i3},\Delta X_{I}$ 및 \Delt}를$$ 정의합니다.중심 한계 정리, 대수의 법칙 및 슬러스키의 정리에 의해 E${\displaystyle }$[${\displaystyle u_{}}$ i ${\displaystyle {\mathrm{t}}_{}}$ x${\displaystyle {}_{}{1}_{}}$ , ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{i}}_{}}$2${\displaystyle }$,${\displaystyle }$. , ${\displaystyle {}_{}}$ $i$ ${\displaystyle T_{}}$] $= 0$ { $style$E [ $u$_ ${it$ } x _ { $i1} ,$ $x _$ { $iT$ }$$ $=$ $0$이면 추정기는 점근 분산 e와 $정규{\displaystyle }$ 분포를 따릅니다.$displaystyle$$$$E[\Delta X_{i}'\Delta X_{i}]^{-1$

수학적으로 V ${\displaystyle ar}$ ( ${\displaystyle x}$ u${\displaystyle }$X ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 2_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 2 ( \ $displaystyle$ Var ( \ $Delta$u ) = \ $sigma$_ { \ $Delta$u }^{2}$$） $otic{\displaystyle }$ otic otic otic otic otic under 、 otic otic under } } } under } } } } } } under under u ${\$ } u under 、 다음과 같이 가정하면 점근분산을 추정할 수 있다.

${\displaystyle {Avar}({\hat}_{FD})={{\Delta u}{2}(\Delta X'\Delta X)^{-1}$

$여기$서 ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$2 { $displaystyle } _ {$ u }^$2}$은(는)

${\displaystyle {\hat }_{\Delta u}^{2}=[n(T-1)-K]^{-1}\sum _{i=1}^{n}\sum _{t=2}^{T}{\widehat {Delta u_{it}}^{2}}$

${\displaystyle \stackrel{}{{그리고}_{}}=}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$ ${\displaystyle i_{}\stackrel{}{t_{}}}$ -${\displaystyle {\stackrel{}{}\beta }_{}}$ ^ ${\displaystyle F_{}}$ D ${\displaystyle {}_{}}$ t ${\displaystyle x_{}}$ t t$$\ $displaystyle =$ \ $Delta$y _ { $it$} - { \ $hat }$=\ delta y _ { $it$ }$FD}\Delta x_{it$

특성.

고정 추정기(FE)에는 엄격한 외부성이 필요합니다${\displaystyle .}E{\displaystyle }$ [ ${\displaystyle u_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{t}}_{}}$ ${\displaystyle x{}_{}{}_{}{}_{}}$ , ${\displaystyle {\mathrm{x}}_{}}$ ${\displaystyle i_{}{}_{}}$, . ,${\displaystyle {}_{}}$x i T ]$$ $0$ { $displaystyle E$ [$u$_ {$it }x _$ { i1} ,$x$ _ { i2} , . ,$x$_ { ${\displaystyle {\mathrm{iT}}_{}}$ }$=$ 0 。첫 번째 차이 추정치도 이 가정 하에서 치우치지 않습니다.E${\displaystyle }$[ ( ${\displaystyle u_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$t - ${\displaystyle u_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$t - ${\displaystyle 1_{}}$) ( ${\displaystyle x_{}}$ i${\displaystyle {}_{}{t}_{}}$ - ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$-${\displaystyle {}_{}{1}_{}}$) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 0}$( $displaystyle$ E [ ($u_{it$} - $u_${it-1$)(x_{it}$ - $x_{it-1$} > $=0$이라는 보다 약한 가정 하에서 FD 추정치는 일치한다.이 가정은 T가 고정될 때 FE 추정기를 사용하여 일관성에 필요한 엄격한 외부성 가정보다 덜 제한적이다.T가 무한대에 도달하면 FE와 FD는 모두 동시적 외부성에 대한 더 약한 가정과 일치합니다.

고정 효과 추정기와의 관계

T ${\displaystyle =}$ {\$displaystyle$ T$=2}$의$$경우 FD 및 고정 효과 추정기는 수치적으로 동일합니다.

$\$에서 균질성이 있고 직렬 상관관계가 없다고 가정할 때 FE 추정기는 FD 추정기보다 효율적입니다.이는 FD 추정기가 오류 차이 발생 시 직렬 상관 관계를 유도하지 않기 때문입니다.단$,$ 랜덤 워크를 수행할 ${\displaystyle {\mathrm{경우}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle u_{}}$ u i \ $displaystyle$\ $Delta u$_ {$it$}은$$$$(는) 상관관계가 없으므로 FD 추정기가 더 효율적입니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 인자 분석
• 패널 분석

레퍼런스

• Wooldridge, Jeffrey M. (2001). Econometric Analysis of Cross Section and Panel Data. MIT Press. pp. 279–291. ISBN 978-0-262-23219-7.