코스타스 루프

코스타스 루프는 억제된 반송파 변조 신호(예: 이중 측면 대역 억제 반송파 신호) 및 위상 변조 신호(예: BPSK, QPSK)에서 반송파 주파수 회수에 사용되는 위상 잠금 루프(PL) 기반 회로다. 그것은 존 P에 의해 발명되었다. 1950년대 General Electric의 코스타스.^[1]^[2] 그것의 발명은 "현대 디지털 통신에 심오한 영향을 끼쳤다"고 묘사되었다^[3]. 코스타스 루프의 주요 적용은 무선 수신기에 있다. Its advantage over other PLL-based detectors is that at small deviations the Costas loop error voltage is $\sin(2(\theta _{i}-\theta _{f}))$ as compared to $\sin(\theta _{i}-\theta _{f})$ . 이는 감도를 배가시키는 것으로 해석되며, 또한 코스타스 루프가 특히 OFDM과 GPS 수신기에서 도플러 변형 캐리어를 추적하는데 독특하게 적합하게 만든다.^[3]

고전적 구현

잠긴 상태에서 작동하는 코스타스 루프.

코스타스 루프의 일반적인 구현에서 국소 전압 제어 오실레이터(VCO)는 제품 검출기와 같은 2상 검출기 각각에 하나씩 4차 출력을 제공한다.^[4] 입력 신호의 동일한 위상이 양쪽 위상 검출기에도 적용되며 각 위상 검출기의 출력은 로우패스 필터를 통해 전달된다. 이러한 저역 통과 필터의 출력은 전압 제어 오실레이터 제어에 사용되기 전에 다른 위상 검출기로의 출력이 소음 감소 필터를 통과하는 입력이다. 전체 루프 응답은 3상 검출기에 선행하는 2개의 개별 로우패스 필터에 의해 제어되며, 3차 로우패스 필터는 게인 및 위상 여유 측면에서 사소한 역할을 한다.

코스타스 루프의 위 그림은 "잠긴" 상태의 조건에서 그려지는데, 여기서 VCO 주파수와 들어오는 반송파 주파수는 코스타스 루프 프로세스의 결과와 동일해졌다. 이 수치는 "잠금 해제" 상태를 나타내지 않는다.

수학적 모형

시간 영역에서

BPSK 코스타스 루프의 시간 영역 모델

가장 단순한 경우 $m^{2}(t)=1$ $m^{2}(t)=1$ ( $m^{2}(t)=1$ ) $m^{2}(t)=1$ = 1 ${\displaystyle$ m $^{2}($ $m^{2}(t)=1$ $)=1$ 따라서 $m^{2}(t)=1$ $m^{2}(t)=1$ ( t $m^{2}(t)=1$ ) $m^{2}(t)=1$ = $m^{2}(t)=1$ ${\displaystyle m^{2}(t)=$ 1}는 $m^{2}(t)=1$ 소음 감소 필터 입력에 영향을 주지 않는다 $m^{2}(t)=1$ . Carrier and voltage-controlled oscillator (VCO) signals are periodic oscillations $f_{ref,vco}(\theta _{ref,vco}(t))$ with high-frequencies ${\dot {\theta }}_{ref,vco}(t)$ . Block $\bigotimes$ is an 아날로그 승수.

수학적 관점에서 선형 필터는 선형 미분 방정식의 시스템으로 설명될 수 있다.

{\begin{array}{ll}{\dot}}=Ax+bu_{d}(t),&u_{LF}=c^{*}x.\end{array}}

여기서 $A$ $A$ 은 $A$ (는) 상수 행렬이고, $x(t)$ ( t $x(t)$ ) ${\displaystyle x(t)$ 는 $x(t)$ 필터의 상태 벡터, $b$ $b$ $c$ c $c$ 은 $c$ 상수 벡터다.

VCO 모델은 일반적으로 선형인 것으로 가정한다.

{\begin{array}{ll}{\dot {\teta }}{vco}(t)=\omega _{vco}^{free}+K_{vco}u_{vco}u_{{vco}u_{{}}}}}}}}{{{}}}}}}LF}(t),&t\in [0,T],\end{array}}

여기서 $\omega _{vco}^{free}$ $\omega _{vco}^{free}$ $\omega _{vco}^{free}$ $\omega _{vco}^{free}$ $\omega _{vco}^{free}$ e $\omega _{vco}^{free}$ {\ $displaystyle \omega_{vco}^{free}}}$ 는 $\omega _{vco}^{free}$ 전압 제어 오실레이터의 자유 작동 주파수이고 $K_{vco}$ $K_{vco}$ $K_{vco}$ $K_{vco}$ ${\$ 는 $K_{vco}$ 오실레이터 게인 것이다. 마찬가지로 VCO의 다양한 비선형 모델을 고려할 수 있다.

마스터 생성기의 주파수가 일정한 ${\dot {\theta }}_{ref}(t)\equiv \omega _{ref}.$ r ${\dot {\theta }}_{ref}(t)\equiv \omega _{ref}.$ ${\dot {\theta }}_{ref}(t)\equiv \omega _{ref}.$ ( t ${\dot {\theta }}_{ref}(t)\equiv \omega _{ref}.$ ) ${\dot {\theta }}_{ref}(t)\equiv \omega _{ref}.$ ${\dot {\theta }}_{ref}(t)\equiv \omega _{ref}.$ r ${\dot {\theta }}_{ref}(t)\equiv \omega _{ref}.$ . {\ $dot$ {\ $dot{\teta }}}{ref}(t)\equiv \omega _{ref}}}$ 필터 산출량의 방정식 및 VCO의 방정식이라고 ${\dot {\theta }}_{ref}(t)\equiv \omega _{ref}.$ 가정합시다.

{\begin{array}{ll}{\dot {x}}=Ax+bf_{ref}(\theta _{ref}(t))f_{vco}(\theta _{vco}(t)),&{\dot {\theta }}_{vco}=\omega _{vco}^{free}+K_{vco}c^{*}x.\end{array}}

이 시스템은 자율적이지 않고 조사하기 다소 어렵다.

위상 빈도 영역 내

코스타스 루프의 등가 위상 주파수 영역 모델

코스타스 루프의 위상 빈도 영역 모델에 대한 VCO 입력

가장 간단한 경우 다음과 같은 경우

{\displaystyle{\begin{정렬}f_{심판}{\big(}\theta_{심판}(t){\big)}=\cos{\big(}\omega_{심판}t{\big)},\ f_{vco}{\big(}\theta_{vco}(t){\big)}&, =\sin{\big(}\theta_{vco}(t){\big)}(\theta_{vco}(t)\right)f_ᆺ\left(\theta_{vco}(t)-{\frac{\pi}{2}}\right)&=-{\frac{1}{8}}{\B.ig(}2\sin (2\theta _{vco}(t)+\sin(2\ta)-{vco}(t)-2\omega _{ref}t)+\sin(2\ta _{vco}(t)+2\omega _{ref}t){\Big )}\end{religed}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}?

표준 공학적 가정은 필터가 입력에서 주파수가 있는 상부 사이드밴드를 제거하지만 하부 사이드밴드는 변경 없이 그대로 둔다는 것이다. 따라서 VCO 입력이 $\varphi (\theta _{ref}(t)-\theta _{vco}(t))={\frac {1}{8}}\sin(2\omega _{ref}t-2\theta _{vco}(t)).$ ( $\varphi (\theta _{ref}(t)-\theta _{vco}(t))={\frac {1}{8}}\sin(2\omega _{ref}t-2\theta _{vco}(t)).$ r $\varphi (\theta _{ref}(t)-\theta _{vco}(t))={\frac {1}{8}}\sin(2\omega _{ref}t-2\theta _{vco}(t)).$ $\varphi (\theta _{ref}(t)-\theta _{vco}(t))={\frac {1}{8}}\sin(2\omega _{ref}t-2\theta _{vco}(t)).$ ( $\varphi (\theta _{ref}(t)-\theta _{vco}(t))={\frac {1}{8}}\sin(2\omega _{ref}t-2\theta _{vco}(t)).$ ) - $\varphi (\theta _{ref}(t)-\theta _{vco}(t))={\frac {1}{8}}\sin(2\omega _{ref}t-2\theta _{vco}(t)).$ v $\varphi (\theta _{ref}(t)-\theta _{vco}(t))={\frac {1}{8}}\sin(2\omega _{ref}t-2\theta _{vco}(t)).$ ( $\varphi (\theta _{ref}(t)-\theta _{vco}(t))={\frac {1}{8}}\sin(2\omega _{ref}t-2\theta _{vco}(t)).$ = $\varphi (\theta _{ref}(t)-\theta _{vco}(t))={\frac {1}{8}}\sin(2\omega _{ref}t-2\theta _{vco}(t)).$ $\varphi (\theta _{ref}(t)-\theta _{vco}(t))={\frac {1}{8}}\sin(2\omega _{ref}t-2\theta _{vco}(t)).$ $\varphi (\theta _{ref}(t)-\theta _{vco}(t))={\frac {1}{8}}\sin(2\omega _{ref}t-2\theta _{vco}(t)).$ sin $\varphi (\theta _{ref}(t)-\theta _{vco}(t))={\frac {1}{8}}\sin(2\omega _{ref}t-2\theta _{vco}(t)).$ ( 2 $\varphi (\theta _{ref}(t)-\theta _{vco}(t))={\frac {1}{8}}\sin(2\omega _{ref}t-2\theta _{vco}(t)).$ $\varphi (\theta _{ref}(t)-\theta _{vco}(t))={\frac {1}{8}}\sin(2\omega _{ref}t-2\theta _{vco}(t)).$ $\varphi (\theta _{ref}(t)-\theta _{vco}(t))={\frac {1}{8}}\sin(2\omega _{ref}t-2\theta _{vco}(t)).$ t - $\varphi (\theta _{ref}(t)-\theta _{vco}(t))={\frac {1}{8}}\sin(2\omega _{ref}t-2\theta _{vco}(t)).$ $\varphi (\theta _{ref}(t)-\theta _{vco}(t))={\frac {1}{8}}\sin(2\omega _{ref}t-2\theta _{vco}(t)).$ v $\varphi (\theta _{ref}(t)-\theta _{vco}(t))={\frac {1}{8}}\sin(2\omega _{ref}t-2\theta _{vco}(t)).$ $\varphi (\theta _{ref}(t)-\theta _{vco}(t))={\frac {1}{8}}\sin(2\omega _{ref}t-2\theta _{vco}(t)).$ $\varphi (\theta _{ref}(t)-\theta _{vco}(t))={\frac {1}{8}}\sin(2\omega _{ref}t-2\theta _{vco}(t)).$ ( $\varphi (\theta _{ref}(t)-\theta _{vco}(t))={\frac {1}{8}}\sin(2\omega _{ref}t-2\theta _{vco}(t)).$ t $\varphi (\theta _{ref}(t)-\theta _{vco}(t))={\frac {1}{8}}\sin(2\omega _{ref}t-2\theta _{vco}(t)).$ ) . $\varphi (\theta _{ref}(t)-\theta _{vco}(t))={\frac {1}{8}}\sin(2\omega _{ref}t-2\theta _{vco}(t)).$ {\ $displaystyle \varphi$ (\ $ta$ _ ${ref}-\ta$ _{vco $}($ t) $_)$ 라고 가정한다 $.$ $={\frac {1}{8}\sin(2\omega _{ref}t-2\tta _{vco}(t)).}$ $\varphi (\theta _{ref}(t)-\theta _{vco}(t))={\frac {1}{8}}\sin(2\omega _{ref}t-2\theta _{vco}(t)).$ This makes a Costas loop equivalent to a phase-locked loop with phase detector characteristic $\varphi (\theta )$ corresponding to the particular waveforms $f_{ref}(\theta )$ and $f_{vco}(\theta )$ of input and VCO signals. 시간 영역과 위상 주파수 영역의 필터 출력이 거의 같다는 것을 증명할 수 있다.^[5]^[6]^[7]

따라서 미분방정식의 보다 단순한 자율적 시스템을 연구하는 것이 가능하다^[8].

X˙한 x+bφ(Δ θ),Δ θ ˙)ω vcofree− ω ref+K건물 c는 oc∗ xΔ θ)θ vco −θ ref.{\displaystyle{\begin{정렬}{\dot{)}}&.=Ax+b\varphi(\theta\Delta),\\\Delta{\dot{\theta}}&=\omega _{vco}^{자유}-\omega _{심판}+K_{vco}c^{*}x,\\\Delta \theta&=\theta_{vc.

o}-\theta _{ref}.

\end{정렬

크릴로프-보골류보프 평균 방법은 비자율 방정식과 자율 방정식의 해법이 일부 가정 하에서 가깝다는 것을 증명할 수 있다. 따라서 시간 공간에서 코스타스 루프의 블록체계는 위상-주파수 관계 수준에서 점증적으로 블록체인으로 변경될 수 있다.

코스타스 루프(비자율적 모델 대신)의 자율적 동적 모델 분석으로의 통로는 입력 신호의 매우 빠른 시간 척도와 신호 단계의 느린 시간 척도를 동시에 관찰해야 하는 시간 영역에서 코스타스 루프를 모델링하는 것과 관련된 어려움을 극복할 수 있다. 이 아이디어는 핵심 성능 특성(홀드인, 풀인, 잠금 범위)을 계산할 수 있게^[9] 한다.

주파수획득

동기화 전 비용 루프

동기화 후 코스타스 루프

동기화 전 반송파 및 VCO 신호

동기화 중 VCO 입력

동기화 후 캐리어 및 VCO 신호

고전적인 코스타스 루프는 캐리어와 VCO 사이의 위상 차이가 작고 이상적으로 0이 되도록 하는 데 도움이 될 것이다.^[10]^[11]^[12] 작은 위상 차이는 주파수 잠금이 달성되었음을 의미한다.

QPSK 코스타스 루프

고전적인 코스타스 루프는 더 높은 데이터 전송 속도를 위해 QPSK 변조에 적응될 수 있다.^[13]

클래식 QPSK 코스타스 루프

입력 QPSK 신호는 다음과 같다.

m_{1}(t)\cos \left(\omega _{\text{ref}t\right)+m_{2}(t)\sin \lef(\omega _{\text}t\right),m_{1}(t)=\m_{2}=\pm 1.

저역-통과 필터 LPF1과 LPF2의 입력은

{\displaystyle{\begin{정렬}\varphi _ᆴ(t)&, =\cos \left(\omega_{\text{심판}}t\right)+m_ᆵ(t)\sin \left(\omega_{\text{심판}}t\right)\right),\\\varphi _ᆶ(t)& \left(\theta_{\text{vco}}\right)\left(m_{1}(t)\cos,=\sin \left(\theta_{\text{vco}}\right)\left(m_{1}(t)\cos \left(\omega_{\text{심판}}t\right)+m_ᆷ(t)\sin \left(\omega_{\text{에 있다.f}}t\right)\오른쪽).\end{정렬}}}

LPF1 $Q(t)$ ( $Q(t)$ ) $Q(t)$ 과 $Q(t)$ (와) $I(t)$ I $I(t)$ t $)$ {\ $displaystyle I($ t)}의 출력을 동기화하면 분해된 데이터( $m_{1}(t)$ $m_{1}(t)$ ( t $m_{1}(t)$ ) ${\displaystystyle m_{1}(t)}$ 및 $m_{1}(t)$ $m_{2}(t)$ $m_{2}(t)$ ( $m_{2}(t)$ {\ $displaystym_{2}(t)$ 를 얻는데 사용된다 $I(t)$ . $m_{2}(t)$ VCO의 주파수를 기준 $Q(t)$ $Q(t)$ Q $Q(t)$ t $Q(t)$ ) $Q(t)$ 및 $I(t)$ $I(t)$ 에 대해 조정하려면 제한기와 교차 곱을 수행하십시오 $I(t)$ .

u_{d}(t)=I(t)\operatorname {sgn}(Q(t)-Q(t)\operatorname {sgn}(I(t))

그 신호 $u_{d}(t)$ d ( t $u_{d}(t)$ ) $u_{d}(t)$ 을(를) 루프 필터에 의해 필터링하고 $u_{d}(t)$ VCO $u_{\text{LF}}(t)$ $u_{\text{LF}}(t)$ ( $u_{\text{LF}}(t)$ ) $u_{\text$ 에 대한 튜닝 신호를 형성한다. $LF}(t)}$ 은(는) BPSK 코스타스 루프와 유사하다 $u_{\text{LF}}(t)$ . 따라서, QPSK 코스타스는 ODE 시스템에 의해^[14] 설명될 수 있다.

{\begin{aigned}{\dot {x}_{1}&=A_{\text}{\text}}LPF}x_{1}+b_{\text{LPF}\varphi _{1}(t),\\\\dot{x}_{2}&=A_{\text{LPF}x_{2}+b_{\text{LPF}\varphi _{2}(t),\\\\dot{x}&=A_{\text{LF}}x+b_{\text{LF}}\왼쪽(c_{\text{LPF}}^{*}x_{1}\operatorname {sgn} \left(c_{\text{\text}{LPF}^{*}x_{2}\오른쪽)-c_{\text{LPF}^{*}x_{2}\operatorname {sgn} \left(c_{\text}{LPF}^{*}x_{1}\오른쪽)\\\\\dot{\text{vco}}}}{\text{vco}}=\omega _{\text{vco}^{\text}}}{\free}+K_{\text}{\text{\text}{\text{\text}}}}}}{\text}}}}}\text}}}}}}}}VCO}}\왼쪽(c_{\text{LF}}^{*}x+h\왼쪽(c_{\text{LPF}}^{*}x_{1}\operatorname {sgn} \left(c_{\text{\text}{LPF}^{*}x_{2}\오른쪽)-c_{\text{LPF}^{*}x_{2}\operatorname {sgn} \left(c_{\text}{LPF}^{*}x_{1}\오른쪽)\오른쪽).\\end{aigned}

여기 $A_{\text{LPF}},b_{\text{LPF}},c_{\text{LPF}}$ $A_{\text{LPF}},b_{\text{LPF}},c_{\text{LPF}}$ , $A_{\text{LPF}},b_{\text{LPF}},c_{\text{LPF}}$ $A_{\text{LPF}},b_{\text{LPF}},c_{\text{LPF}}$ , $A_{\text{LPF}},b_{\text{LPF}},c_{\text{LPF}}$ $A_{\text{LPF}},b_{\text{LPF}},c_{\text{LPF}}$ ${\$ $LPF},b_{\text{$ $LPF},c_{\text{$ $LPF}}$ - $A_{\text{LPF}},b_{\text{LPF}},c_{\text{LPF}}$ LPF1 및 LPF2 및 $A_{\text{LF}},b_{\text{LF}},c_{\text{LF}},h_{\text{LF}}$ $A_{\text{LF}},b_{\text{LF}},c_{\text{LF}},h_{\text{LF}}$ $A_{\text{LF}},b_{\text{LF}},c_{\text{LF}},h_{\text{LF}}$ $A_{\text{LF}},b_{\text{LF}},c_{\text{LF}},h_{\text{LF}}$ $A_{\text{LF}},b_{\text{LF}},c_{\text{LF}},h_{\text{LF}}$ $A_{\text{LF}},b_{\text{LF}},c_{\text{LF}},h_{\text{LF}}$ h $A_{\text{LF}},b_{\text{LF}},c_{\text{LF}},h_{\text{LF}}$ ${\$ $LF},b_{\text{$ $LF},c_{\text{$ $LF},h_{\text{$ $LF}}$ - $A_{\text{LF}},b_{\text{LF}},c_{\text{LF}},h_{\text{LF}}$ 루프 필터의 매개 변수.

참조

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^ 코스타스 1956은 "상부와 하부 사이드밴드의 오디오 출력 기여도가 서로 강화되도록 국부 오실레이터를 적절한 위상으로 유지해야 한다. 오실레이터 위상이 최적값에서 90° 떨어져 있는 경우 오디오 출력에 null이 발생하며 이는 이 유형의 검출기에 일반적인 것이다. 실제 위상 제어 방법은 곧 설명될 것이지만, 이 논의의 목적을 위해 정확한 오실레이터 단계의 유지보수를 가정해야 한다.
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[9] Kuznetsov, N. V.; Leonov, G. A.; Seledzhi, S. M.; Yuldashev, M. V.; Yuldashev, R. V. (2017). "Nonlinear model of the optical Costas loop: pull-in range estimation and hidden oscillations". IFAC-PapersOnLine. ELSEVIER. 50: 3325–3330. doi:10.1016/j.ifacol.2017.08.514. ISSN 2405-8963.

[10] 코스타스 1956은 "상부와 하부 사이드밴드의 오디오 출력 기여도가 서로 강화되도록 국부 오실레이터를 적절한 위상으로 유지해야 한다. 오실레이터 위상이 최적값에서 90° 떨어져 있는 경우 오디오 출력에 null이 발생하며 이는 이 유형의 검출기에 일반적인 것이다. 실제 위상 제어 방법은 곧 설명될 것이지만, 이 논의의 목적을 위해 정확한 오실레이터 단계의 유지보수를 가정해야 한다.

[11] 통합자와 함께 루프 필터를 사용하면 0의 정상 상태 위상 오차가 허용된다. PID 컨트롤러 § 통합 용어를 참조하십시오.

[12] Best, Roland E. (1997). Phase-Locked Loops (third ed.). New York: McGraw-Hill. pp. 44–45. ISBN 0-07-006051-7.

[13] 미국 특허 4,085,378,Carl R. "QPSK 디모듈레이터"인 Ryan & James H. Stilwell은 Motorola Solutions Inc.에 할당된 1976-11-26을 발행했다.

[14] Best, R. E.; Kuznetsov, N. V.; Leonov, G. A.; Yuldashev, M. V.; Yuldashev, R. V. (2016). "Tutorial on dynamic analysis of the Costas loop". Annual Reviews in Control. ELSEVIER. 42: 27–49. arXiv:1511.04435. doi:10.1016/j.arcontrol.2016.08.003.

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