3차원 확산 문제를 위한 유한 부피법

유한 볼륨 방식(FVM)은 수치 방법이다.계산 유체 역학에서의 FVM은 탈고화를 이용하여 물리적 보존 법칙에서 발생하는 부분 미분 방정식을 해결하기 위해 사용된다.대류는 항상 확산이 뒤따르기 때문에 대류가 고려되는 경우에는 대류와 확산의 결합 효과를 고려해야 한다.그러나 유동 흐름이 고려할 수 없는 역할을 하는 곳에서는 흐름의 대류적 효과를 소홀히 할 수 있다.이 경우에 우리는 확산만을 위한 보다 단순한 경우를 고려해야 한다.꾸준한 대류-확산술에 대한 일반 방정식은 과도현상을 삭제함으로써 $\phi$ 속성 $\phi$ ${\디스플레이$ 스타일 $\pi }$ 에 대한 일반적 전송 방정식에서 쉽게 도출할 수 있다.

일반 운송 방정식은 다음과 같이 정의된다.

${\frac {\partial \rho \phi }{\partial t}}+\operatorname {div} (\rho \phi \upsilon )=\operatorname {div} (\Gamma \operatorname {grad} \phi )+S_{\phi }$ …………………………………………….1

어디에

$\phi$ $\phi$ 은(는) 모든 유체 흐름의 보수적인 형태지만 $\phi$

$\rho$ $\rho$ 은(는) 밀도 $\rho$ ,

$\operatorname {div} (\rho \phi \upsilon )$ $\operatorname {div} (\rho \phi \upsilon )$ $\operatorname {div} (\rho \phi \upsilon )$ ) $\operatorname {div}(\rho \phi \upsilon )$ 은 $\operatorname {div}(\rho \phi \upsilon )$ 유체 원소 중 $\phi$ $\phi }$ 의 $\phi$ 순유속은 대류 용어를 나타낸다.

${\frac {\partial \rho \phi }{\partial t}}$ ${\frac {\partial \rho \phi }{\partial t}}$ ${\frac {\partial \rho \phi }{\partial t}}$ ${\frac {\partial \rho \phi }{\partial t}}$ { ${\frac {\partial \rho \phi }{\partial t}}$ t {\ $displaystyle$ {\frac {\ $ac \rho \phi }{\partial t}}}}$ 은 ${\frac {\partial \rho \phi }{\partial t}}$ (는) 일시적 용어,

$\operatorname {div} (\Gamma \operatorname {grad} \phi )$ ( $\operatorname {div} (\Gamma \operatorname {grad} \phi )$ $\operatorname {div} (\Gamma \operatorname {grad} \phi )$ $⁡$ $\operatorname {div} (\Gamma \operatorname {grad} \phi )$ ) ${\displaystyle$ \ $operatorname {div}(\Gamma \operatorname {grad} \$ $phi$ $)}$ 은 $\operatorname {div}(\Gamma \operatorname {grad}\phi )$ 확산으로 인한 변화의 $\phi$ $\phi$ 이다 $.$

$S_{\phi }$ ${\$ 은 소스로 인해 $\phi$ $\pi$ 의 증가율이다 $S_{\phi }$ .

정상 상태 조건 과도 항은 0이 되고 대류 대류 항이 없기 때문에 0이 되므로 안정 상태 3차원 대류 및 확산 방정식은 다음과 같이 된다.

$\operatorname {div} (\Gamma \operatorname {grad} \phi )+S_{\phi }=0$ $\operatorname {div} (\Gamma \operatorname {grad} \phi )+S_{\phi }=0$ ( $\operatorname {div} (\Gamma \operatorname {grad} \phi )+S_{\phi }=0$ $\operatorname {div} (\Gamma \operatorname {grad} \phi )+S_{\phi }=0$ + ) $+$ = 0 {\ $displaystyle$ \ $operatorname$ {div $}(\Gamma$ \ $operatorname {grad} \phi$ )+ $S_{\$ phi $}=0$ } …… $\operatorname {div} (\Gamma \operatorname {grad} \phi )+S_{\phi }=0$ ……………………………………………….2

그러므로

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left(\Gamma {\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)+{\frac {\partial }{\partial y}}\left(\Gamma {\frac {\partial \phi }{\partial y}}\right)+{\frac {\partial }{\p$ $artial z}\왼쪽(\Gamma {\frac {\partial \phi }{\partial z}\오른쪽)++$ $S_{\phi }=0}$ …… ${\frac {\partial }{\partial x}}\left(\Gamma {\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)+{\frac {\partial }{\partial y}}\left(\Gamma {\frac {\partial \phi }{\partial y}}\right)+{\frac {\partial }{\partial z}}\left(\Gamma {\frac {\partial \phi }{\partial z}}\right)+S_{\phi }=0$ ………………………………………………………….3

따라서 흐름은 연속성 방정식도 만족시켜야 한다.

$\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0$ $\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0$ ( $\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0$ u ) $\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0$ = $\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0$ $\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0$ …… $\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0$ ……………………………………………………………………………………………4

문제를 해결하기 위해 우리는 일반적인 단계를 따를 것이다.

3D 디스커트화

격자형성형:

1. 도메인을 이산 제어 볼륨으로 나눈다.

2. 물리적 경계를 정의하는 끝점 사이에 결절점을 배치한다.제어 볼륨의 경계/면은 인접 노드 사이에 중간으로 생성된다.

3. 제어 볼륨 경계뿐만 아니라 물리적 볼륨 경계도 서로 일치하도록 제어 볼륨을 도메인의 가장자리 근처에 설정한다.

4. 6개의 이웃한 노달 포인트 'E'(동쪽을 나타냄), 'W'(서쪽을 나타냄), 'N'(북쪽을 나타냄), 'S'(남쪽을 나타냄), 'T'(위쪽을 나타냄), 'B'(아래를 나타냄)와 함께 일반적인 노달 포인트 P를 고려한다.고려된 제어 부피 동쪽 면은 'e'로, 서쪽 면은 'w'로, 북쪽 면은 'n'으로, 남쪽 면은 's'로, 위쪽 면은 't'로, 아래쪽 면은 'b'로 언급된다.

5. Now the distance between nodes W and P, between nodes P and E, between nodes P and N, between nodes S and P, between nodes P and T, between nodes B and P are denoted as ${\displaystyle {\delta x_{$ $WP},{\delta x_{$ $PE},{\delta x_{$ $PN},{\delta x_{$ $SP},{\delta x_{$ $PT},{\delta x_{B$ $P$

디크릿화:

일반 제어 볼륨에 대한 한 차원에서의 등식 3의 통합은 다음을 제공한다.

[ ${\displaystyle \left(\Gamma A{\frac {d\phi }{dx}}\right)_{e}-\left(\Gamma A{\frac {d\phi }{dx}}\right$  $)_{w}]+[\left(\Gamma A{\frac {d\phi }{dx}}\right)_{n}-\left(\Gamma A{\frac {d\phi }{dx}}\right)_{s}]+[\left(\Gamma A{\frac {d\phi }{dx}}\right)_{t}-\left(\Gamma A{\frac {d\phi }{dx}}\right)_{b}]+{\overrightarrow {S}}\Delta V=0}$

이제 중앙 차이점 처리 방법을 사용하여 위의 방정식을 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

[ $\Gamma _{e}A_{e}\left({\frac {\phi _{E}-\phi _{P}}{\delta x_{PE}}}\right)-\Gamma _{w}A_{w}\left({\frac {\phi _{P}-\phi _{W}}{\delta x_{PE}}}\right)]+[\Gamma _{n}A_{n}\left({\frac {\phi _{E}-\phi _{P}}{\delta x_{PE}}}\right)-\Gamma _{s}A_{s}\left({\frac {\phi _{P}-\phi _{W}}{\delta x_{PE}}}\right)]+[\Gamma _{t}A_{t}\left({\frac {\phi _{E}-\phi _{P}}{\delta x_{PE}}}\right)-\Gamma _{b}A_{b}\left({\frac {\phi _{P}-\phi _{W}}{\delta x_{PE}}}\right)]+(S_{u}+S_{p}\phi _{p})=0$ $\Gamma _{e$ $A_{e}\왼쪽({\frac {\phi _{E}-\phi _{P}}{\delta x_{{$ $PE}}\오른쪽)-\감마 _{w}$ $A_{w}\왼쪽({\frac {\phi _{P}-\phi _{W}}{\delta x_{{$ $PE}}\오른쪽)]$ $+[\감마 _{n}_{n}\왼쪽({\frac {\phi _{E}-\phi _{P}}{\delta x_{{$ $PE}}\오른쪽)-\감마 _{s}$ $A_{s}\왼쪽({\frac {\phi _{P}-\phi _{W}}{\delta x_{{$ $PE}}\오른쪽)]$ $+[\감마 _{t}}\왼쪽({\frac {\phi _{E}-\phi _{P}}{\delta x_{{$ $PE}}\오른쪽)-\감마 _{b}\왼쪽({\frac {\phi _{P}-\phi _{W}{\delta x_{{$ $PE}}\오른쪽)+(S_{u}+S_{p}\pi _{p}=0}$

이는 내부 노드에 대해 파악된 방정식을 제공하도록 재배열할 수 있다.

$a_{P}\pi _{P}=a_{{P}W}\phi _{W}+a_{E}\phi _{E}+a_{{E}\phi _{E}+a_{}S}\phi _{S}+a_{N}\phi _{N}+a_{{N}\phi _{N}+a_{{N}}}B}\phi _{B}+a_{T}\phi _{T}+S_{u}}$

어디에

$a_{{W$	$a_{E}$	$a_{S}$	$a_{N}$	$a_{B}$	$a_{{T$	$a_{P}$
${\frac {\Gamma _{w}{\delta x_}{{\delta x_}}WP}}A_{w}$	${\frac {\Gamma _{e}{\delta x_{{}}PE}}A_{e}$	${\frac {\Gamma _{s}}{\delta x_{}}SP}}}A_{s}}$	${\frac {\Gamma _{n}{\delta x_{{n}}PN}}A_{n}$	${\frac {\Gamma _{b}{\delta x_{B}P}}}A_{w}$	${\frac {\Gamma _{t}{\delta x_{{}}PT}}A_{t}$	$a_{{W}+a_{E}+a_{S}+a_{N}+a_{N}+a_{B}+a_{T}-S_{P}}$