기대 평균 제곱

통계에서 기대 평균 제곱(EMS)은 분산 분석(ANOVA)의 제곱합 파티션에서 발생하는 특정 통계량의 기대값이다. 특정 효과가 없다는 귀무 가설을 검정하기 위해 F-검정의 분모에 어떤 통계가 나타나야 하는지를 확인하는 데 사용할 수 있다.

정의

분산 분석에서 보정된 총 제곱합이 각각 특정 예측 변수의 효과에 기인하는 여러 성분으로 분할되는 경우, 해당 분할에서 각 제곱합은 기대값을 갖는 랜덤 변수가 된다. 기대값을 해당 자유도로 나눈 값이 예측 변수에 대한 기대 평균 제곱이다.

예

다음은 도널드 헤데커와 로버트 D의 종적 데이터 분석에서 나온 예다. 기븐스.^[1]

Each of s treatments (one of which may be a placebo) is administered to a sample of (capital) N randomly chosen patients, on whom certain measurements ${\textstyle Y_{hij}}$ are observed at each of (lower-case) n specified times, for ${\textstyle h=1,\ldots ,s,\quad i=1,\ldots ,N_{h}}$ (thuss 다양한 치료를 받는 환자의 수는 다를 수 있다)와 ${\textstyle j=1,\ldots ,n.}$ = 1 ${\textstyle j=1,\ldots ,n.}$ , ${\textstyle j=1,\ldots ,n.}$ …, ${\textstyle j=1,\ldots ,n.}$ n ${\textstyle j=1,\ldots ,n.}$ . {\ $textyle$ j=1,\ $ldots,n.}$ 우리는 ${\textstyle j=1,\ldots ,n.}$ 다른 치료를 받는 환자의 세트가 분리되어 있기 때문에 환자는 치료 내에 중첩되고 치료와 교차되지 않는다고 가정한다. 우리는 가지고 있다.

Y_{hij}=\mu +\\gamma _{h}+\tau_{jau}_{hj}+\pi _{i(h)+\varepsilon _{hij}}}}}}}}}}}}}\varepsilon_{hi}}}}}}

어디에

$[\displaystyle \mu }$ $\mu$ = 총 평균, (고정)
$\gamma _{h}$ $γ$ $\gamma _{h}$ ${\$ $displaystyle \gamma_{h}$ = $처리$ h {\ $\gamma _{h}$ $displaystyle$ h $h$ (고정)
$\tau _{j}$ $\tau _{j}$ ${\$ $\tau _{j}$ = $시간$ j ${\displaystyle$ j $j$ (고정)
$(\gamma \tau )_{hj}$ ( $(\gamma \tau )_{hj}$ ) $(\gamma \tau )_{hj}$ j $(\gamma \tau )_{hj}$ {\ $displaystyle (\gamma \tau )_{hj}}$ $(\gamma \tau )_{hj}$ = $처리$ h $h$ 및 $h$ time $j$ ${\displaysty j$ (고정)
$\pi _{i(h)}$ $\pi _{i(h)}$ ( h $\pi _{i(h)}$ ) ${\$ = 치료 $h$ ${\displaystyle h$ (iii)}에 내포된 $i$ 환자 $i$ {\ $displaysty i}$ 에 대한 개별 차이 효과
$\varepsilon _{hij}$ $\varepsilon _{hij}$ i $\varepsilon _{hij}$ ${\$ $\varepsilon _{hij}$ = $치료$ h ${\displaystyle h$ $}$ 에서 $i$ $h$ 환자 $i$ ${\$ $displaystyle$ $i$ $j$ 에 대한 오류 $.$ ( $iii$ )
$\sigma _{\pi }^{2}$ $\sigma _{\pi }^{2}$ 2 ${\$ $\sigma _{\pi }^{2}$ = 치료 내에 중첩된 환자의 무작위 효과의 분산,
${\$ = 오차 분산.

보정된 총 제곱합은

\sum \{hij}-{\overline{Y}}^{2}\quad {\text{where}}{\overline{Y}={\frac{1}}}\sum _{hij}Y_{hij}.

아래의 분산 분석 표는 제곱합을 분할한다( ${\textstyle N=\sum _{h}N_{h}}$ 서 N ${\textstyle N=\sum _{h}N_{h}}$ = ${\textstyle N=\sum _{h}N_{h}}$ h ${\textstyle N=\sum _{h}N_{h}}$ ${\textstyle N=\sum _{h}N_{h}}$ ${\$

변동성 원인	자유도	제곱합	평균 제곱	기대 평균 제곱
치료	$(\displaystyle s-1})$	${\displaystyle {\text{SS}_{\text{Tr}}=n\sum _{h=1}^{s}{N_{h}({\overline {Y}_{h\cdot \cdot \cdot }-{\overline {Y}_{\cdot \cdot \cdot }^{2}}:$	${\dfrac {{\text{SS}_{\text{Tr}}{s-1}$	$\sigma _{\varepsilon }^{2}+n\sigma _{\pi }^{2}+D_{\text}트르}$
시간을 재다	$n-1$	${\displaystyle {\text{SS}_{\text{T}}=N\sum _{j=1}^{n}({\overline {Y}_{\cdot j}-{\cdot j}-{{}-{\cdot \cdot \cdot \cdot }^{2}}:$	${\dfrac {{\text{SS}_{\text{T}}{n-1}$	$\sigma _{\varepsilon }^{2}+D_{\text{T}$
치료 ×시간	${\displaystyle(s-1)(n-1)}$	${\text{SS}}_{\text{Tr T}}=\sum _{h=1}^{s}\sum _{j=1}^{n}N_{h}({\overline {Y}}_{h\cdot j}-{\overline {Y}}_{h\cdot \cdot }-{\overline {Y}}_{\cdot \cdot j}+{\overline {Y}}_{\cdot \cdot \cdot })^{2}$	${\dfrac {{\text{SS}_{\text{Tr T}}{{(n-1)(s-1)}}$	$\sigma _{\varepsilon }^{2}+D_{\text{T}}$
치료 중인 환자들	$(\displaystyle N-s)$	${\displaystyle {\text{SS}}_{\text{S}}({\text{Tr}}}}=n\sum _{h=1}^{{n_{h}}({\overline {Y}_{hi\cdot }-{{h}}-{h\cdot \cdot \cdot }^{2}}:$	${\dfrac {{\text{SS}}_{\text{S}}({\text{Tr})}}{{N-s}$	$\sigma _{\varepsilon }^{2}+n\sigma _{\pi }^{2}$
착오	${\displaystyle(N-s)(n-1)}$	${\text{SS}_{\text{E}}=\sum _{h=1}^{s}\sum _{i=1}^{N_{h}}\sum _{j=1}^{n}(Y_{hij}-{\overline {Y}}_{h\cdot j}-{\overline {Y}}_{hi\cdot }+{\overline {Y}}_{h\cdot \cdot })^{2}$	${\dfrac {{\text{SS}_{\text{E}}{{{(N-s)(n-1)}}$	$\sigma _{\varepsilon }^{2}$

F-검정에 사용

관심의 귀무 가설은 다른 치료의 효과 간에 차이가 없다는 것이다. 즉, 치료 평균 간에 차이가 없다. ${\textstyle D_{\text{Tr}}=0,}$ 은 D ${\textstyle D_{\text{Tr}}=0,}$ = ${\textstyle D_{\text{Tr}}=0,}$ , ${\textstyle D_{\text{$ $Tr}}=0,}($ 위의 표에 사용된 표기법 포함). 이 귀무 가설에서 치료 효과에 대한 기대 평균 제곱은 ${\textstyle \sigma _{\varepsilon }^{2}+n\sigma _{\pi }^{2}.}$ 2 + ${\textstyle \sigma _{\varepsilon }^{2}+n\sigma _{\pi }^{2}.}$ ${\textstyle \sigma _{\varepsilon }^{2}+n\sigma _{\pi }^{2}.}$ 2 . ${\textstyle \sigma$ \sigma $_{\barepsilon }^{2}+n\sigma _{\pi$ }^{\pi $}^{2$ }이다 $.$ $}$

이 가설을 검정하기 위한 F-통계학적 분자는 처리 간의 차이로 인한 평균 제곱이다. 즉, ${\textstyle \left.{\text{SS}}_{\text{Tr}}\right/(s-1).}$ ${\textstyle \left.{\text{SS}}_{\text{Tr}}\right/(s-1).}$ / ${\textstyle \left.{\text{SS}}_{\text{Tr}}\right/(s-1).}$ ( ${\textstyle \left.{\text{SS}}_{\text{Tr}}\right/(s-1).}$ - ${\textstyle \left.{\text{SS}}_{\text{Tr}}\right/(s-1).}$ ) ${\textstyle \left.{\text{SS}}_{\text{Tr}}\right/(s-1).}$ . ${\textstyle \왼쪽이다.$ ${\text{SS}_{\text{$ $Tr}\오른쪽/($ $}}$ 그러나 분모는 ${\textstyle \left.{\text{SS}}_{\text{Tr}}\right/(s-1).}$ ${\textstyle \left.{\text{SS}}_{\text{E}}\right/{\big (}(N-s)(n-1){\big )}.}$ ${\textstyle \left.{\text{SS}}_{\text{E}}\right/{\big (}(N-s)(n-1){\big )}.}$ / ${\textstyle \left.{\text{SS}}_{\text{E}}\right/{\big (}(N-s)(n-1){\big )}.}$ ( ${\textstyle \left.{\text{SS}}_{\text{E}}\right/{\big (}(N-s)(n-1){\big )}.}$ ( ${\textstyle \left.{\text{SS}}_{\text{E}}\right/{\big (}(N-s)(n-1){\big )}.}$ - ${\textstyle \left.{\text{SS}}_{\text{E}}\right/{\big (}(N-s)(n-1){\big )}.}$ ) ${\textstyle \left.{\text{SS}}_{\text{E}}\right/{\big (}(N-s)(n-1){\big )}.}$ ( ${\textstyle \left.{\text{SS}}_{\text{E}}\right/{\big (}(N-s)(n-1){\big )}.}$ - ${\textstyle \left.{\text{SS}}_{\text{E}}\right/{\big (}(N-s)(n-1){\big )}.}$ ) ${\textstyle \left.{\text{SS}}_{\text{E}}\right/{\big (}(N-s)(n-1){\big )}.}$ . ${\textstyle \왼쪽$ 이 아니다 $.$ ${\text{SS}_{\text{$ $E}\오른쪽/{\big (}(N-s)(n-1){\big )}}$ ${\textstyle \left.{\text{SS}}_{\text{E}}\right/{\big (}(N-s)(n-1){\big )}.}$ 그 이유는 아래의 랜덤 변수가 귀무 가설에서는 F-분포를 가지고 있지만, 그 값은 관측할 수 없는 매개변수 ${\textstyle \sigma _{\pi }^{2}}$ ${\textstyle \sigma _{\pi }^{2}}$ π ${\textstyle \sigma _{\pi }^{2}}$ 2 {\ $textstyle \sigma$ _ ${\pi ^{$ 2}} ${\textstyle \sigma _{\varepsilon }^{2}.}$ ${\textstyle \sigma _{\varepsilon }^{2}.}$ 2 ${\textstyle \sigma _{\varepsilon }^{2}.}$ . {\ $textstyle \sigma$ _{\ $varepsilon}^{}{}}}}}}.$ 에 의존하기 때문에 관측할 수 없기 때문이다 $.$ $}$

디스플레이 스타일(왼쪽){\frac {{\text{SS}_{\text{Tr}}{\sigma _{\barespsilon }^{2}+n\sigma _{\pi }^{2}}:\오른쪽/(s-1){\왼쪽.{\frac {{\text{SS}_{\text{E}}{\sigma _{\barespsilon }^{2}}\\right/{\big({n-1){\big )}}\neq {\frac {{\text{{}SS}_{\text{Tr}/(s-1)}{{\text{SS}_{\text{E}/{\big (}(N-s)(n-1){\big )}}}}}}}}}}

대신, ${\textstyle {\text{SS}}_{\text{E}}}$ E ${\textstyle {\text{SS}}_{\text{E}}}$ {\ $textstyle$ {\ $text}$ 의 관점에서 정의되지 않은 다음과 같은 랜덤 변수를 검정 통계로 사용한다. $SS}_{\text{$ $E}}$ :

F={\frac(왼쪽){\frac {{\text{SS}_{\text{Tr}}{\sigma _{\barespsilon }^{2}+n\sigma _{\pi }^{2}}:\오른쪽/(s-1){\왼쪽.{\frac {{\text{SS}}_{\text{S}}{\text{Tr}}}{\sigma _{\barepsilon }^{2}+n\sigma _{\pi ^{2}}}\오른쪽/(N-s)}}}}}}}={\frac {\왼쪽.{\text{SS}_{\text{Tr}}\오른쪽/(s-1)}{\왼쪽{\text{SS}_{\text{S(Tr)}}\right/(N-s)}}}

참고 및 참조

^ 도날드 헤데커, 로버트 D. 기븐스. 종적 데이터 분석. 와일리 인터사이언스 2006. 페이지 21-24

[1] 도날드 헤데커, 로버트 D. 기븐스. 종적 데이터 분석. 와일리 인터사이언스 2006. 페이지 21-24

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