그레이트 타원

큰 타원은 경골의 두 점을 통과하고 경골의 중심과 같은 중심을 갖는 타원이다. 동등하게, 그것은 경구 표면의 타원체로서, 기원을 중심으로 하거나, 또는 그 중심을 통하여 평면에 의해 경구선을 교차하여 형성된 곡선이다.^[1] $지구$ 둘레의 약 ${\displaystyle \mathrm{4분}}$의 1 ${\displaystyle 미만}$으로 분리된 점의 $,$ ${\displaystyle \mathrm{점}}$을 연결하는 큰 타원의 길이는 지오데틱 거리($50만분$의 1 부분 이내)에 가깝다$.$^[2][3][4] 그러므로 위대한 타원은 때때로 해상 항해를 위한 적절한 경로로 제안된다. 위대한 타원은 지구 단면 경로의 특별한 경우다.

소개

Assume that the spheroid, an ellipsoid of revolution, has an equatorial radius ${\displaystyle a}$ and polar semi-axis ${\displaystyle b}$. Define the flattening ${\displaystyle f=(a-b)/a}$, the eccentricity ${\displaystyle e={\sqrt {f(2-f)}}}$, and the second eccentricity ${\displaystyle e^{\prime }}$${\displaystyle {}^{}=}$ ${\displaystyle e}$/ (${\displaystyle 1}$- ${\displaystyle f}$) ${\displaystyle e'=e/(1-f$ 다음 두 점을 고려하십시오. ${\displaystyle }$(지리학) 위도 ${\displaystyle 1_{}}$에서 ${\$ $A},$ 경도$$ ${\displaystyle 1_{}}$에서 {\displaystyle $\$$phi _{1},$$$$경도{\displaystyle }$$$ $2$에서 {\$displaystyle$ \$lambda$ $_{1},$$$ $2$에서 {\$displaystystyle \lambda _{2$ 연결 그레이트 타원($A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$에서 B$${\$displaystyle$$S_{12$$\})$은 ${\displaystyle {\mathrm{길이}}_{}}$가 12$${\$displaystyle$ s_{12$}$이며 두 끝점에$$ 방위각 ${\displaystyle {\alpha 1\mathrm{}}_{}}${\$displaystyle$$\alpha_$${1$} 및 ${\displaystyle {\alpha 2\mathrm{}}_{}}${\$displaystylepha_{2$}이 있다$.$

타원형을 반경 a ${\displaystyle a}$에 매핑하여$$ 큰 타원을 큰 원으로 매핑하는 방법은 다양하며, 큰 원 탐색 방법을 사용할 수 있다.

• 타원체는 회전 축에 평행한 방향으로 늘어날 수 있다. 이것은 타원체의$$ 위도 $latitude{\displaystyle }$ ${\displaystyle \phi }$을(를) 파라메트릭 위도인$$위도 $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta }$이(가) 있는 구상의 한 점에 매핑한다.
• 타원체 위의 지점은 타원체 중심과 그것을 연결하는 선을 따라 구에 방사상으로 매핑할 수 있다. 이것은 타원체$$ 위의 위도 $\varphi {\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ \$phi }$을(를) 위도 $\theta {\displaystyle }$ {\$displaystyle \ta$ $\},$ 지구중심 위도가 있는 구상의 지점으로 매핑한다.
• 타원체는 ${\displaystyle {극\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 반축}$ $a{\displaystyle {}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$/ b ${\displaystyle a^{2}/b}$를 가진 프로이트 타원체로 확장된$$ 다음 구 위에 방사상으로 매핑할 수 있다. 이는 위도를 보존한다. 구상의 위도는 지리적 위도인$$$\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \phi$}이다.

The last method gives an easy way to generate a succession of way-points on the great ellipse connecting two known points ${\displaystyle A}$ and ${\displaystyle B}$. Solve for the great circle between ${\displaystyle (\phi _{1},\lambda _{1})}$ and ${\displaystyle (\phi _{2},\la$$mbda _{2}}.$ 그리고 위대한$$ 원 위에서 경유지를 찾는다. 이 지도들은 그에 상응하는 위대한 타원 위에 있는 경유지로 들어간다.

큰 타원을 큰 원에 매핑

거리와 헤딩이 필요한 경우 매핑의 첫 번째를 사용하는 것이 가장 간단하다.^[5] 상세하게, 매핑은 다음과 같다(이 설명은 에서 가져온다).

• 타원체의 지리적$$ 위도 $latitude{\displaystyle }$ ${\displaystyle \phi }$이(가) 구의$$ 파라메트릭 위도 $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta }$에 매핑되며, 여기서

  $a\tan \tan \b\tan \phi.}$

• 경도 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$은(는) 변경되지 않는다$$.
• 타원형의$$ 방위각 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$은(는) 방위각 $\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \gamma }$에 매핑된다.

  ${\displaystyle {\begin{aligned}\tan \alpha &={\frac {\tan \gamma }{\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}\beta }}},\\\tan \gamma &={\frac {\tan \alpha }{\sqrt {1+e'^{2}\cos ^{2}\phi }}},\end{aligned}}}$

  그리고$$ $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$과($와{\displaystyle }$) ${\displaystyle \gamma }$의 사분원은 같다.
• 반경$$ $a{\displaystyle }$ ${\displaystyle a}$의 큰 원 위의 위치는 적도의 북쪽 교차점에서 측정한$$ 호 길이 $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma }$에 의해 파라메트릭된다. The great ellipse has a semi-axes ${\displaystyle a}$ and ${\displaystyle a{\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}\gamma _{0}}}}$, where ${\displaystyle \gamma _{0}}$ is the great-circle azimuth at the northward equator crossing, and ${\displaystyle \sigma }$ is the parametric angle on the 타원형의

(보조 구체와 유사한 매핑이 타원체상의 지질학적 용액에서 수행된다. 차이점은 방위각 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha}$이(가) 지도에 보존되어 있는$$ 반면, 경도 $longitude{\displaystyle }$ ${\displaystyle \$$lambda$ $}$은(는) "구형" 경도 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystysty$}에$$매핑되어$$ 있다는 것이다$.$ 거리 계산에 사용되는 등가 타원은 반축 ${\displaystyle b\sqrt{\mathrm{}}}$ 1${\displaystyle \sqrt{}}$+ ${\displaystyle \sqrt{{e\mathrm{}}^{}{}^{}{}_{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{0_{}}}$을$$ $있다$.$yle b{\sqrt{1+e'^{2}\cos ^{2}\cos ^{0$}\{$0}}$ $및$ b ${\displaystyle b}.)$

역 문제 해결

The "inverse problem" is the determination of ${\displaystyle s_{12}}$, ${\displaystyle \alpha _{1}}$, and ${\displaystyle \alpha _{2}}$, given the positions of ${\displaystyle A}$ and ${\displaystyle B}$. This is solved by computing ${\displaystyle \beta _{1}}$ and ${\displaystyle {\beta }_2}$${\displaystyle \property_{2}}:$${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{\lambda \mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle (\property_{1},\\da_{1}})$과${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$)$${\$displaystystyle (\ft_{2},\\da_{2}}}}})$ 사이의 대분할 때 해결$$$.$

구형 방위각은 $\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \gamma }($$\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$부터)$$로 다시 붙여졌다.$$ 따라서 $\gamma {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$${\displaystyle$ $\gamma$ $_$${0},$$\gamma {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$$displaystyle$$$$\$$gamma _${1$},${$$2 {\$displaystyle$ \$gamma$$$$_$${2$}}, $적도$ 및 $B$에 있는 구형 방위각$.$ 위대한$$ 타원형의 끝점인 ${\displaystyle {\alpha \mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$및 ${\displaystyle {\alpha \mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$}}의 방위각은$$$\gamma {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$ $_$${1}$및$$ $\gamma {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$ \\\$gma_{2}}$로 계산한다$.$

위대한 타원의 반축은 $\gamma {\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 값을 사용하여 찾을 수 있다$.$

또한 큰 원 문제의 해결책의 일부로 결정되는 것은 적도 횡단으로부터 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ 및$$ $B$ ${\displaystyle B}$까지 측정된 $\sigma {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {01}_{}}$ ${\$$displaystyle$$\sigma _{02$$\}.$ 거리 $s{\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 파라메트릭 위도 측면에서 자오선 호를 제공하는 공식을 사용하여 타원의 둘레 부분 길이를 계산하여 구한다$$. 이 공식을 적용할 때 대타원(경맥 대신)에 반축을 사용하고 $\beta {\displaystyle }${\$displaystyle \sigma _{01},$ ${\displaystyle {\mathrm{\beta }}_{}}$ ${\$$displaystyle \sigma _{02}$을 $\sigma {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {01}_{}}$${\$$displaystyle \beta$$}$로 대체한다.

$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A},$${\displaystyle {\alpha \mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$ s ${\displaystyle {12}_{}}$ ${\$에 주어진 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$의 위치를 결정하는 "직접 문제"의 해법은 유사하게 찾을 수 있다$($추가적으로, 역 자오선 거리 공식도 필요). 이것은 또한 역문제의 해법에서 웨이포인트(예: 균등하게 간격을 둔 중간점들의 시리즈)를 찾을 수 있게 한다.

참고 항목

• 접지 단면 경로
• 대순환 항법
• 타원체의 측지학
• 자오선호
• 룸 라인

참조

외부 링크

• 큰 타원에 대한 직접 및 역 문제에 대한 해결책의 Matlab 구현.