이산 체비셰프 변환

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In applied mathematics, the discrete Chebyshev transform (DCT), named after Pafnuty Chebyshev, is either of two main varieties of DCTs: the discrete Chebyshev transform on the 'roots' grid of the Chebyshev polynomials of the first kind ${\displaystyle T_{n}(x)}$ and the discrete Chebyshev transform on the 'extrema' grid of the C헤비셰프 제1종 다항식

루트 그리드의 이산 체비셰프 변환

$x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$ 지점에서 u(x)의 이산 체비셰프 변환은 다음을 통해 제공된다$$.

${\displaystyle a_{m}={\frac {p_{m}}}{{N}\sum _{n=0}^{N-1}u(x_{n})T_{m}(x_{n})}$

여기서:

${\displaystyle x_{n}=-\cos \left({\frac {\pi }}{N})(n+{\frac {1}{1}:{1}{1}:{2}}\오른쪽)}}$

${\displaystyle a_{m}={\frac {p_{m}}}\sum _{n-1}u(x_{n})^{N-1}u({n})\cos \left(m\cos ^{1}(x_{n}}\rig)}}}$

여기서 $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$= ${\displaystyle 1³}$ m${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle p_{m}=1\$좌우 $이동 m=0}$ 및$$ $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle p_{m}=2}$ 다른$$ 경우.

$x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$의 정의를 사용하여$,$

${\displaystyle a_{m}={\frac {p_{m}}}{{n1}\sum _{n-1}u(x_{n})^{N-1}cos({\frac {m\pi }{N}}}}}{{{1}:{n}}}}\rig)}}}}}}$

${\displaystyle a_{m}={\frac {p_{m}}{{n}}}\sum _{n:1}}u(x_{n})(-1)^{m}\cos \left({\frac {m\pi }{N}}}}}}}{n+{{1}2}}\오른쪽)}$

역변환:

${\displaystyle u_{n}=\sum _{m=0}^{{N-1}a_{m}T_{m}(x_{n})}$

(뿌리 그리드에서 평가된 표준 체비셰프 시리즈에 이러한 현상이 발생한다.)

${\displaystyle u_{n}=\sum _{m=0}^{{N-1a_{m}\cos \좌측({\frac {m\pi }}{N})(N+n+{\frac {1}{1}2}})\우측)}}$

${\displaystyle \therefore u_{n}=\sum _{m-1}a_{m}(-1)^{m}\cos \left({\frac {m\pi }{N}}}{N}}}(n+{1}2}})\오른쪽)}$

이것은 입력 인수를 이산 코사인 변환으로 조작함으로써 쉽게 얻을 수 있다.

이는 다음 MATLAB 코드를 사용하여 입증할 수 있다.

함수 a=fct(f,l) % x =-cos(pi/N*)((0:N-1)'+1/2); f = f(end:-1:1,:; A = 크기(f), N = A(1); 존재하는 경우('A(3') &&A(3)'~=1=1:A(3)  a(:,:,i) = sqrt(2/N) * dct(f(:,:,i));  a(1,:,i) = a(1,:,i) / sqrt(2);  end else  a = sqrt(2/N) * dct(f(:,:,i));  a(1,:)=a(1,:) / sqrt(2); end

이산 코사인 변환(dct)은 사실 MATLAB의 빠른 푸리에 변환 알고리즘을 사용하여 계산된다.
역 변환은 MATLAB 코드에 의해 제공된다.

f=ifct(a,l) % x = -cos(PI/N*)((0:N-1)'+1/2) k = 크기(a), N=k(1); a = idqt(sqrt(N/2) * [a(1,:) * sqrt(2); a(2:end,:)]; 끝

극지방 격자판의 이산 체비셰프 변환

이 변환은 그리드를 사용한다.

${\displaystyle x_{n}=-\cos \left({\frac {n\pi }{N}\오른쪽)}$

${\displaystyle T_{n}(x_{m})=\cos \left({\frac {\pi mn}{N}}+n\pi \right)=(-1)^{n}\cos \left({\frac {\pi mn}{N}}\rig}\rig)}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

이 변환은 FFT(Fast Fourier Transform)를 사용하여 구현하기가 더 어렵다.그러나 그것은 경계 값 문제에 가장 유용한 경향이 있는 극한 격자 위에 있기 때문에 더 널리 사용된다.대부분 이 그리드에 경계 조건을 적용하는 것이 더 쉽기 때문이다.

Greg von Winckel에 의해 만들어진 MATLAB 파일 교환에서 이용할 수 있는 이산형(그리고 사실 빠른 푸리에 변환을 사용하여 dct를 수행하기 때문에 빠르다)이 있다.그래서 여기서는 생략한다.

이 경우 변환과 그 역은 다음과 같다.

${\displaystyle u(x_{n}=u_{n}=\sum _{m=0}^{N}a_{m}T_{m}(x_{n})}$

${\displaystyle a_{m}={\frac {p_{m}}}{{N}}}{{{1}{{1}}}}{{1}:{1}:{1}2}}(u_{0}-1)(-1)^{N}+\sum _{n=1}^{N-1}u_{n}}}}}T_{m}(x_{n}\right]}$

여기서 $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$= ${\displaystyle 1³}$ m${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle p_{m}=1\$좌우 $이동 m=0}$ 및$$ $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle p_{m}=2}$ 다른$$ 경우.

사용 및 구현

이산 체비셰프 변환의 주요 용도는 수치적 통합, 보간 및 안정적인 수치 분화다.^[1]이러한 기능을 제공하는 구현이 C++ 라이브러리 Boost에^[2] 제공됨

참고 항목

• 체비셰프 다항식
• 이산 코사인 변환
• 이산 푸리에 변환
• 푸리에 관련 변환 목록

참조