코어(그래프 이론)

그래프 이론의 수학적 분야에서, 핵심은 그래프 동형성에 관한 그래프의 행동을 설명하는 개념이다.

정의

$그래프{\displaystyle }$ C ${\displaystyle C}$은(는) 모든 동형상 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle C}$→ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f:$$C\to C}$은(는) 이형성,$$즉 C {\$displaystyle$ C$}$의 정점들의 편향이다$.$

그래프 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 코어는 다음과$$ 같은 $그래프{\displaystyle }$ C$${\$displaystyle C}$이다.

1. $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$에서 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$까지의 동형성이 존재한다$.$
2. $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$에서 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$까지 동형성이 존재하며$,$
3. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$은(는) 이 속성의 최소값이다$$.

두 개의 그래프는 동형상 등가 또는 동형상 코어가 있는 경우 동형상 등가 또는 동형상 등가라고 한다.

예

• 모든 완전한 그래프는 핵심이다.
• 홀수 길이의 순환은 그 자체의 핵심이다.
• 균일한 길이의 두 사이클마다, 그리고 더 일반적으로 초당적인 두 그래프마다 동등하다.이러한 각 그래프의 핵심은 2-Vertex 전체₂ 그래프 K

특성.

모든 그래프에는 특이하게 결정되는 코어가 이등형성까지 있다.그래프 G의 핵심은 $항상{\displaystyle }$ G의 유도 서브그래프다. G${\displaystyle }$→ $[\displaystyle$ G$\to$ H$}$와 ${\displaystyle H}$→ G$[\displaystyle H\to G}$ $G$[\displaystyle G}와 H ${\displaystysty H}$은 반드시 동형상 등가 된다$$.

계산 복잡성

그래프가 적절한 하위 그래프에 동형성이 있는지 여부를 테스트하는 것은 NP-완전이며, 그래프가 자신의 핵심인지(즉, 그러한 동형성이 존재하지 않는지)를 테스트하는 것은 NP-완전이다(Hell & Neshetetil 1992).

참조

• 고딜, 크리스, 로일, 고든대수 그래프 이론.수학 대학원 교과서 2001년 뉴욕 스프링거-베를라크.6장 2절
• Hell, Pavol; Nešetřil, Jaroslav (1992), "The core of a graph", Discrete Mathematics, 109 (1–3): 117–126, doi:10.1016/0012-365X(92)90282-K, MR 1192374.
• Nešetřil, Jaroslav; Ossona de Mendez, Patrice (2012), "Proposition 3.5", Sparsity: Graphs, Structures, and Algorithms, Algorithms and Combinatorics, vol. 28, Heidelberg: Springer, p. 43, doi:10.1007/978-3-642-27875-4, ISBN 978-3-642-27874-7, MR 2920058.