딜-그로브 모형

Deal-Grove 모델은 물질 표면의 산화물 층의 성장을 수학적으로 설명합니다. 특히 반도체 소자 제작에서 실리콘의 열산화를 예측하고 해석하는 데 사용됩니다. 이 모델은 1965년 Fairchild Semiconductor의 Bruce Deal과 Andrew Grove에 ^[1]의해 모하메드 M을 기반으로 하여 처음 발표되었습니다. 1950년대 후반 벨 연구소에서 열산화에 의한 실리콘 표면 패시베이션에 대한 아탈라의 연구.^[2] 이는 CMOS 소자 개발과 집적회로 제작의 한 단계 역할을 했습니다.

물리적 가정

이 모델은 산화 반응이 산화물과 주변 가스 사이가 아니라 산화층과 기질 물질 사이의 계면에서 일어난다고 가정합니다.^[3] 따라서 산화종이 겪는 세 가지 현상을 다음 순서로 고려합니다.

1. 주변 가스의 대부분에서 표면으로 확산됩니다.
2. 기존 산화물층을 통해 산화물-기판 계면으로 확산됩니다.
3. 기질과 반응합니다.

모형에서는 이러한 각 단계가 산화제의 농도에 비례하는 비율로 진행된다고 가정합니다. 첫 번째 단계에서, 이것은 헨리의 법칙을 의미하고, 두 번째 단계에서, 피크의 확산의 법칙을 의미하고, 세 번째 단계에서, 산화제에 대한 1차 반응을 의미합니다. 또한 정상 상태 조건, 즉 과도 효과가 나타나지 않는다고 가정합니다.

결과.

이러한 가정을 고려할 때, 세 상 각각을 통한 산화제의 플럭스는 농도, 재료 특성 및 온도로 표현될 수 있습니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{\text{gas}}&=h_{g}(C_{g}-C_{s})\\[8pt]J_{\text{oxide}}&=D_{\text{ox}}{\frac {C_{s}-C_{i}}{x}}\\[8pt]J_{\text{reaction}}&=k_{i}C_{i}\end{aligned}}$

3개의 플럭스를 서로 동일하게 $설정$하여 J ${\displaystyle {\text{가스}}_{}}$ = J ${\displaystyle {\text{산화물}}_{}}$ = ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\text{반응}}_{}}$ {\$displaystyle$ $J_{\text{gas$}}=$J_{\text{oxide}}=$$J_{\text{reacting}}}$ 다음$$ 관계를 유도할 수 있습니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {C_{i}}{C_{g}}}&={\frac {1}{1+k_{i}/h_{g}+k_{i}x/D_{\text{ox}}}}\\[8pt]{\frac {C_{s}}{C_{g}}}&={\frac {1+k_{i}x/D_{\text{ox}}}{1+k_{i}/h_{g}+k_{i}x/D_{\text{ox}}}}\end{aligned}}}$

$확산{\displaystyle {}_{}}$ 제어 성장, 즉 J ${\displaystyle {\text{산화물}}_{}}$ ${\$가 성장률을 결정한다고$$ 가정하면, and substituting ${\displaystyle C_{i}}$ and ${\displaystyle C_{s}}$ in terms of ${\displaystyle C_{g}}$ from the above two relations into ${\displaystyle J_{\text{oxide}}}$ and ${\displaystyle J_{\text{reacting}}}$ equation respectively, one obtains:

${\displaystyle J_{\text{oxide}}=J_{\text{reacting}}={\frac {k_{i}C_{g}}{1+k_{i}/h_{g}+k_{i}x/D_{\text{ox}}}}}$

N이 산화물 단위 부피 내부의 산화제 농도라면, 산화물 성장률은 미분 방정식의 형태로 기록될 수 있습니다. 이 방정식의 해는 임의의 시간 t에서 산화물 두께를 제공합니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {dx}{dt}}={\frac {J_{\text{oxide}}}{N}}={\frac {k_{i}C_{g}/N}{1+k_{i}/h_{g}+k_{i}x/D_{\text{ox}}}}\\[8pt]&x^{2}+Ax=Bt+{x_{i}}^{2}+Ax_{i}\\[8pt]&x^{2}+Ax=B(t+\tau )\end{aligned}}}$

여기서 상수 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$와 B ${\displaystyle$ B$}$는 각각 반응과 산화물층의 특성을 캡슐화하고$$ ${\displaystyle {xi}_{}}$ ${\$는 표면에 존재했던 초기 산화물층입니다. 이러한 상수는 다음과 같이 표시됩니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}A=2D_{\text{ox}}\left({\frac {1}{k_{i}}}+{\frac {1}{h_{g}}}\right)\\[8시]B={\frac {2D_{\text{ox}}C_{s}}{N}}\\[8pt]\tau ={\frac {x_{i}^{2}+Ax_{i}}{B}}\end{align}}}$

$여기$서 ${\displaystyle C_{}}$ = ${\displaystyle {}_{}}${\displaystyle C_{s}=$HP_{g$ $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$는 헨리 법칙의 가스 용해도 파라미터이고 ${\displaystyle {Pg}_{}}$ ${\$는 확산 가스의 분압입니다.

x 수율에 대한 2차 방정식을 푸는 것은 다음과 같습니다.

${\displaystyle x(t)={\frac {-A+{\sqrt {A^{2}+4(B)(t+\tau )}}}{2}}}$

위의 방정식의 짧고 긴 시간 한계를 취하면 두 가지 주요 작동 모드가 나타납니다. 성장이 선형인 첫 번째 모드는 $처음$에${\displaystyle t}$+$$τ ${\displaystyle$ t+\tau}가 작을 때 발생합니다. 두 번째 모드는 2차 성장을 제공하며 산화 시간이 증가함에 따라 산화물이 두꺼워질 때 발생합니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}t+\tau\ll {\frac {A^{2}}{4B}}\Rightarrow x(t)={\frac {B}{A}}(t+\tau )\\[8pt]t+\tau \gg {\frac {A^{2}}{4B}\오른쪽 화살표 x(t)={\sqrt {B(t+\tau)}}\end{aligned}}}$

양 B와 B/A를 흔히 이차 및 선형 반응 속도 상수라고 합니다. 다음과 같이 온도에 따라 기하급수적으로 달라집니다.

${\displaystyle B=B_{0}e^{-E_{A}/kT};\quad B/A=(B/A)_{0}e^{-E_{A}/kT}}$

여기서 ${\displaystyle {EA}_{}}$ ${\$$A}$는 활성화 에너지이고 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ k$}$는 eV의 볼츠만 상수입니다. ${\displaystyle {EA}_{}}$ ${\$는 식마다 다릅니다$$. 다음 표는 산업에서 일반적으로 사용되는 조건(저도핑, 대기압)에서 단결정 실리콘에 대한 4가지 파라미터의 값을 나열합니다. 선형 속도 상수는 결정의 방향(일반적으로 표면을 향하는 결정면의 밀러 지수로 표시됨)에 따라 달라집니다. $\mathrm{표}$는 ⟨ $100$ ⟩ {\textstyle $\langle$ 100$\$rangle } 및 ⟨ 111 ⟩ {\textstyle \langle 111\rangle } 실리콘에 대한 값을 제공합니다.

매개변수	양	습식(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle H_{2}O$	드라이 (${\displaystyle {O2\mathrm{}}_{}}$ ${\$
선형속도상수	${\displaystyle (B/A)_{0}\ \left({\frac {\mum}{hr}}\right)}$	$⟩${\$textstyl$lang $100$\rangle} : $9$.7 x 10 $11 ⟩ {\textstyl$ 111\rangle} : 1.63 x 10	$⟩${\$textstyl$lang $100$\rangle} : $3$.71 × 10 $11 ⟩ {\textstyl$ 111\rangle} : 6.23 x 10
	${\displaystyle {EA}_{}}$ ${\$ $$(eV)	2.05	2.00
포물선 속도 상수	${\displaystyle B_{0}\ \left({\frac {(\mum)^{2}}{hr}}\right)}$	386	772
	${\displaystyle {EA}_{}}$ ${\$ $$(eV)	0.78	1.23

실리콘에 대한 유효성

Deal-Grove 모델은 대부분의 조건에서 단결정 실리콘에 매우 잘 작동합니다. 그러나 실험 데이터에 따르면 ${\displaystyle {O2\mathrm{}}_{}}$ ${\$에서 매우 얇은 산화물(약 25나노미터 미만)이 모델이 예측하는 것보다$$ 훨씬 더 빠르게 성장합니다. 실리콘 나노구조(예: 실리콘 나노와이어)에서 이러한 급격한 성장은 일반적으로 자기 제한 산화(self-limited oxidation)로 알려진 프로세스에서 산화 역학을 감소시켜 Deal-Grove 모델의 수정을 필요로 합니다.^[3]

특정 산화 단계에서 성장된 산화물이 25 nm를 크게 초과하는 경우, 단순한 조정으로 비정상적인 성장 속도를 설명합니다. 초기 두께가 0이라고 가정하는 대신(또는 25nm 미만의 초기 두께) 산화가 시작되기 전에 25nm의 산화물이 존재한다고 가정하는 경우 모델은 두꺼운 산화물에 대해 정확한 결과를 산출합니다. 그러나 이 임계값에 가깝거나 이보다 얇은 산화물의 경우 보다 정교한 모델을 사용해야 합니다.

1980년대에는 앞서 언급한 얇은 산화물(자체 제한 사례)을 모델링하기 위해 Deal-Grove 모델의 업데이트가 필요하다는 것이 명백해졌습니다. 얇은 산화물을 보다 정확하게 모델링하는 방법 중 하나는 1985년의 Massoud 모델입니다[2]. Massoud 모델은 분석적이고 병렬 산화 메커니즘을 기반으로 합니다. Deal-Grove 모델의 파라미터를 변경하여 속도 향상 항을 추가하여 초기 산화물 성장을 더 잘 모델링합니다.

다결정 실리콘("다결정 실리콘")에 대해서도 Deal-Grove 모델이 실패합니다. 첫째, 결정립의 무작위 방향은 선형 속도 상수에 대한 값을 선택하기 어렵게 만듭니다. 둘째, 산화제 분자는 결정립계를 따라 빠르게 확산되어 폴리실리콘이 단결정 실리콘보다 더 빠르게 산화됩니다.^{[citation needed]}

도펀트 원자는 실리콘 격자에 무리를 주고, 실리콘 원자가 들어오는 산소와 더 쉽게 결합합니다. 이러한 효과는 많은 경우 무시할 수 있지만, 많이 도핑된 실리콘은 상당히 빨리 산화됩니다. 주변 가스의 압력도 산화 속도에 영향을 미칩니다.^{[citation needed]}

참고문헌

서지학

• Massoud, H. Z.; J.D. Plummer (1985). "Thermal oxidation of silicon in dry oxygen: Accurate determination of the kinetic rate constants". Journal of the Electrochemical Society. 132 (11): 2693–2700. doi:10.1149/1.2113649.
• Jaeger, Richard C. (2002). "Thermal Oxidation of Silicon". Introduction to Microelectronic Fabrication (2nd ed.). Upper Saddle River: Prentice Hall. ISBN 0-201-44494-1.
• Deal, B. E.; A. S. Grove (December 1965). "General Relationship for the Thermal Oxidation of Silicon". Journal of Applied Physics. 36 (12): 3770–3778. Bibcode:1965JAP....36.3770D. doi:10.1063/1.1713945.

외부 링크

• 압력, 도핑, 산화박막 효과를 포함한 온라인 계산기