대비(통계)

통계학, 특히 분산 분석과 선형 회귀 분석에서 대조는 계수가 0에 이르는 변수(모수 또는 통계량)의 선형 결합으로 다른 치료법을 비교할 수 있다.^[1]^[2]

정의들

$\theta _{1},\ldots ,\theta _{t}$ $\theta _{1},\ldots ,\theta _{t}$ , $\theta _{1},\ldots ,\theta _{t}$ … , $\theta _{1},\ldots ,\theta _{t}$ $\theta _{1},\ldots ,\theta _{t}$ ${\$ 은 변수 집합으로, 매개 $\theta _{1},\ldots ,\theta _{t}$ 변수나 통계로, $a_{1},\ldots ,a_{t}$ , $a_{1},\ldots ,a_{t}$ … $a_{1},\ldots ,a_{t}$ ${\$ 는 알려진 상수로 $a_{1},\ldots ,a_{t}$ 한다. 수량 $\sum _{i=1}^{t}a_{i}\theta _{i}$ $\sum _{i=1}^{t}a_{i}\theta _{i}$ = $\sum _{i=1}^{t}a_{i}\theta _{i}$ $\sum _{i=1}^{t}a_{i}\theta _{i}$ $\sum _{i=1}^{t}a_{i}\theta _{i}$ i $\sum _{i=1}^{t}a_{i}\theta _{i}$ i ${\$ 는 선형 $\sum _{i=1}^{t}a_{i}\theta _{i}$ 결합이다. 만약 ∑ 나는 정도 그것은 반대라고 불린다 1 있는 i=0{\displaystyle \sum_{i=1}^{t}a_{나는}=0}.[3][4]게다가, 두가지의 대조, ∑ 나는 갈1 있는 나는 θ 나는{\displaystyle \sum_{i=1}^{t}a_{나는}\theta _{나는}}과 ∑ 나는 갈1t b나는 θ 나는{\displaystyle \sum_{i=1}^{t}b_{나는}\theta _{나는}}, 직교 만약 ∑ 나는 정도 1. t $\sum _{i=1}^{t}a_{i}b_{i}=0$ $\sum _{i=1}^{t}a_{i}b_{i}=0$ $\sum _{i=1}^{t}a_{i}b_{i}=0$ $\sum _{i=1}^{t}a_{i}b_{i}=0$ = 0 $\sum _{i=1}^{t}a_{i}b_{i}=0$ ^[5].

예

우리가 네 가지 수단, 즉 $\mu _{1},\mu _{2},\mu _{3},\mu _{4}$ $\mu _{1},\mu _{2},\mu _{3},\mu _{4}$ , $\mu _{1},\mu _{2},\mu _{3},\mu _{4}$ $\mu _{1},\mu _{2},\mu _{3},\mu _{4}$ , $\mu _{1},\mu _{2},\mu _{3},\mu _{4}$ $\mu _{1},\mu _{2},\mu _{3},\mu _{4}$ , $\mu _{1},\mu _{2},\mu _{3},\mu _{4}$ $\mu _{1},\mu _{2},\mu _{3},\mu _{4}$ ${\$ 를 비교하고 있다고 상상해 보자 $\mu _{1},\mu _{2},\mu _{3},\mu _{4}$ 다음 표에서는 가능한 세 가지 대비를 설명한다.

$\mu _{1}$	${\displaystyle \mu _{2}}:$	$\mu _{3}$	$\mu _{4}$
1	-1	0	0
0	0	1	-1
1	1	-1	-1

첫 번째 대조는 첫 번째 평균과 두 번째 대조는 세 번째 평균을 네 번째 평균과 비교하고 세 번째 대조는 처음 두 평균의 평균과 마지막 두 평균의 평균을 비교할 수 있게 한다.^[4]

균형 잡힌 일원 분산 분석에서 직교 대비를 사용하면 처리 제곱합을 각 대비로 인한 변동을 나타내는 겹치지 않는 가법 성분으로 완전히 분할할 수 있는 장점이 있다.^[6] 위의 숫자를 생각해 보십시오. 각 행의 합은 0(대조가 되어야 함). 첫 번째와 두 번째 행의 각 원소를 곱하고 그 원소를 더하면 다시 0이 되고, 따라서 첫 번째와 두 번째 대조는 직교 등으로 나타난다.

대비 세트

직교 대비는 어떤 구별되는 쌍의 경우 계수의 교차 산출물의 합이 0(표본 크기가 동일하다고 가정)^[7]인 대비의 집합이다. 잠재적으로 무한한 직교 대비가 있지만, 주어진 집합 내에서 항상 최대 k – 1의 직교 대비가 있을 수 있다(여기서 k는 사용 가능한 그룹 평균의 수입니다).^[8]
다항식 대비는 세 개 이상의 평균(예: 선형, 2차, 입방체, 사분위수 등)으로 데이터에서 다항식 패턴을 검정하는 특수 직교 대비 집합이다.^[9]
직교 대비는 직교 대비로, 각 대비에 대해 계수의 합 제곱이 1까지 더해지는 추가 조건을 만족한다.^[7]

배경

대비는 각 그룹 평균에 각 그룹에 대한 계수를 곱한 합계(즉, 서명된_j 숫자, c)로 정의된다.^[10] In equation form, $L=c_{1}{\bar {X}}_{1}+c_{2}{\bar {X}}_{2}+\cdots +c_{k}{\bar {X}}_{k}\equiv \sum _{j}c_{j}{\bar {X}}_{j}$ , where L is the weighted sum of group means, the c_j coefficients represent the assig평균의 네드 가중치(직교 대비의 경우 이 가중치를 0으로 합해야 함)와 ${\bar {X}}$ 의 ${\$ 는 그룹 평균을 나타낸다 ${\bar {X}}$ _j.^[8] 계수는 관심의 비교에 따라 양수 또는 음수, 분수 또는 정수일 수 있다. 선형 대비는 매우 유용하며 분산 분석 또는 다중 회귀 분석과 함께 사용할 때 복잡한 가설을 검정하는 데 사용할 수 있다. 본질적으로, 각 대비는 평균들 간의 차이의 특정한 패턴을 정의하고 시험한다.^[10]

대비는 "특정 연구 질문에 답하기 위해" 구성되어야 하며 반드시 직교할 필요는 없다.^[11]

단순(꼭 직교할 필요는 없음) 대비는 두 평균 간의 차이다. 더 복잡한 대비는 여러 평균 간의 차이를 검정하거나(예: -3, –1, +1, +3 계수 할당), 단일 평균과 여러 그룹의 조합 평균 간의 차이(예: 네 개의 평균이 –3, +1, +1 및 +1)를 검정하거나, 세버의 조합 평균 간의 차이를 검정할 수 있다.al 그룹 및 여러 다른 그룹의 조합 평균(즉, 4개의 평균으로 –1, –1, +1, +1의 계수 할당).^[8] 조합(또는 평균)할 평균에 대한 계수는 크기 및 방향, 즉 균등 가중치가 같아야 한다. 평균에 서로 다른 계수(크기 또는 방향 또는 둘 다)가 할당되는 경우 대조는 평균 간의 차이를 검정하는 것이다. 대조는 비교를 지정하기 위해 사용되는 계수 집합, 주어진 연구 또는 실험에 대해 얻은 선형 결합의 특정 값, 선형 결합 자체를 랜덤 변수로 간주할 때 치료 효과에 선형 결합을 적용하여 정의된 랜덤 수량 중 하나일 수 있다. 마지막 맥락에서 대조 변수라는 용어가 사용되기도 한다.

대비는 때때로 혼합 효과를 비교하기 위해 사용된다. 일반적인 예로는 학기 초에 한 점, 마지막에 한 점 등 두 시험 점수의 차이를 들 수 있다. 우리는 이 점수들 중 하나에 그 자체로 관심이 있는 것이 아니라 대조(이 경우 - 차이)에만 관심이 있다. 이것은 독립 변수의 선형 조합이므로, 그 분산은 총량 분산에 대한 가중 합계와 같다. 이 경우 두 가중치는 모두 1이다. 두 변수를 하나로 "블렌딩"하는 것은 분산 분석, 회귀 분석 또는 자체적인 기술 통계량과 같은 많은 경우에 유용할 수 있다.

복잡한 대조의 예로는 5가지 표준 치료법을 새로운 치료법과 비교하는 것이 될 수 있으며, 따라서 각 오래된 치료법을 주는 것은 무게의 1/5을 의미하며, 새로운 여섯 번째 치료법은 (위의 방정식을 사용하여) 무게의 -1을 의미한다. 만약 이 새로운 선형 결합이 평균 0을 갖는다면, 이것은 평균적으로 오래된 치료법이 새로운 치료법과 다르다는 증거가 없다는 것을 의미할 것이다. 새로운 선형 결합의 합계가 양이면, 5개의 표준 치료제의 결합 평균이 새로운 치료 평균보다 높다는 일부 증거가 있다(증거의 강도는 종종 그 선형 결합에 대해 계산된 p-값과 연관된다). 선형 결합이 음수일 때 얻는 유사한 결론.^[10] 그러나 선형 조합의 합은 유의성 검정이 아니다. 표본에서 계산된 대조가 유의한지 확인하는 방법은 검정 유의성(아래)을 참조하십시오.

독립 랜덤 변수의 선형 조합에 대한 일반적인 결과는 대비의 분산이 분산의 가중 합과 같다는 것을 의미한다.^[12] 두 개의 대비가 직교하는 경우, 그러한 대비책을 사용하여 생성된 추정치는 상관관계가 없을 것이다. 직교 대비를 사용할 수 있는 경우, 통계 분석 결과를 단순 분산 분석표 형태로 요약할 수 있으며, 각 분석 결과는 통계적으로 독립적인 서로 다른 대조도에 관련된 다른 시험 통계에 대한 결과를 포함시킬 수 있다. 선형 대비는 제곱합으로 쉽게 변환할 수 있다. SS_contrast = ${\tfrac {n(\sum c_{j}{\bar {X}}_{j})^{2}}{\sum c_{j}^{2}}}$ ( ${\tfrac {n(\sum c_{j}{\bar {X}}_{j})^{2}}{\sum c_{j}^{2}}}$ c ${\tfrac {n(\sum c_{j}{\bar {X}}_{j})^{2}}{\sum c_{j}^{2}}}$ ${\tfrac {n(\sum c_{j}{\bar {X}}_{j})^{2}}{\sum c_{j}^{2}}}$ ) ${\tfrac {n(\sum c_{j}{\bar {X}}_{j})^{2}}{\sum c_{j}^{2}}}$ ${\tfrac {n(\sum c_{j}{\bar {X}}_{j})^{2}}{\sum c_{j}^{2}}}$ c ${\tfrac {n(\sum c_{j}{\bar {X}}_{j})^{2}}{\sum c_{j}^{2}}}$ ${\tfrac {n(\sum c_{j}{\bar {X}}_{j})^{2}}{\sum c_{j}^{2}}}$ ${\$ }}:00 ${\sum c_{j}^{2$ 자유도 1도, 여기서 n은 그룹당 관측 횟수를 나타낸다. 대조가 직교인 경우 제곱합_contrasts = 제곱합_treatment 대비의 유의성을 시험하려면 제곱합을_contrast 계산해야 한다.^[8]

검정 유의성

SS는_contrast 또한 모든 대비가 1도 자유도를 가지기 때문에 평균 제곱이 된다. 나누면 MSc입니다 ntr는 st{\displaystyle MS_{대비}}에 의해 MSerror{\displaystyle MS_{오류}}을 생산하는F-statistic과 하나와 dferror{\displaystyle df_{오류}}도의 자유 삭감, 의의도 Fcontrast 수 있다에 의해 결정되와 비교하는 획득한 F통계의 치명적인.값 같은 자유도를 가진 ^[8]F의

참조

Casella, George; Berger, Roger L (2001). Statistical inference. Cengage Learning. ISBN 9780534243128.
George Casella (2008). Statistical design. Springer. ISBN 978-0-387-75965-4.
Everitt, B S; Skrondal, A (2010). Cambridge dictionary of statistics (4th ed.). Cambridge University Press. ISBN 9780521766999.
Dean, Angela M.; Voss, Daniel (1999). Design and analysis of experiments. Springer. ISBN 9780387985619.

외부 링크

메모들

^ Casella, George; Berger, Roger L (2001). Statistical inference. Cengage Learning. ISBN 9780534243128.
^ George Casella (2008). Statistical design. Springer. ISBN 978-0-387-75965-4.
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^ Kuehl, Robert O. (2000). Design of experiments: statistical principles of research design and analysis (2nd ed.). Pacific Grove, CA: Duxbury/Thomson Learning. ISBN 0534368344.
^ NIST/SEMATECH 전자통계편람

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[3] 카셀라 a Berger 2001, 페이지 526.

[Casella_2008,_p._11-4] 카셀라 2008, 페이지 11.

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[6] 카셀라 2008, 페이지 13.

[EV-7] 에버릿, B.S. (2002) 케임브리지 통계사전, CUP. ISBN 0-521-81099-X("직교 대비" 입력)

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[nist-12] NIST/SEMATECH 전자통계편람

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