직접 선형 변환

DLT(직접 선형 변환)는 일련의 유사성 관계에서 변수 집합을 해결하는 알고리즘이다.

${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle \mathrm{a}}$y ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ style $\mathbf {x} _{k}\propto \mathbf {A}$\,\$mathbf {y}}},$${\displaystyle k}$= 1 , N {\$displaysty \k=1,\ldots,N}$

여기서 $x{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$$displaystyle \mathbf {x} _{k}$ 및 y$$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$$}}$는 알려진 벡터,$∝$ {\$displaystyle$$\\$$mathbf {A}은($또는 선형 변환)로$$, A는 알 수 없는 곱셈을 포함하는 행렬($또는{\displaystyle \mathbf{}}$ 선형 변환이다$$..

이러한 유형의 관계는 투영 기하학에서 자주 나타난다.실제적인 예로는 장면의 3D 지점과 핀홀 카메라의 영상 평면에 투영된 지점 간의 관계,^[1] 동음이의 등이 있다.

소개

선형방정식의 일반계

${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {}_{}}$= A ${\displaystyle y{\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$style \$mathbf {x} _{$k}=\$mathbf$ {$A}$${\displaystyle }$\,\$mathbf$ {$y}} _{k$${\displaystyle \}\},}$ n$$ ${\displaysty \k=1,\ldots}$

can be solved, for example, by rewriting it as a matrix equation ${\displaystyle \mathbf {X} =\mathbf {A} \,\mathbf {Y} }$ where matrices ${\displaystyle \mathbf {X} }$ and ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ contain the vectors ${\displaystyle \mathbf {x} _{k}}$ and ${\displaystyle$$\mathbf {y} _{k}}$ 각 열에$$.고유한 해결책이 존재한다는 점을 감안하여 다음과 같이 제시한다.

${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {X} \,\mathbf {Y} ^{T}\,(\mathbf {Y} \,\mathbf {Y}^{T})^{-1}.}$

또한 방정식이 초과되거나 과소 결정되는 경우에도 해법이 설명될 수 있다.

위의 표준 사례와 직접적인 선형 변환 문제를 구별하는 것은 정의 방정식의 좌우측면이 k에 의존하는 미지의 승수 인자에 의해 달라질 수 있다는 사실이다.따라서 $A{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$은(는) 표준 사례처럼 계산할 수 없다$$.대신, 유사성 관계는 적절한 선형 동질 방정식으로 다시 쓰여지고, 표준 방법으로 해결할 수 있다.유사성 방정식을 동종 선형 방정식으로 다시 쓰고 이를 표준 방법으로 해결하는 것을 직접 선형 변환 알고리즘 또는 DLT 알고리즘이라고 한다.DLT는 이반 서덜랜드에 기인한다.^[2]

예

$k{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }${ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$.${\displaystyle }$.${\displaystyle }$. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle k\in \{1$, $...$라고 가정합시다.$,N\}}$. Let ${\displaystyle \mathbf {x} _{k}=(x_{1k},x_{2k})\in \mathbb {R} ^{2}}$ and ${\displaystyle \mathbf {y} _{k}=(y_{1k},y_{2k},y_{3k})\in \mathbb {R} ^{3}}$ be two known vectors, and we want to find the ${\$$displaystyle 2\times$3} $행렬$ A$$$${\$displaystyle \mathbf {A}:$

${\displaystyle \alpha _{k}\mathbf {x} _{k}=\mathbf {A} \,\mathbf {y} _{k}}}$

여기서 $\alpha {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \alpha_{k}\neq 0}$은 방정식 k와 관련된 알 수 없는 스칼라 인자이다.

알 수 없는 스칼라를 제거하고 균일한 방정식을 얻으려면 대칭 행렬을 정의하십시오.

${\displaystyle \mathbf {H} ={\begin{pmatrix}0&-1\\\1&0\end{pmatrix}}}$

그리고 왼쪽에서$$ x ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle H{}_{}^{}\mathbf{}}$ ${\$ {H$}로$방정식의 양쪽을 곱한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {x} _{k}^{T}\,\mathbf {H} )\,\alpha _{k}\,\mathbf {x} _{k}&=(\mathbf {x} _{k}^{T}\,\mathbf {H} )\,\mathbf {A} \,\mathbf {y} _{k}\\\alpha _{k}\,\mathbf {x} _{k}^{T}\,\mathbf {H} \,\mathbf {x} _{k}&=\mathbf {x} _{k}^{T}\,\mathbf {H} \,\mathbf {A} \,\mathbf {y} _{k}\end{aligned}}}$

$x{\displaystyle {\mathbf{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ T ${\displaystyle H{}_{}^{}\mathbf{}}$ x ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{k}^{T}\mathbf {H} \,\mathbf {x} _{k}=0},$ 더 이상 알 수 없는 스칼라를 포함하지 않는 다음과$$ 같은 균일한 방정식이 가까이에 있다.

${\displaystyle \mathbf {x} _{k}^{T}\,\mathbf {H} \,\mathbf {A} \,\mathbf {y} _{k}=0}$

이 방정식 집합에서$$ $A{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$를) 해결하려면 벡터 x ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ $_{k$$}$ 및$$ $y{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\$ $\mathbf$$${k$}$_$$${$$k$ $및{\displaystyle \mathbf{}}$행렬 A의 요소를 $고려$하십시오.

${\displaystyle \mathbf {x} _{k}={\begin{pmatrix}x_{1k}\\x_{2k}\end{pmatrix}}}$, ${\displaystyle \mathbf {y} _{k}={\begin{pmatrix}y_{1k}\\y_{2k}\\y_{3k}\end{pmatrix}}}$, and $){\$

그리고 위의 동질 방정식은

${\displaystyle 0=a_{11}\,x_{2k}\,y_{1k}-a_{21}\,x_{1k}\,y_{1k}+a_{12}\,x_{2k}\,y_{2k}-a_{22}\,x_{1k}\,y_{2k}+a_{13}\,x_{2k}\,y_{3k}-a_{23}\,x_{1$${\displaystyle k}$$}\,y_{3k}$의 경우 ${\displaystyle \mathrm{k}}$= 1${\displaystyle }$,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle N}$. ${\displaystyle \,k=1,\ldots,N.}$

이것은 또한 매트릭스 형식으로 기록될 수 있다.

${\displaystyle }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle }$= b ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle a{}_{}^{}\mathbf{}}$ ${\$ 0$=\mathbf {b} _{k}^{T}\,\mathbf {a}$의 k${\displaystyle }$= 1${\displaystyle }$,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \,k=1,\ldots ,N}$

여기서 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 및 ${\$은(는) 모두 6차원 벡터로서 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \mathbf {b} _{k}={\begin{pmatrix}x_{2k}\,y_{1k}\\-x_{1k}\,y_{1k}\\x_{2k}\,y_{2k}\\-x_{1k}\,y_{2k}\\x_{2k}\,y_{3k}\\-x_{1k}\,y_{3k}\end{pmatrix}}}$ and a${\displaystyle \mathbf{}}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle \begin{array}{c}{11}_{}\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{c}{}_{}\\ {}_{}\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{c}{21}_{}\end{array}}$ a ${\displaystyle \begin{array}{c}{12}_{}\end{array}}$ a ${\displaystyle \begin{array}{c}{22}_{}\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{c}{}_{}\\ {}_{}\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{c}{13}_{}\end{array}}$ a ${\displaystyle \begin{array}{c}{23}_{}\end{array}}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle \mathbf {a} ={\\\\\\\\{11}\\a_{21}\a_{22}\a_{13}\a_{23}\end{pmatrix}}}}}.$$}$

지금까지 우리는 1개의 방정식과 6개의 미지식을 가지고 있다.동질 방정식의 집합은 행렬 형태로 쓰여질 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {0} =\mathbf {B} \,\mathbf {a}}$

여기서 $B{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$는) $알려진{\displaystyle }$ 벡터 ${\displaystyle {}_{}}$ {\$displaystyle \mathbf$ {$b} _{k}$를 행에 포함하는 N$$ ${\displaystyle \times }$6 {\$displaystyle$ N\$times 6}$ 행렬이다$.$$예$를 들어 $B{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$$displaystyle \mathbf {a}$의 단수 값 분해를 통해 알 수 $없는{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$$displaystyle \mathbf {B}$을$($를) 확인할 수 있다$$$.$ ${\$$displaystyle \mathbf${$a}$은 0과 같은 단수 값에 해당하는$$ $B$의$$우측 단수 벡터다$$.Once ${\displaystyle \mathbf {a} }$ has been determined, the elements of matrix ${\displaystyle \mathbf {A} }$ can rearranged from vector ${\displaystyle \mathbf {a} }$. Notice that the scaling of ${\displaystyle \mathbf {a} }$ or ${\displaystyle \mathbf {A} }$ is not important (except that it mu정의 방정식이 이미 알 수 없는 스케일링을 허용하기 때문에 st be non-zero)

실제로 벡터 $x{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}${\$displaybf \mathbf$ {$x} _{k}$ ${\displaystyle {}_{}}$ y k ${\$는 유사 방정식이 근사적으로만 유효하다는 것을 의미하는 노이즈를 포함할$$ 수 있다.따라서 동종 $방정식{\displaystyle \mathbf{}}$ 0${\displaystyle }$= ${\displaystyle B\mathbf{}}$ = B ${\displaystyle a\mathbf{}}$ ${\$$mathbf$${0} =\mathbf {B} \,\mathbf {a}을($를) 정확하게$$ 해결하는$$ 벡터 $a{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$\mathbf {$a}이($가) 없을 수 있다.이러한 경우, B${\displaystyle .}$의 최소 단수 값에 해당하는 오른쪽 단수 $벡터$로$${\$displaystyle \mathbf {a}$을(를) 선택하여 총 최소 제곱법을 사용할 수 있다$.$

더 많은 일반 사례

위의 예에는 $x{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$ 및 y$$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$이 있지만 유사성 관계를 동종 선형 방정식으로 다시 쓰기 위한 일반적인 전략은 두 $가지{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ x의 임의 차원에 대해 일반화할 수 있다.${\displaystyle {}_k}$ ${\$ 및$$ y ${\displaystyle {}_{}}$. ${\displaystyle \mathbf {y} _{k}.$$}$

$x{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$ 및$$ $y{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ \$mathb$ {R$}} ^{$q}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} 이전$$ 식이 여전히 방정식으로 이어질 수 있다.

${\displaystyle 0}$${\displaystyle }$${\displaystyle }$= k${\displaystyle }$= 1 ,${\displaystyle \dots }$에 대한$$ x ${\displaystyle {\mathbf{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle H{}_{}^{}\mathbf{}}$ ${\displaystyle A\mathbf{}}$ y ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 0$=\mathbf {x} _{k}^{T}\,\mathbf {A} \,\mathbf${$y$$} _{k}}}},$ 1 = ${\displaystyle \dots ,}$ N의 경우 ${\displaystyle \, \k=$1,k=1,$dots}$

where ${\displaystyle \mathbf {A} }$ now is ${\displaystyle 2\times q.}$ Each k provides one equation in the ${\displaystyle 2q}$ unknown elements of ${\displaystyle \mathbf {A} }$ and together these equations can be written ${\displaystyle \mathbf {B} \,\mathbf {a} =\mathbf {0} }$ f또는 알려진 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle N\times$ 2$\,q}$ $행렬$ B ${\$및$$ 알 수 없는 2q 차원 벡터 $a{\displaystyle \mathbf{}.}$ ${\displaystyle \mathbf {a}.}$ 이$$ 벡터는 전과 유사한 방법으로 찾을 수 있다.

가장 일반적인 경우 $x{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$ $\$$mathbp {R} ^p}$ 및$$ $y{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$이전과 비교한 주요 차이점은 현재 $매트릭스{\displaystyle \mathbf{}}$ H$${\$displaystyle \mathbf {H}$이($가$) p$$ ${\displaystyle p}$ {\$displaystyle$ p$\times p}$과(와) 대칭성이라는 점이다.> ${\displaystyle p>2}$ 그러한 행렬의 공간이 더 이상 1차원이 아니라 차원이다.

${\displaystyle M={\frac {p\,(p-1)}{2}.}$

이는 k의 각 값이 M의 동질 방정식을 제공한다는 것을 의미한다.

${\displaystyle 0=\mathbf {x} _{k}^{T}\,\mathbf {H} _{m}\,\mathbf {A} \,\mathbf {y} _{k}}$ for ${\displaystyle \,m=1,\ldots ,M}$ and for ${\displaystyle \,k=1,\ldots ,N}$

여기서 $H{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$은 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p\times p}$ 대칭$$ 행렬의 공간의 M-차원 기반이다$$.

예제 p = 3

p = 3인 경우, 다음의 세 가지 행렬 H ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$을 선택할 수 있다$$.

H1)(00000− 1010){\displaystyle \mathbf{H}_{1}={\begin{pmatrix}0&, 0&, 0\\0&, 0&, -1\\0&, 1&, 0\end{pmatrix}}}, H2)(001000− 100){\displaystyle \mathbf{H}_{2}={\begin{pmatrix}0&, 0&, 1\\0&, 0&, 0\\-1&, 0&, 0\end{시.atrix}}}, H3=(0−${\displaystyle \mathbf {H} _{3}={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0\nd{pmatrix}}.$$}$

이 특별한 경우, 동종 선형 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle \mathbf{0}}$${\displaystyle }$${\displaystyle }$=${\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ,${\displaystyle }$…에 대한 [ x ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {\times }_{}}$ ${\displaystyle A{}_{}\mathbf{}}$ y k ${$ = $[\mathbf {x}$_{k$}_{k}\\mathbf {A} \,\mathbf {y} \}}}{k$${\displaystyle \}\}\},}$ N에 대한$$ ${\displaystyle \,k=1,dots,N}$

여기서${\displaystyle }$[ ${\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {\times }_{}}$ ${\$은 벡터 교차 제품의 행렬 표현이다.이 마지막 방정식은 벡터 값이며, 왼쪽은 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 영점 원소라는 점에 유의하십시오$.$

k의 각 값은 $A{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$의 알려지지 않은 요소에 3개의 동종 선형 방정식을 제공한다$.$ 다만$,{\displaystyle }$ [ ${\displaystyle {}_{}}$ k $×$ {\$displaystyle$[\$mathbf {x} _{k}]_{\time$}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}은 등급이(으(으$$)이므로, 최대 2개의 방정식은 선형 독립적이다.따라서 실제로는 3개의 행렬 $중{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$의 행렬 H m ${\$만 사용하는 것이 보통이다$.$그러나 방정식들 사이의 선형 $의존성$은 x ${\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle \mathbf {x} _{k$에 따라 달라지는데, 이는 불운한 경우 m=2,3을 선택하는 것이 더 좋았을 것이라는 것을 의미한다.따라서 방정식 수가 문제가 되지 않는다면 행렬 $B{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$가) 생성될$$ 때 세 방정식을 모두 사용하는 것이 좋을 수 있다.

그 사건 p을의 결과 동일한 1차 방정식 사이의 선형 의존하는 것을 우려하고;2과 중 하나의 H치고(_{m}}anti-symmetric 매트릭스의 집합을 줄이거나 B{\displaystyle \mathbf{B}}필요한 이상한 결정을 위한 허용하여 처리해야 하고 있다.${\displaystyle \mathbf$

참조

• Richard Hartley and Andrew Zisserman (2003). Multiple View Geometry in computer vision. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-54051-3.

외부 링크

• Elan Dubrofsky에 의한 동음이의학 평가 (제2.1조는 "기본 DLT 알고리즘"을 스케치한다)

• Hsiang-Jen (Johnny) Chien의 MATLAB 기반 DLT Solver