하이퍼그래프의 불일치

하이퍼그래프의 불일치는 불일치 이론의 영역입니다.

정의들

고전적인 설정에서${\displaystyle ,}$ 우리는 하이퍼그래프 H = ($V{\displaystyle \mathcal{}}$, E ) \$displaystyle${{$mathcal {H$ {\$mathcal {E})}$의 정점을 두 클래스로 분할하는 것을 목표로 합니다.두 클래스로 분할된 파티션은 색상${\displaystyle }\theta$로 나타낼 수 있습니다: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \to }${ - ${\displaystyle 1,}$+ ${\displaystyle 1}$ $}({displaystyle \chi \color$ V$\rightarrow \{-1,+1$ -1과 +1 색상이라고 합니다.색상 클래스${\displaystyle {}^{}}$$\chi {\displaystyle {}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}{1}^{}}$( -${\displaystyle 1}$ )$$\$displaystyle \chi$^{-$1}(-1)$ 및$$${\displaystyle {}^{}}$χ -${\displaystyle {}^{}{1}^{}}$( +${\displaystyle 1}$) \$displaystyle \chi$^{-$1}(+1)$은 해당 파티션을 형성합니다.하이퍼 $에지{\displaystyle }$ E ${\displaystyle \in }$ {\$displaystyle$E \$in${\$mathcal {E$의 경우, 설정

${\displaystyle \chi(E):=\sum _{v\in E}\chi(v)}$

$\chi$에$$대한 H${$$displaystyle$${mathcal$$${H$}}$의 $불일치$와 $H{displaystyle$ \$chi}$의 $불일치$는 다음과 같이 정의됩니다.

$\"표시 스타일 \operatorname {disc}({\mathcal {H},\chi):=\;\max _{E\in \mathcal {E}} \chi (E),}$

${\disc}({\mathcal {H}) 표시 스타일 \operator 이름:=\min _{\chi :V\rightarrow \{-1,+1\}\operator 이름 {property}({\mathcal {H},\chi)}$

이러한 개념들과 '불평등'이라는 용어는 ^[1]벡의 논문에서 처음으로 등장한 것으로 보입니다.이 문제에 대한 초기 결과에는 Roth에 의한^[2] 산술 진행의 불일치에 대한 유명한 하한과 이 문제에 대한 상한 및 Erdős^[3][4], Spencer 및 Sárközi에 의한 다른 결과가 포함됩니다(^[5]39페이지에서 설명됨).그 당시, 불일치 문제는 준 램지 문제라고 불렸습니다.

예

이 개념에 대한 직관을 얻기 위해 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

• 만약 H의 모든 모서리가 사소한 교차점, 즉, E1의 두 개의 뚜렷한 모서리 E1, E2의 다른 모서리 E1, E2의 모서리에 대해 E1 ∩ E2 = \varnothing }인 경우, 불일치는 0이며, 모든 모서리가 짝수이고 카드에 홀수인 경우, 불일치는 0이다.
• 다른 극단은 완전한 하이퍼그래프$V$ $)$ {{displaystyle ($V, 2$$^{V})}$로 표시됩니다. 이 경우 불일치는 ${\displaystyle \lceil 12V}$⌉{\$displaystyle \lcheil \$lcheil \lcheil}$V \rceil$입니다. 모든 2색은 적어도 이 크기의 색상 클래스를 가지며, 이 설정도 에지입니다.반면에, 크기 ⌈12V ⌉{\lceilfrac {1}V \rceil}와 ⌋12V ⌊{\lfloor}V \rfloor}의 색상 클래스를 갖는 모든 색상 χ{\displaystyle \chi}는 불일치가 ⌈12V ⌉{\lcheilfrac {2}V보다 크지 않음을 증명한다.이 불일치는 H${${{$mathcal {H}}$의 $하이퍼{\displaystyle \mathcal{}}$ 에지가 얼마나 혼란스럽게 교차하는지를 반영하는 것으로 보입니다.그러나 다음 예에서 알 수 있듯이 상황은 그렇게 쉽지 않습니다.
• 집합 n = 4k({displaystyle n=4k}), k ∈ N({displaystyle k\in {mathcal {N}}) 및 Hn = ([n], {E} [n] ∣ [2k]) = (n), \{E\subseteq [n] ({K}), \MidE\CAP [2] ({H\Min} 단어로 표시)를 설정합니다{1,...,2k}의 요소 수가 {2k+1,...,4k}의 요소 수와 동일한 하위 집합입니다.$이제{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle {Hn}_{}}${\$displaystyle${{$H}_{n}$에는 (${\displaystyle {n\genfrac{}{}{0ex}{}{/}{/4\mathrm{}}}^{}}$보다${\displaystyle {}^{}}$많은 수가 있습니다. 2$=$${\displaystyle \mathrm{\theta }}$ ($)$ ${{n/4}}^{2}=\$$세타({\frac {1}{n}}2^{n$는 복잡하게 교차하는 가장자리입니다.그러나 한 색으로는 {1,...,2k}을(를), 다른 색으로는 {2k+1,...,4k}을(를) 색칠할 수 있기 때문에 차이가 없습니다.

마지막 예는 하이퍼 에지의 수와 같은 단일 매개 변수를 살펴봄으로써 불일치를 결정할 수 없다는 것을 보여줍니다.여전히 하이퍼그래프의 크기는 첫 번째 상한을 산출합니다.

불일치에 대한 한계

일반 하이퍼그래프

n개의 꼭짓점과 m개의 모서리를 가진 하이퍼그래프${\displaystyle \mathcal{}}$H {$displaystyle {mathcal {H}}$에 대해:

• ${\disc}({\mathcal {H})\leq {\sqrt {2n\ln(2m)} 표시 스타일 \operatorname {displaystyle \operator name {disc}({\mathcal {H})$

그 증거는 확률론적 방법의 단순한 적용입니다.$\chi {\displaystyle }$▁${\displaystyle v}$ : V${\displaystyle \to }$ {${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$, 1$}{displaystyle \chi$: V\$rightarrow \{-1$,1$\}$는 임의의 색상입니다. 즉, 다음과 같습니다.

${\displaystyle \Pr(\chi(v)=-1)=\Pr(\chi(v)=1)=displayfrac {1}{2}}}$

모든 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle \underset{}{}}$ $V$${\$$displaystyle$v\in V}에 대해 독립적입니다.${\displaystyle \sum _{}}$(${\displaystyle \underset{}{E}}$ ) = ${\displaystyle \underset{}{}}$ v ${\displaystyle \in }$ (${\displaystyle v}$) \\$displaystyle \chi$ (E)=\$sum _{v\in E}\chi$ (v$)$는 독립적인 -1, 1개의 랜덤 변수의 합입니다.따라서 모든 E ⊆ V (- \ displaystyle E \ subseteq V {\ 및 0 lambda \ displaystyle \ q 0 = \ sq n （ 2 ） \ sq n = 2 \ sq n （ 2 ） \ displaystyle \ ⁡ 2 ）.그리고나서

$표시 스타일 \Pr(\operatorname {disc}({\mathcal {H},\chi )>\lambda)\leq \sum _{E\in \mathcal {E}}\Pr(\chi(E) >\lambda)<1.}$

양의 확률을 갖는 임의의 색상은 최대$$${\displaystyle \lambda }$ \$displaystyle$\displaystyle \displaystyle \displaystyle \displaysyle$$}이므로 디스크${\displaystyle }$⁡ ${\displaystyle (H\mathcal{}}$ )$λ$ . $◻$ \$displaystyle \operatorname {\}({\mathcal {H})\$Box$}$

n개의 꼭짓점과 ${\displaystyle \mathrm{m개}}$의 모서리를 가진 $모든{\displaystyle }$ 하이퍼그래프${\displaystyle \mathcal{}}$H({$displaystyle {mathcal {H}})$에 대하여, m$({displaystyle$ m$\geqn$

• ${\disc}({\mathcal {H})\in O({\sqrt {n}})를 표시합니다.}$

이를 증명하기 위해서는 엔트로피 함수를 이용한 훨씬 정교한 접근이 필요했습니다.물론 이것은 form ${\displaystyle =}$${\displaystyle O}$ ($n$) {\$displaystyle$ m$=$$O(n$에서 특히 흥미롭습니다. m =$$ {{$displaystyle$ m=$n$의 $경우{\displaystyle }$ 디스크$⁡$ (${\displaystyle H)}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 6}$ \$displaystyle \operatorname {\$mathcal ${H}}({\mathcal$ {$H})\leq$ 6⁄$sqrt}$이 충분히 크게$$ 표시될 수 있습니다.따라서 이 결과는 일반적으로 '6개의 표준 편차로 충분'이라고 합니다.그것은 불일치 이론의 이정표 중 하나로 여겨집니다.엔트로피 방법은 예를 들어 마투셰크와^[6] 스펜서의 산술 진행에 대한 엄격한 상한 또는 마투셰크로 ^[7]인한 원시 파쇄 함수 측면의 상한 증명에서 수많은 다른 응용 프로그램을 보았습니다.

유계도 하이퍼그래프

$만약$ H${$displaystyle {$mathcal {H}}$의 각 꼭짓점이 최대 t 모서리에 포함되어 있다면,

( < $({\displaystyle \operatorname {disc}({\mathcal {H})$ < $2t$

이 결과인 벡-피알라 정리는 벡과 ^[8]피알라 때문입니다.그들은 불일치를$H$의 $최대{\displaystyle \mathcal{}}$ 정도로 제한했습니다. 이 $경계$가 점근적으로 개선될 수 있는지 여부는 유명한 미해결 문제입니다(원본 증명의 수정된 버전은 2t-1 또는 심지어 2t-3을 제공합니다$).$

Beck와 Fiala는 디스크${\displaystyle }$ (${\displaystyle H}$ $=$ O ($)$ {$displaystyle \operatorname {\mathcal {H}}=O({\sqrt {t$를 추측했지만, 이 방향으로는 아직까지 거의 진전이 없었습니다.베드나르차크와^[9] 헬름과^[10] 헬름은 ${\displaystyle }$ (${\displaystyle H)}$≤ ${\displaystyle \mathrm{2t}}$ ${\displaystyle -}$ $(displaystyle \operatorname {disc}({\mathcal {H})\leq 2t-3)($약간 제한된 상황, $즉{\displaystyle }$ ≥ ${displaystyle$ t$\geq$3})$$을 디스크로 ${\displaystyle \mathrm{작은}}$ 단계로 개선했습니다.부흐는 2016년에^[11] 이를 ${\displaystyle \mathrm{2t}}$ ${\displaystyle -}$ ${\displaystyle \log {}^{}}$${\displaystyle {\ast }^{}}$$$\$displaystyle 2t-\log$$t$로 $개선$했습니다. ${\displaystyle {\mathrm{여기}}^{}}$서 ${\displaystyle \log }$ \$displaystyle \log ^{*}t$는 반복 로그를 나타냅니다.불일치 개념이 처음으로 명시적으로 나타난 벡의 논문의^[1] 결과는 일부 상수 C에 대한 디스크${\displaystyle }$ ${\displaystyle (H\mathcal{}}$ )${\displaystyle }$≤ ${\displaystyle \sqrt{\mathrm{Ct}}}$ ${\displaystyle \log }$ $⁡$ n \$displaystyle \operatorname {disc}({\mathcal {H})\leq$ C${\sqrt$ {t$\log$ m$}}\log$n}을$$ ${\displaystyle \mathrm{보여줍니다}}$.이 방향의 최근 개선은 Banaszzzzyk:^[12] $\operatorname {displaystyle${H$})${t$\log$ n$}})$ 때문입니다$.$

순열 하이퍼그래프

p, ..., p가_m [n]의 순열을 갖는다고 가정합니다₁.H${$H}}}를$$ [n]의 모든 모서리가 모든 순열의 구간인 하이퍼그래프라고 $가정$합니다.예를 들어, 순열 중 하나가 (1,2,3,4)이면 $하이퍼그래프{\displaystyle \mathcal{}}$ H$({$에는 에지(1,2), (1,2,3), (2,3), (2,3,4) 등이 포함됩니다.H${$의 불일치는 [n]에 있는 정수의 전체적인 적색-청색의 최소, 전체적인 간격의 최대, 간격의 빨간색과 파란색 정수의 수 차이입니다.그러면:

• 임의의 두 순열에 ${\displaystyle \mathrm{대해}}$ 디스크 ${\displaystyle }$ (${\displaystyle H\mathcal{}}$ $=$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \operator$name ${display}({\$mathcal {H})=$2$
• 임의의 m 순열에 대해 디스크 ${\displaystyle }$ (${\displaystyle H}$)${\displaystyle }$≤ ${\displaystyle \mathrm{8m}}$ log ⁡$$ {{$displaystyle \operatorname {disc}({\mathcal {H})\leq 8m\log$ {$n$이며, 이러한 색상은 ^[13]효율적으로 계산될 수 있습니다.
• 모든 세 개의 순열에 대해, 벡은 디스크 ⁡ (H ) = 상수 \displaystyle \operatorname {\mathcal {H}({\mathcal {H})=displaytext{constant}}라고 추측했다. 그러나, 이 추측은 반박되었다: 3의 거듭제곱인 n에 대해, 불일치가 ⁡ (log 3 ⌈n) / 3 + 1{\displaystyle(log _3{n} /1} p즉, 모든 {1,-1} 색상의 경우, 모든 색상의 합이 d이면 세 개의 순열 모두에서 첫 번째 q 색상의 합이 최대${\displaystyle (-{log\mathrm{}}_{}}$ 3${\displaystyle {}_{}}$⁡${\displaystyle n}$ + ${\displaystyle 2d}$ -${\displaystyle 2}$) / ${\displaystyle 3\mathrm{}}${\$log _{3}{n}+2$ d-2$)/3$^{[14]: Cor.2} 인 정수 q가 존재합니다. 이는 빈 패킹 문제에 영향을 미칩니다.

다른 고전 정리

• 평면의 축 평행 직사각형(Roth, Schmidt)
• 반평면의 불일치 (알렉산더, 마투셰크)
• 산술 급수(Roth, Sarrközy, Beck, Matoushek & Spencer)
• 6개의 표준 편차로 충분(스펜서)

주요 미해결 문제

• 3차원 이상의 축 평행 직사각형(민속)
• 코밀로스 추측

적용들

• 수치 통합:고차원에서의 몬테카를로 방법.
• 계산 기하학: 알고리즘을 나누고 정복합니다.
• 이미지 처리: 하프톤

메모들

레퍼런스

• Beck, József; Chen, William W. L. (2009). Irregularities of Distribution. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-09300-2.
• Chazelle, Bernard (2000). The Discrepancy Method: Randomness and Complexity. Cambridge University Press. ISBN 0-521-77093-9.
• Doerr, Benjamin (2005). Integral Approximation (PDF) (Habilitation thesis). University of Kiel. OCLC 255383176. Retrieved 20 October 2019.
• Matoušek, Jiří (1999). Geometric Discrepancy: An Illustrated Guide. Springer. ISBN 3-540-65528-X.