Dawson 함수 F x D {\displaystyle (x)= D_{+}(x 원점 x {\displaystyle D_{-}(x)}, 수학 에서 도슨 함수 또는 도슨 적분 [1] H. G. 도슨 [2] 사인 변환 이다.
정의 Dawson 함수는 다음 중 하나로 정의된다.
D + ( x ) = e − x 2 ∫ 0 x e t 2 d t , {\displaystyle D_{+}(x)=e^{-x^{2}}\int_{0}^{x^{t^{2}}\,dt,} F (x ) 또는 D (x ) 또는 다른 이름으로 표시됨
D − ( x ) = e x 2 ∫ 0 x e − t 2 d t . {\displaystyle D_{-}(x)=e^{x^{2}}\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt. \!} 도슨 함수는 가우스 함수 의 단측 푸리에-라플라스 사인 변환 이다.
D + ( x ) = 1 2 ∫ 0 ∞ e − t 2 / 4 죄를 짓다 ( x t ) d t . {\displaystyle D_{+}(x)={\frac {1}{1}:{2}}\int _{0}^{0}{\infit }e^{-t^{2}/4}\,\sin(xt)\,dt.} 다음과 같이 에러함수 erf와 밀접한 관련이 있다.
D + ( x ) = π 2 e − x 2 에르피 ( x ) = − i π 2 e − x 2 에프 ( i x ) {\displaystyle D_{+}(x)={{\sqrt{\pi }}{{-}e^{-x^{2}}\operatorname {erfi}(x)=-{i{\sqrt{\pi }}}{-x^{-x^}\operf}(ix)} 여기서 erfi는 가상의 오류 함수, erfi(x ) = -i erf(ix )이다. 마찬가지로
D − ( x ) = π 2 e x 2 에프 ( x ) {\displaystyle D_{-}(x)={\frac {\sqrt {\pi }{2}}:e^{x^{2}}\operatorname {erf}(x)} 실제 오류 함수의 측면에서, erf.
erfi 또는 Faddeeva 함수 w(z )의 관점에서 Dawson 함수는 전체 복합 평면 까지 확장될 수 있다.[3]
F ( z ) = π 2 e − z 2 에르피 ( z ) = i π 2 [ e − z 2 − w ( z ) ] , {\displaystyle F(z)={{\sqrt{\pi}}{{}e^{-z^{2}}\\operatorname {erfi}(z)={\frac {i{\sqrt{\pi}}}}{-z^{2}}-w(z)\오른쪽,},}} 로 단순화하는.
D + ( x ) = F ( x ) = π 2 임 [ w ( x ) ] {\displaystyle D_{+}(x)= F(x)={\frac {\sqrt {\pi }:{2}}:\operatorname {Im} [w(x)]} D − ( x ) = i F ( − i x ) = − π 2 [ e x 2 − w ( − i x ) ] {\displaystyle D_{-}(x)=iF(-ix)=-{\frac {\sqrt{\pi }}}{2}}\왼쪽[e^{x^{2}}-w(-ix)\오른쪽]}} 진짜 x 를 위해서.
x가 0에 가까울 경우 F (x ) , x F(x ) ( 1/(2x) 좀 더 구체적으로 말하면, 출발지 근처에는 시리즈 확장이 있다.
F ( x ) = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k 2 k ( 2 k + 1 ) ! ! x 2 k + 1 = x − 2 3 x 3 + 4 15 x 5 − ⋯ , {\displaystyle F(x)=\sum _{k=0}^{\inflat }{\frac {(1)^{k}\,2^{k}}}{(2k+1)!! }}}\,x^{2k+1}=x-{\frac {2}{3}x^{3}+{\frac {4}{15}}}x^{5}-\cdots,} 큰 x 의 경우 점근성 팽창이 있다.
F ( x ) = 1 2 x + 1 4 x 3 + 3 8 x 5 + ⋯ . {\displaystyle F(x)={\frac {1}{1}{2x}+{4x^{3}+{\frac {3}+{8x^{5}+\cdots .}} 더 정확하게
F ( x ) − ∑ k = 0 N ( 2 k − 1 ) ! ! 2 k + 1 x 2 k + 1 ≤ C N x 2 N + 3 . {\displaystyle \왼쪽 F(x)-\sum _{k=0}^{N}{\frac {(2k-1)!! }}{2^{k+1}x^{2k+1}:{2k+1}}\오른쪽 \leq {\frac {C_{N}}{x^{2N+3}}}. } where n !! 이중 요인 이다.
F (x )가 미분 방정식을 만족함
d F d x + 2 x F = 1 {\displaystyle {\frac {dF}{dx}+2xF=1\,\!} 초기 조건 F (0) = 0. 따라서 에 대한 극단값을 갖는다.
F ( x ) = 1 2 x , {\displaystyle F(x)={\frac {1}{2x},} 그 결과 x = ±0.92413887...(OEIS :A133841 F (x ) = ±0.54104422...(OEIS :A133842
다음에 대한 변곡점 추적
F ( x ) = x 2 x 2 − 1 , {\displaystyle F(x)={\frac {x}{2x^{2}-1},} 결과 x = ±1.50197526... (OEIS :A133843 F (x ) = ±0.42768661... (OEIS :A245262 (x = 0, F (x ) = 0의 사소한 변곡점에서 벗어나)
가우시안 힐버트 변환과의 관계 가우스파의 힐버트 변환 은 다음과 같이 정의된다.
H ( y ) = π − 1 P . V . ∫ − ∞ ∞ e − x 2 y − x d x {\displaystyle H(y)=\pi ^{-1}\operatorname {P.V.}\int _{-\inflt }^{-e^{-x^{2}}:{y-x}\,dx} P.V.는 Cauchy 원금값 을 나타내며, 우리는 자신을 실제 y {\displaystyle } 제한 . H displaystyle H( 주 값 적분 내에서는 1/u {\displaystyle 1/u} 일반화된 함수 또는 분포로 취급하고.
1 u = ∫ 0 ∞ d k 죄를 짓다 k u = ∫ 0 ∞ d k 임 e i k u {\displaystyle {1 \over u}=\int _{0}^{\npty }dk\,\sin ku=\int _{0}^{0}^{dk\,\operatorname {im}{iku}}}}} 1 u 1 y x {\displaystyle /u=1/(y-x)} ( sin k u {\displaystyle \sin(ku)} 사용 {\displaysty x}
π H ( y ) = 임 ∫ 0 ∞ d k 생략하다 [ − k 2 / 4 + i k y ] ∫ − ∞ ∞ d x 생략하다 [ − ( x + i k / 2 ) 2 ] {\displaystyle \pi H(y)=\operatorname {im} \int _{0}^{\inflt }dk\,\exp[-(x+ik/2), exp[-] ^{2}]} x {\displaystyle x} and 1 2 {\ displaystyle \pi ^{1/2}}.
π 1 / 2 H ( y ) = 임 ∫ 0 ∞ d k 생략하다 [ − k 2 / 4 + i k y ] {\displaystyle \pi ^{1/2}H(y)=\operatorname {im} \int_{0}^{\infit }dk\,\exp[-k^{2}/4+iky]}}} k {\displaystyle k}
π 1 / 2 H ( y ) = e − y 2 임 ∫ 0 ∞ d k 생략하다 [ − ( k / 2 − i y ) 2 ] {\displaystyle \pi^{1/2}H(y)=e^{-y^{2}}\operatorname {im}\int _{0}^{\nft }dk\,\exp[-(k/2-iy)^{2}]} 변수를 u i k 2 y {\displaystyle u=ik/2+y}( :
π 1 / 2 H ( y ) = − 2 e − y 2 임 i ∫ y i ∞ + y d u e u 2 {\displaystyle \pi ^{1/2}H(y)=-2e^{-y^{2}}\opername {im} i\int _{y}^{i\infit +y}du\ e^{u^{2}}}}} 적분은 복잡한 평면의 사각형 주위에서 등고선 적분으로 수행될 수 있다. 결과의 상상적인 부분을 취하면
H ( y ) = 2 π − 1 / 2 F ( y ) {\displaystyle H(y)=2\pi ^{-1/2}F(y)} 여기 F {\displaystyle F(y)}
x 2n e x 2 {\ displaystyle x^{2n}e^{-x^{2}} 우리는 이것을 적분 기호 안에서 차별화하는 기술로 본다. 내버려두다
H n = π − 1 P . V . ∫ − ∞ ∞ x 2 n e − x 2 y − x d x {\displaystyle H_{n}=\pi ^{-1}\operatorname {P.V.} \int_{-\inflt }^{-\x^{2n}e^{-x^{2}}:{y-x}\,dx} 소개하다
H a = π − 1 P . V . ∫ − ∞ ∞ e − a x 2 y − x d x {\displaystyle H_{a}=\pi ^{-1}\operatorname {P.V.} \int_{-\infit }^{e^{-ax^{2}} \over y-x}\,dx} n번째 파생상품은
∂ n H a ∂ a n = ( − 1 ) n π − 1 P . V . ∫ − ∞ ∞ x 2 n e − a x 2 y − x d x {\displaystyle {\reason ^{n} H_{a} \over \partial a^{n}}=(-1)^{n}\pi ^{-1}\pi ^{-1}\operatorname {P.V.} \int _{-\frac }{x^{x^{2n}e^{-ax^{2}}:{y-x}},dx}} 이렇게 해서 우리는 찾아낸다.
H n = ( − 1 ) n ∂ n H a ∂ a n a = 1 왼쪽. H_{n}=(-1)^{n}{\frac {\partial ^{n} H_{a}}{\partial a^{n}}\오른쪽 _{a=1} The derivatives are performed first, then the result evaluated at a = 1 {\displaystyle a=1} H a = 2 π − 1 / 2 F ( y a ) {\displaystyle H_{a}=2\pi ^{-1/2}F(y{\sqrt {a}})} F ′ ( y ) = 1 − 2 y F ( y ) {\displaystyle F'(y)=1-2yF(y)} H n = P 1 ( y ) + P 2 y F {\displaystyle H_{n}=P_{1}(y)+ P_ {2}(y)F(y)}, P {\ displaystyle P_{1}, P {\ displaystyle P_{2 For example, H 1 = − π − 1 / 2 y + 2 π − 1 / 2 y 2 F ( y ) {\displaystyle H_{1}=-\pi ^{-1/2}y+2\pi ^{-1/2}y^{2}F(y)} H n {\displaystyle H_{n}} n ≥ 0 {\displaystyle n\geq 0}
H n + 1 ( y ) = y 2 H n ( y ) − ( 2 n − 1 ) ! ! π 2 n y . {\displaystyle H_{n+1}(y)=y^{2} H_{n}(y)-{\frac {(2n-1)!! }{{\\sqrt{\pi }2}}^{n}}y.} 참조 ^ Temme, N. M. (2010), "Error Functions, Dawson's and Fresnel Integrals" , in Olver, Frank W. J. ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions ISBN 978-0-521-19225-5 MR 2723248 ^ Dawson, H. G. (1897). "On the Numerical Value of ∫ 0 h exp ( x 2 ) d x {\displaystyle \textstyle \int _{0}^{h}\exp(x^{2})\,dx} Proceedings of the London Mathematical Society . s1-29 (1): 519–522. doi :10.1112/plms/s1-29.1.519 . ^ 모프레 R. 자글룰과 아흐메드 N. 알리, "알고리즘 916: Faddeyeva and Voigt Functions " ACM Trans . 수학. 소프트 . 38(2), 15(2011.arXiv:1106.0151 에서 사전 인쇄 가능. 외부 링크 
![{\displaystyle F(z)={{\sqrt {\pi }} \over 2}e^{-z^{2}}\operatorname {erfi} (z)={\frac {i{\sqrt {\pi }}}{2}}\left[e^{-z^{2}}-w(z)\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e4707739a168d777d1f57cd944ce6872c9fd4c1)
![D_{+}(x)=F(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\operatorname {Im} [w(x)]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5263fe3be9abf87a3afe139c5b8c41e809fce58f)
![D_{-}(x)=iF(-ix)=-{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\left[e^{x^{2}}-w(-ix)\right]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc7a357d8241fa43ece147f1a877841d56529118)
x 
![{\displaystyle \pi H(y)=\operatorname {Im} \int _{0}^{\infty }dk\,\exp[-k^{2}/4+iky]\int _{-\infty }^{\infty }dx\,\exp[-(x+ik/2)^{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7a2e1f24bd3c4afdbed668d525afce8082bce55)
![{\displaystyle \pi ^{1/2}H(y)=\operatorname {Im} \int _{0}^{\infty }dk\,\exp[-k^{2}/4+iky]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d79091817e04ffaddfeb6c36dfdc763643f38bf5)
![{\displaystyle \pi ^{1/2}H(y)=e^{-y^{2}}\operatorname {Im} \int _{0}^{\infty }dk\,\exp[-(k/2-iy)^{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1430c17a7a7d0f759aa05bfcdfb3915ba1440415)
위에서 정의한 Dawson 함수다. 
