주기적 단조도

수학에서 주기적인 단조로움은 벡터 가치 함수의 경우에 단조로움 개념을 일반화한 것이다.^[1][2]

정의

${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle ,}$ , ,${\displaystyle }${ ⋅ $\displaystyle \langle \langle$\cdot ,\$cdot \rangle }$은(는) 내부 제품 $공간{\displaystyle }$ X ${\$$displaystyle X}$의 내부 제품을 $나타내며{\displaystyle }$ U ${\$$displaysty X}$의 비어 있지 않은 하위 집합이 되도록$$ 한다$.$ $통신{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$: U${\displaystyle }$⇉ X ${\p$: ${\displaystyle U}$ $let$ X$:$$U\rightrightarrows X}$ is called cyclically monotone if for every set of points ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{m+1}\in U}$ with ${\displaystyle x_{m+1}=x_{1}}$ it holds that ${\displaystyle \sum _{k=1}^{m}\$$langle x_{k+1},f(x_{k+1})-f(x_{k})\angle \geq 0.}$

특성.

• 한 변수의 스칼라 함수의 경우 위의 정의는 일반적인 단조로움과 동일하다.
• 볼록함수의 구배는 주기적으로 단조롭다.
• 사실, 그 반대는 사실이다.^[4]$U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$이(가) 볼록하고 f${\displaystyle }$: ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \rightrightarrows }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$$U\rightarrows \mathb{R} ^{n}}}$은(는) 비어 있지 않은 값을 가진 대응이다.그런 다음, $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 주기적으로 단조인 경우, 상위 반경주 $볼록함수{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$: ${\displaystyle U\mathbb{}}$→ R ${\$$U\to \mathbb {R} }$ such that ${\displaystyle f(x)\subset \partial F(x)}$ for every ${\displaystyle x\in U}$, where ${\displaystyle \partial F(x)}$ denotes the subgradient of ${\displaystyle F}$ at ${\displaystyle x}$.^[5]

참조