생체조직에서의 광자수송을 위한 방사전달방정식 및 확산이론

생체 조직의 광자 수송은 몬테카를로 시뮬레이션으로 수치적으로 동등하게 모델링되거나 방사 전달 방정식(RTE)에 의해 분석적으로 모델링될 수 있다.그러나 RTE는 근사치를 도입하지 않고는 해결하기 어렵습니다.여기서 요약되는 일반적인 근사치는 확산 근사치이다.전반적으로, 광자 전송을 위한 확산 방정식에 대한 해답은 계산적으로 더 효율적이지만 몬테 카를로 ^[1]시뮬레이션보다 정확도가 낮다.

균질^[2] 케이스

흡수^[2] 불균일성

산란 불균일성^[2]

정의들

그림 1: 차동 솔리드 앵글

d\Omega

({displaystyle

d\

Omega

내의 위치

→({

에서

{\vec {r}}

차동 영역

요소

({displaystyle dA})

를

dA

통과하는 에너지 흐름의 개요

RTE는 광자가 조직 내에서 이동할 때 에너지 전달을 수학적으로 모델링할 수 있습니다.방사영역의 작은 영역 요소를 통과하는 방사 에너지 흐름은 $L({\vec {r}},{\hat {s}},t)({\frac {W}{m^{2}sr}})$ L ( $L({\vec {r}},{\hat {s}},t)({\frac {W}{m^{2}sr}})$ $L({\vec {r}},{\hat {s}},t)({\frac {W}{m^{2}sr}})$ , $L({\vec {r}},{\hat {s}},t)({\frac {W}{m^{2}sr}})$ , $L({\vec {r}},{\hat {s}},t)({\frac {W}{m^{2}sr}})$ ) ( $L({\vec {r}},{\hat {s}},t)({\frac {W}{m^{2}sr}})$ $L({\vec {r}},{\hat {s}},t)({\frac {W}{m^{2}sr}})$ $L({\vec {r}},{\hat {s}},t)({\frac {W}{m^{2}sr}})$ $L({\vec {r}},{\hat {s}},t)({\frac {W}{m^{2}sr}})$ r $L({\vec {r}},{\hat {s}},t)({\frac {W}{m^{2}sr}})$ ) { $display L$ ( { \ $vec$ { $r$ } , { \ $hat$ { $s$ } , $t$ ) ( { \ $frac$ { $W$ } { $m^$ { $sr$ } $L({\vec {r}},{\hat {s}},t)({\frac {W}{m^{2}sr}})$ } ) $L({\vec {r}},{\hat {s}},t)({\frac {W}{m^{2}sr}})$ 방사조도는 정상 단위당 고체 면적당 각도로 정의됩니다.여기서 r $→$ {\ $displaystyle {r}}$ 은 ${\vec {r}}$ 위치를 ${\hat {s}}$ s $^$ {\ $displaystyle {s}$ 는 단위 ${\hat {s}}$ 방향 벡터를 $나타내며$ t {\ $displaystyle$ t $}$ 는 $t$ 시간을 나타냅니다(그림 1).
다른 몇 가지 중요한 물리량은 ^[1]광도의 정의에 기초한다.

플루언스 레이트 또는 강도 $\Phi ({\vec {r}},t)=\int _{4\pi }L({\vec {r}},{\hat {s}},t)d\Omega \left({\frac {W}{m^{2}}}\right)$ ( $\Phi ({\vec {r}},t)=\int _{4\pi }L({\vec {r}},{\hat {s}},t)d\Omega \left({\frac {W}{m^{2}}}\right)$ , t ) $\Phi ({\vec {r}},t)=\int _{4\pi }L({\vec {r}},{\hat {s}},t)d\Omega \left({\frac {W}{m^{2}}}\right)$ ( $→$ , $\Phi ({\vec {r}},t)=\int _{4\pi }L({\vec {r}},{\hat {s}},t)d\Omega \left({\frac {W}{m^{2}}}\right)$ ^ $\Phi ({\vec {r}},t)=\int _{4\pi }L({\vec {r}},{\hat {s}},t)d\Omega \left({\frac {W}{m^{2}}}\right)$ , $\Phi ({\vec {r}},t)=\int _{4\pi }L({\vec {r}},{\hat {s}},t)d\Omega \left({\frac {W}{m^{2}}}\right)$ ) d $\Phi ({\vec {r}},t)=\int _{4\pi }L({\vec {r}},{\hat {s}},t)d\Omega \left({\frac {W}{m^{2}}}\right)$ W $\Phi ({\vec {r}},t)=\int _{4\pi }L({\vec {r}},{\hat {s}},t)d\Omega \left({\frac {W}{m^{2}}}\right)$ 2 $\Phi ({\vec {r}},t)=\int _{4\pi }L({\vec {r}},{\hat {s}},t)d\Omega \left({\frac {W}{m^{2}}}\right)$ ) ( \ $displaystyle$ \ $Phi$ ( { \ $vec$ { r $\Phi ({\vec {r}},t)=\int _{4\pi }L({\vec {r}},{\hat {s}},t)d\Omega \left({\frac {W}{m^{2}}}\right)$ } $\Phi ({\vec {r}},t)=\int _{4\pi }L({\vec {r}},{\hat {s}},t)d\Omega \left({\frac {W}{m^{2}}}\right)$ t ) $=$ \ $int$ _ 4 \ $pi$ } L( { \ $ve$ { r } , \ hat { $d$ } ) $left$ } )
플루언스 ${\displaystyle F({\vec {r})=\int _{-\infty }^{+\infty}\Phi({\vec {r}},t)dt\leftfrac {J}{m^{2}}\right})$
전류 밀도(에너지 플럭스) ${\vec {J}}({\vec {r}},t)=\int _{4\pi }{\hat {s}}L({\vec {r}},{\hat {s}},t)d\Omega \left({\frac {W}{m^{2}}}\right)$ ${\vec {J}}({\vec {r}},t)=\int _{4\pi }{\hat {s}}L({\vec {r}},{\hat {s}},t)d\Omega \left({\frac {W}{m^{2}}}\right)$ ( ${\vec {J}}({\vec {r}},t)=\int _{4\pi }{\hat {s}}L({\vec {r}},{\hat {s}},t)d\Omega \left({\frac {W}{m^{2}}}\right)$ ${\vec {J}}({\vec {r}},t)=\int _{4\pi }{\hat {s}}L({\vec {r}},{\hat {s}},t)d\Omega \left({\frac {W}{m^{2}}}\right)$ , ${\vec {J}}({\vec {r}},t)=\int _{4\pi }{\hat {s}}L({\vec {r}},{\hat {s}},t)d\Omega \left({\frac {W}{m^{2}}}\right)$ ) ${\vec {J}}({\vec {r}},t)=\int _{4\pi }{\hat {s}}L({\vec {r}},{\hat {s}},t)d\Omega \left({\frac {W}{m^{2}}}\right)$ ${\vec {J}}({\vec {r}},t)=\int _{4\pi }{\hat {s}}L({\vec {r}},{\hat {s}},t)d\Omega \left({\frac {W}{m^{2}}}\right)$ 4 ${\vec {J}}({\vec {r}},t)=\int _{4\pi }{\hat {s}}L({\vec {r}},{\hat {s}},t)d\Omega \left({\frac {W}{m^{2}}}\right)$ ${\vec {J}}({\vec {r}},t)=\int _{4\pi }{\hat {s}}L({\vec {r}},{\hat {s}},t)d\Omega \left({\frac {W}{m^{2}}}\right)$ ^ L ${\vec {J}}({\vec {r}},t)=\int _{4\pi }{\hat {s}}L({\vec {r}},{\hat {s}},t)d\Omega \left({\frac {W}{m^{2}}}\right)$ ( ${\vec {J}}({\vec {r}},t)=\int _{4\pi }{\hat {s}}L({\vec {r}},{\hat {s}},t)d\Omega \left({\frac {W}{m^{2}}}\right)$ , ${\vec {J}}({\vec {r}},t)=\int _{4\pi }{\hat {s}}L({\vec {r}},{\hat {s}},t)d\Omega \left({\frac {W}{m^{2}}}\right)$ ^ , $t$ ) ${\vec {J}}({\vec {r}},t)=\int _{4\pi }{\hat {s}}L({\vec {r}},{\hat {s}},t)d\Omega \left({\frac {W}{m^{2}}}\right)$ ( W m ${\vec {J}}({\vec {r}},t)=\int _{4\pi }{\hat {s}}L({\vec {r}},{\hat {s}},t)d\Omega \left({\frac {W}{m^{2}}}\right)$ 2 ${\vec {J}}({\vec {r}},t)=\int _{4\pi }{\hat {s}}L({\vec {r}},{\hat {s}},t)d\Omega \left({\frac {W}{m^{2}}}\right)$ { $r }$ ( { \ vec { $r }$ , t ) = \ $int _$ 4 \ pi } { \ $hat { rVE$ } L }이것은 에너지 흐름의 일반적인 방향을 가리키는 플루언스 속도의 벡터 대응물입니다.

복사 전달 방정식

RTE는 $L({\vec {r}},{\hat {s}},t)$ L $L({\vec {r}},{\hat {s}},t)$ $L({\vec {r}},{\hat {s}},t)$ , $L({\vec {r}},{\hat {s}},t)$ , $L({\vec {r}},{\hat {s}},t)$ ) $L({\vec {r}},{\hat {s}},t)$ { $display$ L $({\vec {r}$ , {\ $hat {s}$ , $t$ 을 나타내는 미분 방정식으로, 에너지 절약을 통해 도출할 수 있습니다.간단히 말해서, RTE는 빛의 빔이 발산 및 소멸(빔으로부터의 흡수 및 산란을 모두 포함)을 통해 에너지를 손실하고 매질 내의 광원과 빔을 향한 산란으로부터 에너지를 얻는다고 기술합니다.일관성, 편광 및 비선형성은 무시됩니다. $굴절률$ n(\ $displaystyle$ n $n$ 흡수계수_a μ, 산란계수_s μ, 산란 $이방성$ g(\ $displaystyle$ g $)$ 등의 $g$ 광학특성은 시간불변성으로 간주되지만 공간적으로 다를 수 있다.산란은 탄성이 있다고 가정한다.RTE(볼츠만 방정식)는 다음과 같이 작성됩니다.^[1]

{\displaystyle {\vec {r}, {\hat {s}, t}/c}{\hat {s}}=-{\hat {s}}\cdot \cdot \la L({\vec {r}, t)-\mu _{t}L({\vec {r}, {r},\mu}, {\hat})

어디에

$\displaystyle$ c는 $c$ 상대 굴절률에 의해 결정되는 조직 내 빛의 속도입니다.
μ $=$ {\ $displaystyle$ =} $=$ _a+μ는_s 소광 계수입니다_t.
$P({\hat {s}}',{\hat {s}})$ ( $P({\hat {s}}',{\hat {s}})$ ^ $P({\hat {s}}',{\hat {s}})$ , s $P({\hat {s}}',{\hat {s}})$ ) $P({\hat {s}}',{\hat {s}})$ ({ $displaystyle P$ ( \ $hat$ { s } , { \ $hat$ { $s$ } ) )는 $P(\hat{s}',\hat{s})$ 위상함수이며, ${\hat {s}}'$ s ^ ^ ${\$ { \ $displaystyle$ $d$ $\ Omega$ }의 ${\hat {s}}'$ $d\Omega$ $d\Omega$ 이 s $d\Omega$ $^$ { $displaystyle$ { $s$ ${\hat {s}}$ 에 $d\Omega$ 될 확률을 나타냅니다. $경우$ 에 따라 위상 $P({\hat {s}}',{\hat {s}})=P({\hat {s}}'\cdot {\hat {s}})$ ${\hat {s}}$ 는 $산란$ 된 $\hat{s}'$ ${\hat {s}}$ s^ ${\hat {s}}'$ ^ ${\hat {s}}'$ ^ ^ ${\hat {s}}$ ^ ^ ^ $^$ $P({\hat {s}}',{\hat {s}})=P({\hat {s}}'\cdot {\hat {s}})$ $P({\hat {s}}',{\hat {s}})=P({\hat {s}}'\cdot {\hat {s}})$ ^ $P({\hat {s}}',{\hat {s}})=P({\hat {s}}'\cdot {\hat {s}})$ ^ $P({\hat {s}}',{\hat {s}})=P({\hat {s}}'\cdot {\hat {s}})$ ^ $P({\hat {s}}',{\hat {s}})=P({\hat {s}}'\cdot {\hat {s}})$ ^ ^ $P({\hat {s}}',{\hat {s}})=P({\hat {s}}'\cdot {\hat {s}})$ ^ ^ ^ ^ ^ ^ } {\ $hat {s$ $=$ { $displaystyle$ P $({\$ hat {s}}) ${s} 방향$ 사이의 $P({\hat {s}}',{\hat {s}})=P({\hat {s}}'\cdot {\hat {s}})$ 에만 의존합니다.산란 이방성은 $g=\int _{4\pi }({\hat {s}}'\cdot {\hat {s}})P({\hat {s}}'\cdot {\hat {s}})d\Omega$ $g=\int _{4\pi }({\hat {s}}'\cdot {\hat {s}})P({\hat {s}}'\cdot {\hat {s}})d\Omega$ 4 $g=\int _{4\pi }({\hat {s}}'\cdot {\hat {s}})P({\hat {s}}'\cdot {\hat {s}})d\Omega$ ( $g=\int _{4\pi }({\hat {s}}'\cdot {\hat {s}})P({\hat {s}}'\cdot {\hat {s}})d\Omega$ $g=\int _{4\pi }({\hat {s}}'\cdot {\hat {s}})P({\hat {s}}'\cdot {\hat {s}})d\Omega$ $g=\int _{4\pi }({\hat {s}}'\cdot {\hat {s}})P({\hat {s}}'\cdot {\hat {s}})d\Omega$ ) $g=\int _{4\pi }({\hat {s}}'\cdot {\hat {s}})P({\hat {s}}'\cdot {\hat {s}})d\Omega$ P $g=\int _{4\pi }({\hat {s}}'\cdot {\hat {s}})P({\hat {s}}'\cdot {\hat {s}})d\Omega$ ( $g=\int _{4\pi }({\hat {s}}'\cdot {\hat {s}})P({\hat {s}}'\cdot {\hat {s}})d\Omega$ ^ $g=\int _{4\pi }({\hat {s}}'\cdot {\hat {s}})P({\hat {s}}'\cdot {\hat {s}})d\Omega$ ^ $g=\int _{4\pi }({\hat {s}}'\cdot {\hat {s}})P({\hat {s}}'\cdot {\hat {s}})d\Omega$ ) $g=\int _{4\pi }({\hat {s}}'\cdot {\hat {s}})P({\hat {s}}'\cdot {\hat {s}})d\Omega$ { $displaystyle$ g = \ $int _$ { 4 \ pi } ( { \ $hat$ { $s}$ } ) \ $cdot$ { s $g=\int _{4\pi }({\hat {s}}'\cdot {\hat {s}})P({\hat {s}}'\cdot {\hat {s}})d\Omega$ } （ \ $hat$ { s $g=\int _{4\pi }({\hat {s}}'\cdot {\hat {s}})P({\hat {s}}'\cdot {\hat {s}})d\Omega$ } ）。 $P({\hat {s}}'\cdot {s})d\Omega}$
$S({\vec {r}},{\hat {s}},t)$ $S({\vec {r}},{\hat {s}},t)$ $S({\vec {r}},{\hat {s}},t)$ , $S({\vec {r}},{\hat {s}},t)$ , $S({\vec {r}},{\hat {s}},t)$ ) { $displaystyle$ S $({\vec {r},$ {\ $hat {s},t)}$ 는 $S(\vec{r},\hat{s},t)$ 광원을 나타냅니다.

확산 이론

전제 조건

RTE에서는 r $→({$ $({displaystyle \theta}),$ $({displaystyle$ \ $theta })$ 의 $\theta$ $\phi$ 공간 및 시간 지점( $\$ $displaystyle$ x $x$ $\displaystyle$ y $y$ 및 $z$ ({ $displaystyle$ z}))의 $z$ 광도를 6개의 서로 다른 독립 변수로 정의합니다. $^$ {\ $displaystyle {s$ $및$ t {\ $displaystyle$ t $}.$ 산란매체 중 광자의 거동에 대해 적절한 가정을 함으로써 독립변수의 수를 줄일 수 있다.이러한 가정은 광자 수송을 위한 확산 이론(및 확산 방정식)으로 이어진다.RTE에 확산 이론을 적용할 수 있는 두 가지 가정은 다음과 같다.

산란 이벤트에 비해 흡수 이벤트는 거의 없다.마찬가지로, 수많은 산란 이벤트 후 흡수 이벤트가 거의 발생하지 않으며, 광도는 거의 등방성이 된다.이러한 가정을 방향적 확대라고 부르기도 합니다.
1차 산란매체에서는 1개의 트랜스포트 평균 자유경로를 통과하는 시간보다 실질적으로 전류밀도 변화 시간이 훨씬 길다.따라서 1개의 트랜스포트 평균 자유 패스에 걸쳐 전류 밀도의 부분적인 변화는 유니티보다 훨씬 작습니다.이 성질은 때때로 시간적 확대라고 불립니다.

이 두 가지 전제 조건 모두 고알베도(예비 산란) ^[1]배지가 필요합니다.

확산 근사에서의 RTE

이 환하게 빛나구면 조화 함수 Y{Y\displaystyle}n의 기본 집합, m로 확장될 수 있확산 이론에서, 광채는 대체로 등방성, 그렇게만 등방성, 일차 이방성의 용어가 사용되었다:L=01∑ m)− n에 대해 Ln, m(r→ t)Y, m(s^∑ n≈(r→, s^ t)이다. $)({\vec$ $Y_{n,m}({\hat {s}})$ 입니다 $L(\vec{r},\hat{s},t) \approx\ \sum_{n=0}^{1} \sum_{m=-n}^{n}L_{n,m}(\vec{r},t)Y_{n,m}(\hat{s})$ . $L$ 서L(\ $displaystyle$ L $)$ 은 $L$ _{n, m} 확장 계수입니다.방사 조도는 n = 0(등방성 항)에 대한 항과 n = 1( 이방성 항)에 대한 항 3개(비등방성 항)에 대한 항으로 표현됩니다.구면 고조파의 특성과 형광률 $\Phi ({\vec {r}},t)$ , $\Phi ({\vec {r}},t)$ ) { $style \Phi(\$ $vec$ ${r}, t)}$ 및 $\Phi ({\vec {r}},t)$ 전류 ${\vec {J}}({\vec {r}},t)$ J ${\vec {J}}({\vec {r}},t)$ ${\vec {J}}({\vec {r}},t)$ , $)$ { $displaystyle {vec {J}}({\vec$ { $r},$ t ${\vec {J}}({\vec {r}},t)$ 의 정의를 사용하여 각각 다음과 같이 표현할 수 있다.

$\displaystyle L_{0,0}({\vec {r}},t)Y_{0,0}({\hat {s}})=phi({\vec {r},t}){4\pi }}$
$\displaystyle \sum _{m=-1}^{1}L_{1,m}({\vec {r}}},t)Y_{1,m}({\hat {s}})=bec frac {3}{4\pi}}}{\vec {J}}({\vec {r}},t)\cdot {s}}$

따라서 우리는 광도를^[1] 다음과 같이 근사할 수 있다.

({displaystyle L({\vec {r}},{\hat {s},t)=phi(\vec {r},t)+{\frac {3}{4\pi }}}{\vec {J}}}({\vec {r},t})\cdot {s}})

위의 식을 광도에 대입하여 RTE를 다음과 같이 각각 스칼라 및 벡터 형태로 다시 작성할 수 있습니다(RTE의 산란 항은 $4\pi$ $(\displaystyle$ 4 $\pi)$ 입체 $4\pi$ 각도에 걸쳐 통합됩니다).벡터 형식의 경우 RTE에 방향 $^(\$ 를 ${\hat {s}}$ 곱한 후 평가합니다.다음과 같습니다.^[1]

{\displaystyle {\vec {r}, t}{c\vec t}+\mu _{a}\Phi({\vec {r},t)+\vec \cdot {J}}({\vec {r},t)=S({\vec {r})

{\displaystyle {\frac {J}({\vec {r},t}) {c\frac {a}+\mu _{s}'{\vec {r},t}+{\frac {1}{3}}\frac {Phi}({\vec {r},t})

확산 근사치는 감소된 산란 계수가 흡수 계수보다 훨씬 크고 소수의 운송 평균 자유 경로의 최소 층 두께를 가진 시스템으로 제한된다.

확산 방정식

확산 이론의 두 번째 가정을 사용하여, 우리는 하나의 전송 평균 자유 경로에 대한 전류 ${\vec {J}}({\vec {r}},t)$ J ${\vec {J}}({\vec {r}},t)$ ( ${\vec {J}}({\vec {r}},t)$ ${\vec {J}}({\vec {r}},t)$ , ${\vec {J}}({\vec {r}},t)$ ) { $displaystyle$ {\ $vec {J}}({\vec {r},t)}$ 의 $\vec{J}(\vec{r},t)$ 부분적 변화는 무시할 수 있다는 점에 주목한다.확산 이론 RTE의 벡터 표현은 Fick의 ${\vec {J}}({\vec {r}},t)={\frac {-\nabla \Phi ({\vec {r}},t)}{3(\mu _{a}+\mu _{s}')}}$ J ${\vec {J}}({\vec {r}},t)={\frac {-\nabla \Phi ({\vec {r}},t)}{3(\mu _{a}+\mu _{s}')}}$ ( ${\vec {J}}({\vec {r}},t)={\frac {-\nabla \Phi ({\vec {r}},t)}{3(\mu _{a}+\mu _{s}')}}$ ${\vec {J}}({\vec {r}},t)={\frac {-\nabla \Phi ({\vec {r}},t)}{3(\mu _{a}+\mu _{s}')}}$ , ${\vec {J}}({\vec {r}},t)={\frac {-\nabla \Phi ({\vec {r}},t)}{3(\mu _{a}+\mu _{s}')}}$ ) ${\vec {J}}({\vec {r}},t)={\frac {-\nabla \Phi ({\vec {r}},t)}{3(\mu _{a}+\mu _{s}')}}$ - ${\vec {J}}({\vec {r}},t)={\frac {-\nabla \Phi ({\vec {r}},t)}{3(\mu _{a}+\mu _{s}')}}$ ( ${\vec {J}}({\vec {r}},t)={\frac {-\nabla \Phi ({\vec {r}},t)}{3(\mu _{a}+\mu _{s}')}}$ ${\vec {J}}({\vec {r}},t)={\frac {-\nabla \Phi ({\vec {r}},t)}{3(\mu _{a}+\mu _{s}')}}$ , ${\vec {J}}({\vec {r}},t)={\frac {-\nabla \Phi ({\vec {r}},t)}{3(\mu _{a}+\mu _{s}')}}$ ) ${\vec {J}}({\vec {r}},t)={\frac {-\nabla \Phi ({\vec {r}},t)}{3(\mu _{a}+\mu _{s}')}}$ ( ${\vec {J}}({\vec {r}},t)={\frac {-\nabla \Phi ({\vec {r}},t)}{3(\mu _{a}+\mu _{s}')}}$ + ${\vec {J}}({\vec {r}},t)={\frac {-\nabla \Phi ({\vec {r}},t)}{3(\mu _{a}+\mu _{s}')}}$ s ${\vec {J}}({\vec {r}},t)={\frac {-\nabla \Phi ({\vec {r}},t)}{3(\mu _{a}+\mu _{s}')}}$ δ ${\vec {J}}({\vec {r}},t)={\frac {-\nabla \Phi ({\vec {r}},t)}{3(\mu _{a}+\mu _{s}')}}$ ) { $display$ style { $J}}({\vec {r}, t)$ = $flac-\laPhive$ { $Phi}$ 로 감소합니다.RTE의 스칼라 표현에 Fick의 법칙을 대입하면 다음과 ^[1]같은 확산 방정식을 얻을 수 있습니다.

{\frac {1}{c}}{\frac \Phi({\vec {r}},t})}{\mu _{a}\Phi({\vec {r},t)-\phi[D\nabla \Phi({\c {r}})})]=S({\vec {r}},t)

$D={\frac {1}{3(\mu _{a}+\mu _{s}')}}$ $D={\frac {1}{3(\mu _{a}+\mu _{s}')}}$ $D={\frac {1}{3(\mu _{a}+\mu _{s}')}}$ ( $D={\frac {1}{3(\mu _{a}+\mu _{s}')}}$ a + $D={\frac {1}{3(\mu _{a}+\mu _{s}')}}$ s $D={\frac {1}{3(\mu _{a}+\mu _{s}')}}$ $){$ $displaystyle$ D = $flac$ { $1$ } { 3 ( \ $mu _$ { $a$ } + \ $mu$ _ { s $D={\frac {1}{3(\mu _{a}+\mu _{s}')}}$ } }} μ는 $D=\frac{1}{3(\mu_a+\mu_s')}$ 확산 계수이며, _sμ' $=(1-g)$ ( $=(1-g)$ - $=(1-g)$ ){ $displaystyle$ = ( 1 - $=(1-g)$ g ) $=(1-g)$ 는 $=(1-g)$ _s 환원 산란 계수이다.
특히 확산 방정식의 산란 계수에 대한 명확한 의존성은 없다.대신 D ${\displaystyle$ D $D$ $D$ 에는 감소된 산란계수만 나타나며, 이는 중요한 관계로 연결되며 감소된 산란계수가 ^[1]일정하게 유지된 상태에서 산란배지의 이방성이 변화해도 확산에 영향을 주지 않는다.

확산 방정식의 해

경계(예: 조직의 층) 및 광원의 다양한 구성의 경우, 확산 방정식은 적절한 경계 조건을 적용하고 상황에 따라 소스 $S({\vec {r}},t)$ S $S({\vec {r}},t)$ $S({\vec {r}},t)$ , $S({\vec {r}},t)$ ) { $display style$ S $({\vec {r}, t)}$ 를 $S(\vec{r},t)$ 정의함으로써 해결할 수 있다.

무한 동종 미디어의 포인트 소스

무한 균질 매질에서의 단펄스 점원의 단순한 사례에 대한 확산 방정식의 해답이 본 절에서 제시된다.확산 방정식의 소스 항은 S $S({\vec {r}},t,{\vec {r'}},t')=\delta ({\vec {r}}-{\vec {r'}})\delta (t-t')$ $S({\vec {r}},t,{\vec {r'}},t')=\delta ({\vec {r}}-{\vec {r'}})\delta (t-t')$ , $S({\vec {r}},t,{\vec {r'}},t')=\delta ({\vec {r}}-{\vec {r'}})\delta (t-t')$ , $S({\vec {r}},t,{\vec {r'}},t')=\delta ({\vec {r}}-{\vec {r'}})\delta (t-t')$ $S({\vec {r}},t,{\vec {r'}},t')=\delta ({\vec {r}}-{\vec {r'}})\delta (t-t')$ $S({\vec {r}},t,{\vec {r'}},t')=\delta ({\vec {r}}-{\vec {r'}})\delta (t-t')$ , $t$ $S({\vec {r}},t,{\vec {r'}},t')=\delta ({\vec {r}}-{\vec {r'}})\delta (t-t')$ ) $S({\vec {r}},t,{\vec {r'}},t')=\delta ({\vec {r}}-{\vec {r'}})\delta (t-t')$ ( $S({\vec {r}},t,{\vec {r'}},t')=\delta ({\vec {r}}-{\vec {r'}})\delta (t-t')$ - r $S({\vec {r}},t,{\vec {r'}},t')=\delta ({\vec {r}}-{\vec {r'}})\delta (t-t')$ ) $S({\vec {r}},t,{\vec {r'}},t')=\delta ({\vec {r}}-{\vec {r'}})\delta (t-t')$ ( $S({\vec {r}},t,{\vec {r'}},t')=\delta ({\vec {r}}-{\vec {r'}})\delta (t-t')$ - t ${\$ ) { $displaystyle$ S ( {\ $vec$ { $r}$ , $t$ , {\ $vec$ {r'} = \ $displaystyle$ {r'} {r} } {rve} {rve $}$ } {c $}$ } =\ $c}$ s { $rve$ } s s s s s s s s s s s s s $S({\vec {r}},t,{\vec {r'}},t')=\delta ({\vec {r}}-{\vec {r'}})\delta (t-t')$ ${\vec {r'}}$ r $→$ { $displaystyle {r'}}$ 은 $\vec{r'}$ (는 $)$ 소스 위치입니다.펄스는 시간 $t$ ${\$ {\ $display$ t $t'$ 에 피크됩니다.확산 방정식은 수율을 산출하기 위해 해결된다.

\Displaystyle \Phi({\vec {r}},t;{\vec {r'},t)=parc {c}{[4\pi Dc(t-t')}}\exp \left[{\frac {r}-{\vec {r}}}-{{\vec {r}}}}}\mid }\bec{4-t}}}}}

exp $\exp \left[-\mu _{a}c(t-t')\right]$ [ - $\exp \left[-\mu _{a}c(t-t')\right]$ $\exp \left[-\mu _{a}c(t-t')\right]$ c $\exp \left[-\mu _{a}c(t-t')\right]$ ( $\exp \left[-\mu _{a}c(t-t')\right]$ - $\exp \left[-\mu _{a}c(t-t')\right]$ $\exp \left[-\mu _{a}c(t-t')\right]$ ) $\exp \left[-\mu _{a}c(t-t')\right]$ ]{ $displaystyle \exp$ \left [ - \ $mu$ _ ${a }c$ ( t - t ' ) \ right $\exp \left[-\mu _{a}c(t-t')\right]$ }라는 $\exp \left[-\mu _{a}c(t-t')\right]$ $\exp \left[-\mu _{a}c(t-t')\right]$ 는 Beer의 법칙에 따른 흡수에 의한 플루언스 레이트의 지수 감소를 나타냅니다.다른 용어는 산란으로 인한 확대를 나타냅니다.상기 솔루션을 지정하면 임의의 선원은 쇼트 펄스 점 선원의 중첩으로 특징지을 수 있다.확산 방정식에서 시간 변동을 취하면 시간 독립 점 $S({\vec {r}})=\delta ({\vec {r}})$ S ( $S({\vec {r}})=\delta ({\vec {r}})$ $S({\vec {r}})=\delta ({\vec {r}})$ ) $S({\vec {r}})=\delta ({\vec {r}})$ $S({\vec {r}})=\delta ({\vec {r}})$ ( $S({\vec {r}})=\delta ({\vec {r}})$ $S({\vec {r}})=\delta ({\vec {r}})$ ) { $displaystyle$ S ( { \ $vec$ { $r$ } ) = \ display $style$ S ( { \ $vec$ { $r$ } ) = \ $vec$ { r} $S({\vec {r}})=\delta ({\vec {r}})$ } } 에 대해 다음과 같이 됩니다.

\Phi({\vec {r}})=blac {1}{4\pi Dr}}\exp(-\mu _{\mathrm {r} }r)

$\mu _{\mathrm {eff} }={\sqrt {\frac {\mu _{a}}{D}}}$ $\mu _{\mathrm {eff} }={\sqrt {\frac {\mu _{a}}{D}}}$ $\mu _{\mathrm {eff} }={\sqrt {\frac {\mu _{a}}{D}}}$ $\mu _{\mathrm {eff} }={\sqrt {\frac {\mu _{a}}{D}}}$ $\mu _{\mathrm {eff} }={\sqrt {\frac {\mu _{a}}{D}}}$ a $\mu _{\mathrm {eff} }={\sqrt {\frac {\mu _{a}}{D}}}$ { $displaystyle \mu _$ { \ $mathrm$ { } $\mu _{\mathrm {eff} }={\sqrt {\frac {\mu _{a}}{D}}}$ = $μrc$ { $frac$ { $mu$ _ { $a$ } { $D}}}}$ 는 $\mu_{\mathrm{eff}}=\sqrt{\frac{\mu_a}{D}}$ 유효 감쇠계수로,^[1] 플루언스의 공간적 붕괴율을 나타낸다.

경계 조건

경계에서의 유량률

경계 조건을 고려함으로써 확산 방정식을 사용하여 제한된 크기의 매체(매체와 주변 환경 사이의 계면을 고려해야 함)에서 빛의 전파를 특성화할 수 있다.경계를 다루기 시작하기 위해 매체의 광자가 경계(즉, 표면)에 도달할 때 어떤 일이 일어나는지 고려할 수 있다.경계의 방향 적산 광도와 매질로 향하는 방향 적산 광도는 경계의 방향 적산 광도와 같으며 $R_{F}$ 에서 $R_{F}$ R F(\ $displaystyle R_$ F})를 곱한 값입니다.

\displaystyle \int _{\hat {s}\cdot {n}<0}L({\vec {r}}, {\hat {s}}, t){\hat {s}}\cdot {n}d\Omega =\int _{\hat {s}}\cd}\cdot {n}\r}{{\hat}{{{{{{\hat}}}}}}{{{\}}}}}{{{\}}}}{\hat}{{{{\}}}}L({\vec {r}},{\hat {s}},t){\hat {s}}\cdot {n}d\Omega}

${\hat {n}}$ 서 n $^$ ${n}$ 은 ${\hat {n}}$ (는) 경계에 대해 정상이며 경계에서 멀리 떨어져 있습니다.확산 근사치는 $광도$ L({ $displaystyle$ $\$ Phi $L$ })을 $\Phi$ 형광률 $\Phi$ ({ $displaystyle\Phi})$ 및 전류 ${\vec {J}}$ J ${\vec {J}}$ 로 표현합니다. 치환 후 위의 적분을 평가하면 ^[3]다음과 같습니다.

{\vec {r}, t}{4}+{\vec {J}}({\vec {r}, t})\cdot {\frac {n}{\Phi}{\frac {Phi}{\vec {r}, t}}{4-J}}}{\fr

$R_{\Phi}=\int _{0}^{\pi /2}2\sin \theta \cos \theta R_{F}(\cos \theta)d\theta$
$R_{J}=\int _{0}^{\pi /2}3\sin \theta (\cos \theta )^{2}R_{F}(\cos \theta)d\theta$

Fick의 법칙( ${\vec {J}}({\vec {r}},t)=-D\nabla \Phi ({\vec {r}},t)$ ${\vec {J}}({\vec {r}},t)=-D\nabla \Phi ({\vec {r}},t)$ ( r ${\vec {J}}({\vec {r}},t)=-D\nabla \Phi ({\vec {r}},t)$ , ${\vec {J}}({\vec {r}},t)=-D\nabla \Phi ({\vec {r}},t)$ ) ${\vec {J}}({\vec {r}},t)=-D\nabla \Phi ({\vec {r}},t)$ - ${\vec {J}}({\vec {r}},t)=-D\nabla \Phi ({\vec {r}},t)$ ${\vec {J}}({\vec {r}},t)=-D\nabla \Phi ({\vec {r}},t)$ ${\vec {J}}({\vec {r}},t)=-D\nabla \Phi ({\vec {r}},t)$ ${\vec {J}}({\vec {r}},t)=-D\nabla \Phi ({\vec {r}},t)$ ${\vec {J}}({\vec {r}},t)=-D\nabla \Phi ({\vec {r}},t)$ , ${\vec {J}}({\vec {r}},t)=-D\nabla \Phi ({\vec {r}},t)$ ) { $displaystyle {\vec {J}}({\vec {r},t)=-D\nabla$ \Phi $(\vec {r},$ t ${\vec {J}}({\vec {r}},t)=-D\nabla \Phi ({\vec {r}},t)$ 는 z0,^[3]0)에서 거리를 나타낸다.

\Displaystyle \Phi({\vec {r}},t)=A_{z}{\frac\Phi({\vec {r}},t}){\partial z}}

$A_{z}=2D{\frac {1+R_{\mathrm {display}}}}{1-R_{\mathrm {display}}}}}$
$R_{\mathrm {param} = frac {R_{\Phi } + R_{J}} {2-R_{\Phi } + R_{J}}}$

추정된 경계

제로 플루언스 경계를 식별하는 것이 바람직하다.단, 물리적 경계에서의 플루언스 $\Phi (z=0,t)$ ( $\Phi (z=0,t)$ $\Phi (z=0,t)$ 0 $\Phi (z=0,t)$ $)$ {{ $displaystyle \Phi(z=0,t)}$ 는 $\Phi(z=0, t)$ 일반적으로 0이 아니다.z $\style$ 에서 $z$ _b fluences rate가 0인 추정 경계를 결정하여 이미지 소스를 확립할 수 있습니다.1차 테일러 시리즈 근사치를 사용하여

(\displaystyle\왼쪽).\Phi (z=A_{z},t)\약 \Phi (z=0,t)-A_{z}{\frac {\vec {r},t}{\frac z}}\right _{z=0}

이 값은 $\Phi ({\vec {r}},t)=A_{z}{\frac {\partial \Phi ({\vec {r}},t)}{\partial z}}$ , t ) $\Phi ({\vec {r}},t)=A_{z}{\frac {\partial \Phi ({\vec {r}},t)}{\partial z}}$ $\Phi ({\vec {r}},t)=A_{z}{\frac {\partial \Phi ({\vec {r}},t)}{\partial z}}$ z $\Phi ({\vec {r}},t)=A_{z}{\frac {\partial \Phi ({\vec {r}},t)}{\partial z}}$ （ $\Phi ({\vec {r}},t)=A_{z}{\frac {\partial \Phi ({\vec {r}},t)}{\partial z}}$ $\Phi ({\vec {r}},t)=A_{z}{\frac {\partial \Phi ({\vec {r}},t)}{\partial z}}$ , $\Phi ({\vec {r}},t)=A_{z}{\frac {\partial \Phi ({\vec {r}},t)}{\partial z}}$ ${\$ $\Phi ({\vec {r}},t)=A_{z}{\frac {\partial \Phi ({\vec {r}},t)}{\partial z}}$ \ $Displaystyle \Phi({\vec {r}},t)=$ 이후 0으로 평가됩니다. $A_{z}{\frac\Phi({\vec {r}},t}}{\partial$ z $\Phi ({\vec {r}},t)=A_{z}{\frac {\partial \Phi ({\vec {r}},t)}{\partial z}}$ 따라서 z $\displaystyle$ z $}$ 는 $z$ _b $z$ 와 같이 정의상 $\displaystyle -A$ 이어야 $-A$ _z 합니다.특히 굴절률이 경계 양쪽에 동일한 경우 R $(\displaystyle$ R $)$ 은 $R$ _F 0이고 추정된 경계는 z $(\displaystyle$ z $)$ $=$ - $=-2D$ D(\ $displaystyle$ =- $2D$ ^[3]이다.

보통 반무한 매체에 입사하는 연필 빔

경계 조건을 사용하여 반무한 매체에 일반적으로 입사하는 연필 빔의 확산 반사율을 대략적으로 특성화할 수 있다.빔은 다음과 같이 무한 매질에서 두 개의 점 선원으로 표시됩니다(그림 ^[1]^[4]2).

산란 매체에 대해 산란 $이방성$ g {\ $displaystyle$ g $}$ $g$ ₂ $=0$ {\ $displaystyle$ = 0 $}$ 을 $=0$ 설정하고 새로운 산란_s2 계수 $(1-g$ 에 $(1-g$ ( $(1-g$ - g { $displaystyle (1-g$ $)$ { $displaystyle$ 을 곱한 값입니다_s1. 여기서 $g$ { $displaystyle$ g}은 $g$ ₁ 원래 산란 이방성입니다.
연필 빔을 표면 아래의 한 운송 평균 자유 $경로$ l {\ $displaystyle$ l $l$ 깊이와 검정력 = $a$ {\ $display a}'$ 의 등방성 점 소스로 변환합니다.
표면 위에 반대쪽 기호의 이미지 소스를 추가하여 추정된 경계 조건을 구현합니다( $\displaystyle$ l $+2z$ + $+2z$ \ $displaystyle +2z$ _b

두 점 소스는 무한 매체의 점 소스로 특징지을 수 있습니다.

(\displaystyle \Phi _{\infty }(r,\theta,z;r',\theta ',z')=sq frac {1}{4\pi D\rho }}\exp\mu _{\mathrm {s} } \rho } )

${\$ { $displaystyle$ \rho $}$ 는 $\rho$ $(r,\theta ,z)$ 원통 좌표에서 $(r',\theta ',z')$ $(r,\theta ,z)$ r, $θ$ $(r',\theta ',z')$ , $(r,\theta ,z)$ z ) { $(r,\theta ,z)$ $displaystyle$ ( $r$ \ $theta,$ $(r,\theta ,z)$ z $)$ $(r',\theta ',z')$ 까지의 거리입니다.두 영상 소스의 형광률 기여도의 선형 조합은 다음과 같습니다.

\Displaystyle \Phi(r,\theta,z;r',\theta ',z')=a'\Phi _{\infty }(r,\theta,z;r',\theta ',z'-a'\Phi _{\infty }(r,\theta,z;r',\theta '-z'-2z_{b})}

이는 Fick의 법칙을 통해 확산 $반사율$ R $R$ _d $)$ 을 $(r)$ 얻기 위해 사용할 수 있습니다.

(\displaystyle\왼쪽).R_{d}(r)=D{\frac\Phi}{\frac z}\right _{z=0}=frak {a'z'(1+\mathrm {fil}}\rho_{1}\exp\mathrm {f}_{r}\rho_{1}\pi}_{{\fi})

$\rho _{1}$ \ $displaystyle$ \ $(r,0,0)$ $\rho _{1}$ $_$ { $\rho _{1}$ 1 $\rho _{1}$ $\rho _{2}$ } }} $(r,0,0)$ r , $0$ , $(r,0,0)$ 0 ) 、（ $(0,0,z')$ , $0$ $(r,0,0)$ , $)$ ） $(0,0,z')$ 、 $2$ 2 $\$ $displaystyle$ \ $rho$ _ $(0,0,-z'-2z$ { $\rho _{2}$ 2 ） $(0,0,-z'-2z$ $\rho _{2}$ $(0,0,-z'-2z$ $(0,0,-z'-2z$ 、 0 $(0,0,-z'-2z$ $(0,0,-z'-2z$ 、 0 $(0,0,-z'-2z$ 0 、 $(0,0,z')$ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( $(r,0,0)$ the the at at at at at at at at at at at at at at at at at at at at at at the the the the the the the the the the the the $style (0,0,-z'-2z$ $)$ {\ $displaystyle$ ^[1]^[4]

확산이론 해법 vs몬테카를로 시뮬레이션

광자 수송의 몬테카를로 시뮬레이션은 시간이 걸리지만 산란 매체에서 광자 동작을 정확하게 예측할 것이다.확산 방정식으로 광자 거동을 특징짓는 것과 관련된 가정은 부정확성을 생성한다.일반적으로 흡수계수_a μ가 증가하고 산란계수_s μ가 ^[5]^[6]감소함에 따라 확산근사가 정확도가 떨어진다.제한된 깊이의 매체에 입사한 광자 빔의 경우, 확산 근사치로 인한 오차는 광자 입사 위치의 한 운송 평균 자유 경로 내에서 가장 두드러진다(아직 광자가 등방성이 아닌 경우). (그림 3)
반무한 매체에 입사하는 연필빔을 확산식으로 기술하는 공정 중 매체를 이방성으로부터 등방성으로 변환하는 공정(그림4)과 광원을 소스로 변환하는 공정(그림5)은 단일 소스에서 한 쌍의 화상원으로 변환하는 것보다 오차를 더 많이 발생시킨다(그림3).스텝 2에서는 가장 중대한 ^[1]^[4]오류가 발생합니다.

그림 3: 몬테카를로 시뮬레이션(빨간색)에 의해 결정된 입사 연필 빔의 확산 반사율 대 반지름 및 RTE에 대한 확산 이론 솔루션에 의해 결정된 두 등방성 점 선원의 확산 반사율 대 반지름.트랜스포트 평균 프리 패스는 0.1 cm입니다.
그림 4: 이방성(파란색) 및 등방성(빨간색) 매체에 대한 입사 연필 빔으로부터의 확산 반사율 대 반지름.
그림 5: 연필 빔(파란색) 및 등방성 점 선원(빨간색)에 대한 광자 선원의 반지름 대 확산 반사율.
그림 6: RTE(파란색) 및 몬테 카를로 시뮬레이션(빨간색)에 대한 해법으로 특징지어지는 등방성 점 선원에 대한 광자 선원의 확산 반사율 대 반지름.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

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추가 정보

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