사이클로스테리 공정

사이클로스터리 공정은 시간에 따라 주기적으로 변화하는 통계적 특성을 가진 신호다.^[1]사이클로스터리 과정은 여러 개의 인터리브 정지 과정으로 볼 수 있다.예를 들어, 뉴욕시의 최대 일 기온은 사이클로스테리 과정으로 모델링될 수 있다: 7월 21일의 최대 온도는 12월 20일의 온도와 통계적으로 다르다. 그러나, 다른 해의 12월 20일의 온도는 동일한 통계를 가지고 있다는 것은 합리적인 근사치다.따라서, 우리는 일별 최대 온도로 구성된 무작위 프로세스를 365개의 인터리브 정지 공정으로 볼 수 있으며, 각 공정은 1년에 한 번 새로운 값을 갖는다.

정의

사이클로스트레이션 과정의 처리에 대한 두 가지 접근법이 있다.^[2]확률론적 접근방식은 측정을 확률적 과정의 한 예로 보는 것이다.대안으로, 결정론적 접근방식은 측정을 단일 시계열로 보는 것이며, 시계열과 관련된 일부 사건에 대한 확률 분포를 시계열의 수명 동안 사건이 발생하는 시간의 일부로 정의할 수 있다.두 접근법 모두에서 공정 또는 시계열은 관련된 확률 분포가 시간에 따라 주기적으로 변화하는 경우에만 사이클로스트라이제이션이라고 한다.그러나 결정론적 시계열 접근법에는 대안이 있지만 동등한 정의가 있다.유한강도 적층 사인파 성분이 없는 시계열은 양성강도 적층 사인파 성분을 생성하는 시계열의 비선형 시간 변이성 변환이 존재하는 경우에만 사이클로스트성을 나타낸다고 한다.

와이드센스 사이클론성

사이클로스테리 신호의 중요한 특별한 경우는 2차 통계량(예: 자기 상관 함수)에서 사이클로스테리티를 보이는 경우다.이를 와이드센스 사이클로스팅 신호라고 하며, 와이드센스 정지 과정과 유사하다.정확한 정의는 신호가 확률적 공정으로 처리되는지 결정론적 시계열로 처리되는지에 따라 다르다.

사이클로스테리 확률 과정

평균 $\operatorname {E} [x(t)]$ $x(t)$ $\operatorname {E} [x(t)]$ ( $\operatorname {E} [x(t)]$ ) $]$ {\ $displaystyle x(t)}$ 의 $x(t)$ $\operatorname {E} [x(t)]$ 확률적 프로세스 $x(t)$ ( ) {\ $displaystyle \operatorname {E}[x(t)]$ 및 자기 상관 함수:

R_{x}(t,\tau )=\operatorname {E} \{x(t+\tau )x^{*(t)\},

where the star denotes complex conjugation, is said to be wide-sense cyclostationary with period $T_{0}$ if both $\operatorname {E} [x(t)]$ and $R_{x}(t,\tau )$ are cyclic in $t$ with period ${\displayst$ $yle T_{0},},$ 즉 $T_{0},$ :^[2]

\operatorname {E}[x(t)]=\operatorname {E}[x(t+T_{0})]{\text{{모든 }

{\displaystyle R_{x}(t,\tau )=R_{x}(t+T_{0};\tau ){\text{{}모든 }에 대해.

그러므로 자기 상관 함수는 t 단위로 주기적이며 푸리에 시리즈로 확장할 수 있다.

R_{x}(t,\tau )=\sum _{n=-\infit }^{n_{x}^{n/T_{0}}}(\tau )e^{j2\pi{\frac}{n}{n}{n}{n}}{n}}}{T_{0}}}t}

여기서 $R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )$ $R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )$ $R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )$ / $R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )$ 0 ( $R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )$ ) $R_{x}^{n/T_{0}}}(\tau )$ 을 $R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )$ (를) 순환 자기 상관 함수라고 하며 다음과 같다.

R_{x}^{n/T_{0}(\tau )={\frac {1}{T_{0}}\int _{-T_{0}/2}^{}T_{0}/2}R_{x}(t,\tau )e^{-j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}t}\mathrm {d} t.

$n/T_{0},\,n\in \mathbb {Z} ,$ / $n/T_{0},\,n\in \mathbb {Z} ,$ 0 $n/T_{0},\,n\in \mathbb {Z} ,$ , $n/T_{0},\,n\in \mathbb {Z} ,$ $n/T_{0},\,n\in \mathbb {Z} ,$ $n/T_{0},\,n\in \mathbb {Z} ,$ , $n/T_{0},\,n\in \mathb {Z$ ,} 주파수를 순환 주파수라고 한다 $n/T_{0},\,n\in \mathbb {Z} ,$ .

와이드센스 정지 공정은 $R_{x}^{0}(\tau )\neq 0$ $R_{x}^{0}(\tau )\neq 0$ 0 ( $R_{x}^{0}(\tau )\neq 0$ ) $R_{x}^{0}(\tau )\neq 0$ 0 $R_{x}^{0}(\tau )\neq 0$ 만 있는 사이클로스트레이션 공정의 특별한 경우다 $R_{x}^{0}(\tau )\neq 0$

사이클로스테리 시계열

단지 시간의 함수일 뿐 확률 프로세스의 샘플 경로가 아닌 신호는 시간 단위 관점의 프레임워크에서 사이클로스트레이션 특성을 나타낼 수 있다.이러한 방법으로 순환 자기 상관 함수는 다음과 같이 정의할 수 있다.^[2]

{\widehat{R}_{x}^{n/T_{0}(\tau )=\lim_{T\오른쪽 화살표 +\inflitty }{\frac {1}{1}{\frack {1}{{}}}{n/T}}}}}}}T}}\int _{-T/2}^{T/2}x(t+\tau )x^{**(t)e^{-j2\pi{\frac{n}{T_{0}}}t}\mathrm {d} t.

If the time-series is a sample path of a stochastic process it is $R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )=\operatorname {E} \left[{\widehat {R}}_{x}^{n/T_{0}}(\tau )\right]$ . If the signal is further ergodic, all sample paths exhibits the same time-average and t허스 $R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )={\widehat {R}}_{x}^{n/T_{0}}(\tau )$ $R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )={\widehat {R}}_{x}^{n/T_{0}}(\tau )$ $R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )={\widehat {R}}_{x}^{n/T_{0}}(\tau )$ / $R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )={\widehat {R}}_{x}^{n/T_{0}}(\tau )$ 0 ( $R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )={\widehat {R}}_{x}^{n/T_{0}}(\tau )$ ) $R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )={\widehat {R}}_{x}^{n/T_{0}}(\tau )$ = $R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )={\widehat {R}}_{x}^{n/T_{0}}(\tau )$ $R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )={\widehat {R}}_{x}^{n/T_{0}}(\tau )$ x $R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )={\widehat {R}}_{x}^{n/T_{0}}(\tau )$ / $R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )={\widehat {R}}_{x}^{n/T_{0}}(\tau )$ $R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )={\widehat {R}}_{x}^{n/T_{0}}(\tau )$ ( $R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )={\widehat {R}}_{x}^{n/T_{0}}(\tau )$ $){\displaystyle R_{x}^{n/T_{0}(\tau )={\widehat{R}_{x}^{n/T_{0}}}}}}(\tau )$ 는 $R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )={\widehat {R}}_{x}^{n/T_{0}}(\tau )$ 평균 제곱오류.

주파수 영역 동작

주기 주파수 α에서 주기 자기 상관 함수의 푸리에 변환을 주기 스펙트럼 또는 스펙트럼 상관 밀도 함수라고 하며 다음과 같다.

S_{x}^{\alpha }(f)=\int _{-\infit }^{+\\lx}^{\r_{x}^{\alpha }(\tau )e^{-j2\pi f\tau }\mathrmathrmax.} \d} \tau .}}}}}}}

제로스 순환 주파수에서의 순환 스펙트럼은 평균 전력 스펙트럼 밀도라고도 불린다.가우스 사이클로스트레이션 프로세스의 경우, 속도 왜곡 기능은 주기 스펙트럼의 관점에서 표현될 수 있다.^[3]

푸리에 변환 $X(f)$ 가 $X(f)$ 인 $x(t)$ 사이클로스트레이션 확률 프로세스 $x(t)$ ) $x(t)$ 은 $1/T_{0}$ 는) $1/T_{0}$ / $1/T_{0}$ ${\$ 1 $/T_{0}$ 의 배수로 간격을 두고 상관된 주파수 성분을 가질 수 있으므로 $X(f)$ 유의할 필요가 있다.

\operatorname {E} \left[X(f_{1})X^{*}(f_{2})\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S_{x}^{n/T_{0}}(f_{1})\delta \left(f_{1}-f_{2}+{\frac {n}{T_{0}}\오른쪽)

Dirac의 델타 함수를 나타내는 $\delta (f)$ $\delta (f)$ ( $\delta (f)$ ) $\delta (f)$ 과(와) 함께. $n=0$ 주파수 $f_{1,2}$ $f_{1,2}$ , $f_{1,2}$ ${\$ $displaystyle$ $f_{1,2}}$ 개의 주파수는 실제로 N $n=0$ = $n=0$ 에 $S_{x}^{n/T_{0}}(f)\neq 0$ $S_{x}^{n/T_{0}}(f)\neq 0$ 만 $S_{x}^{n/T_{0}}(f)\neq 0$ x n / $S_{x}^{n/T_{0}}(f)\neq 0$ 0 $S_{x}^{n/T_{0}}(f)\neq 0$ ( $S_{x}^{n/T_{0}}(f)\neq 0$ ) $S_{x}^{n/T_{0}}(f)\neq 0$ 0 $S_{x}^{n/T_{0}}(f)\neq 0$ {\ $displaystyle S_{x}^{n/T_{0}}}}{0($ f)\ $neq$ 0 $}$ 이후 넓은 감각의 정지 프로세스에 대해 항상 상관 관계가 없다 $f_{1,2}$ $n=0$

예: 선형 변조 디지털 신호

사이클로스터리 신호의 예는 선형 변조 디지털 신호다.

x(t)=\sum _{k=--\ft }^{\nothy }a_{k}p(t-kT_{0}}}}}}}

$a_{k}\in \mathbb {C}$ 서 $\mathb {C}$ 의 $a_{k}\in \mathbb {C}$ $a_{k}\in \mathbb {C}$ C ${\$ in \mathb {C}은(는 $)$ i.i.d. 랜덤 변수다 $a_{k}\in \mathbb {C}$ .푸리에 변환 P $P(f)$ $){\$ $displaystyle p(t$ )}이 $p(t)$ $P(f)$ 있는 파형 $p(t)$ ( $p(t)$ ) {\ $displaystyle$ P( $f)}$ 는 변조의 지지 펄스다.

$\operatorname {E} [a_{k}]=0$ $\operatorname {E} [a_{k}]=0$ [ $\operatorname {E} [a_{k}]=0$ $\operatorname {E} [a_{k}]=0$ = 0 $\operatorname {E}[a_{k}]=0$ 및 $\operatorname {E} [|a_{k}|^{2}]=\sigma _{a}^{2}$ $\operatorname {E} [|a_{k}|^{2}]=\sigma _{a}^{2}$ [ $\operatorname {E} [|a_{k}|^{2}]=\sigma _{a}^{2}$ $\operatorname {E} [|a_{k}|^{2}]=\sigma _{a}^{2}$ $\operatorname {E} [|a_{k}|^{2}]=\sigma _{a}^{2}$ = $\operatorname {E} [|a_{k}|^{2}]=\sigma _{a}^{2}$ ${\$ 자동 상관 기능은 다음과 같다.

{\begin{aligned}R_{x}(t,\tau )&=\operatorname {E} [x(t+\tau )x^{*}(t)]\\[6pt]&=\sum _{k,n}\operatorname {E} [a_{k}a_{n}^{*}]p(t+\tau -kT_{0})p^{*}(t-nT_{0})\\[6pt]&=\sigma _{a}^{2}\sum _{k}p(t+\tau -kT_{0})p^{*}(t-kT_{0}).\end{정렬}}

마지막 합계는 주기적인 합이므로 신호는 t 단위의 주기적인 합이다.이렇게 하면 $x(t)$ ( $x(t)$ ) $x(t)$ 은 $x(t)$ 주기 $T_{0}$ $T_{0}$ ${\$ 과 $T_{0}$ 주기 자기 상관 함수를 갖는 주기적 신호다.

{\begin}R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )&={\frac {1}{\frac {1}{n1}T_{0}}\int _{-T_{0}/2}^{}T_{0}/2}R_{x}(t,\tau )e^{-j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}t}\,\mathrm {d}t\[6pt]&={\frac {1}{{}{T_{0}}\int _{-T_{0}/2}^{}T_{0}/2}\sigma _{a}^{2}\sum _{k=-\inflt }^{\p^{\p(t+\tau -kT_{0}}}p^{*}(t-kT_{0})e^{-j2\pi {\frac{n}{n}{n}{}{}{}{}{}{}{}{}{}}{}}}}}{}}}}}}}}}}{T_{0}}}}\mathrm {d}t\[6pt]&={\frac {\sigma _{a}^{2}}:{{n1}{n1}{n1}}}{n1}{n1}}}}}{n1}{n1}}}}}}T_{0}}\sum _{k=-\infit }^{\infit }\int _{-T_{0}/2-kT_{0}}^{0}}}}^{0}}}^{0}}}^{0}}}}^{0}T_{0}/2-kT_{0}p(\lambda +\tau )p^{*}(\lambda )e^{-j2\pi {\frac{n}{T_{0}}(\lambda +kT_{0}})\mathrm {d}\lambda \\\[6pt]&={\frac {\sigma _{a}^{2}}:{{}}}}}{}}}}}{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}T_{0}}}\int _{-\inful }^{\inful }p(\lambda +\tau )p^{*}(\lambda )e^{-j2\pi {\frac {n}{}{}}{-\n}}{}}}}}T_{0}}\lambda }\mathrm {d} \lambda \\[6pt]&={\frac {\sigma _{a}^{2}}:{{n1}{n1}{n1}}}}{n1}{n1}}}}}}}}}{n}}}T_{0}}p(\tau )*\left\{p^{**(-\tau )e^{j2\pi {\frac {n}{{p^}{{p^}}{n}}}T_{0}}\tau }\오른쪽\}.\end{정렬}}

콘볼루션을 나타내는 $*$ $*$ $*$ 과(와) 함께.주기 스펙트럼은 다음과 같다.

S_{x}^{n/T_{0}}(f)={\frac {\sigma _{a}^{2}}:{{n1}{n1}{n1}}}}}{n1}{0}}}}}}}}}}T_{0}}}P(f)P^{*}\왼쪽(f-{\frac {n}{T_{0}}\오른쪽).

따라서 디지털 통신에 채택된 일반적인 상승 코사인 펄스는 $n=-1,0,1$ = $n=-1,0,1$ - $n=-1,0,1$ , $n=-1,0,1$ 0 $n=-1,0,1$ $n=-1,0,1$ ${\displaystyle n=-1,0,1$ }의 비제로 $n=-1,0,1$ 주기 주파수만 가진다.

사이클로스테이션 모형

자기 회귀 이동 평균 모델의 클래스를 일반화하여 사이클로스트레이션 동작을 통합할 수 있다.예를 들어 트라우트맨은^[4] 자기 회귀 계수와 잔차 분산이 더 이상 일정하지 않고 시간에 따라 순환적으로 변화하는 자기반향을 처리했다.그의 연구는 시계열 분석 분야에서 사이클로스터리 과정에 대한 많은 다른 연구를 따른다.^[5]^[6]

적용들

통신에서는 신호 동기화를 이용하기 위해 사이클로스테리티를 사용한다.
계량학에서는 금융시장의 주기적 행동을 분석하기 위해 사이클로스테이션(cyclostation)을 사용한다.
대기열 이론은 컴퓨터 네트워크 및 자동차 트래픽을 분석하기 위해 사이클로스터리 이론을 이용한다.
사이클로스테리티는 회전 및 왕복 기계에 의해 생성되는 기계적 신호를 분석하는 데 사용된다.

기계 신호의 각도 시간 사이클론성

회전 또는 왕복 기계에 의해 생성되는 기계적 신호는 사이클로스트레이션 프로세스로 현저하게 잘 모델링된다.사이클로스테리 패밀리는 첨가제 유형(톤성분의 존재) 또는 승법 유형(주기적 변조의 존재) 중 하나로 주기성이 숨겨진 모든 신호를 수신한다.기어 메커니즘, 베어링, 내연기관, 터보팬, 펌프, 프로펠러 등에 의해 발생하는 소음과 진동이 이에 해당한다.기계 신호의 명시적 모델링은 NVH(Noise, Vibration and Harshness)와 상태 모니터링과 같은 여러 응용 분야에서 유용하게 사용되어 왔다.^[7]후자 분야에서는 베어링 결함의 진단에 사용되는 일반적인 분석 기법인 외피 스펙트럼을 일반화하는 사이클로스테이션이 발견되었다.

회전 기계 신호의 한 가지 특징은 공정의 기간이 특정 구성 요소의 회전 각도, 즉 기계의 "주기"와 엄격히 연결되어 있다는 점이다.동시에 시간의 미분방정식에 의해 지배되는 동적 현상의 특성을 반영하기 위해 시간적 설명을 보존해야 한다.따라서, 각도 시간 자기 상관 함수가 사용된다.

R_{x}(\theta ,\tau )=\operatorname {E} \{x(t)(\tta )+\x^{*(\t(\tta )\},

여기서 $\theta$ ${\displaystyle \teta$ }은 $($ 는) 각도를, $t(\theta )$ 는 시간 지연에 대한 $\tau$ 각도 $\theta$ ${\displaystyle \teta$ $}$ 과 $\theta$ (는 $)$ $display$ {\ $displaystyle \$ tau }에 해당하는 시간 인스턴스(는 $)$ 를 $t(\theta )$ 나타낸다 $\theta$ .Processes whose angle-time autocorrelation function exhibit a component periodic in angle, i.e. such that $R_{x}(\theta ;\tau )$ has a non-zero Fourier-Bohr coefficient for some angular period $\Theta$ , are called (wide-sense) angle-time cyclostationary.각도 시간 자기 상관 함수의 이중 푸리에 변환은 순서 주파수 스펙트럼 상관 관계를 정의한다.

S_{x}^{\alpha }(f)=\lim _{S\rightarrow +\infty }{\frac {1}{S}}\int _{-S/2}^{S/2}\int _{-\infty }^{+\infty }R_{x}(\theta ,\tau )e^{-j2\pi f\tau }e^{-j2\pi \alpha {\frac {\theta }{\Theta }}\,\mathrm {d} \tau \,\mathrm {d} \teta

여기서 $\alpha$ $\alpha$ 은(는) 순서(회전당 이벤트의 단위)이고 $f$ $f$ 주파수(Hz 단위)이다 $\alpha$ $f$ .

참조

^ Gardner, William A.; Antonio Napolitano; Luigi Paura (2006). "Cyclostationarity: Half a century of research". Signal Processing. Elsevier. 86 (4): 639–697. doi:10.1016/j.sigpro.2005.06.016.
^ ^a ^b ^c Gardner, William A. (1991). "Two alternative philosophies for estimation of the parameters of time-series". IEEE Trans. Inf. Theory. 37 (1): 216–218. doi:10.1109/18.61145.
^ Kipnis, Alon; Goldsmith, Andrea; Eldar, Yonina (May 2018). "The Distortion Rate Function of Cyclostationary Gaussian Processes". IEEE Transactions on Information Theory. 65 (5): 3810–3824. arXiv:1505.05586. doi:10.1109/TIT.2017.2741978.
^ 트라웃맨, B.M. (1979) "일부 결과는 주기적인 자기반복이다."바이오메트리카, 66(2), 219–228
^ Jones, R.H., Brelsford, W.M. (1967) "주기적인 구조의 시계열"바이오메트리카 54, 403–410
^ 파가노, M. (1978년) "주기적이고 다중적인 자기반복에 대하여." 앤통계, 6, 1310–1317.
^ Antoni, Jérôme (2009). "Cyclostationarity by examples". Mechanical Systems and Signal Processing. Elsevier. 23 (4): 987–1036. doi:10.1016/j.ymssp.2008.10.010.

외부 링크

혼합기, 오실레이터, 샘플러 및 로직의 소음: 사이클로스테리 소음 원고에 대한 설명 주석을 단 프레젠테이션

[gardner06-1] Gardner, William A.; Antonio Napolitano; Luigi Paura (2006). "Cyclostationarity: Half a century of research". Signal Processing. Elsevier. 86 (4): 639–697. doi:10.1016/j.sigpro.2005.06.016.

[gardner91-2] Gardner, William A. (1991). "Two alternative philosophies for estimation of the parameters of time-series". IEEE Trans. Inf. Theory. 37 (1): 216–218. doi:10.1109/18.61145.

[3] Kipnis, Alon; Goldsmith, Andrea; Eldar, Yonina (May 2018). "The Distortion Rate Function of Cyclostationary Gaussian Processes". IEEE Transactions on Information Theory. 65 (5): 3810–3824. arXiv:1505.05586. doi:10.1109/TIT.2017.2741978.

[4] 트라웃맨, B.M. (1979) "일부 결과는 주기적인 자기반복이다."바이오메트리카, 66(2), 219–228

[5] Jones, R.H., Brelsford, W.M. (1967) "주기적인 구조의 시계열"바이오메트리카 54, 403–410

[6] 파가노, M. (1978년) "주기적이고 다중적인 자기반복에 대하여." 앤통계, 6, 1310–1317.

[antoni09-7] Antoni, Jérôme (2009). "Cyclostationarity by examples". Mechanical Systems and Signal Processing. Elsevier. 23 (4): 987–1036. doi:10.1016/j.ymssp.2008.10.010.

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