대비전달함수

조영전달함수(CTF)는 전송전자현미경(TEM)의 일탈이 샘플의 이미지를 어떻게 수정하는지 수학적으로 설명한다.^[1][2][3][4]이 대비 전달 함수(CTF)는 위상 대비 TEM이라고도 알려진 고해상도 전송 전자 현미경(HRTEM)의 분해능을 설정한다.

기록된 영상을 CTF 디그레이드 참 객체로 간주함으로써 CTF를 설명하면 실제 객체를 역엔지니어링할 수 있다.이것은 전형적으로 CTF-교정으로 표시되며, 특히 전자 극저온 검사에서 3차원 전자 현미경 검사에서 고해상도 구조를 얻는 데 필수적이다.광 기반 광학에서 동등한 것은 광전달 기능이다.

HRTEM의 위상 대비

HRTEM의 대조는 산란 전자파의 위상과 전송 전자파의 위상 사이의 영상 평면의 간섭에서 비롯된다.전자파가 TEM에서 샘플을 통과하면 복잡한 상호작용이 일어난다.표본 위에서는 전자파를 평면파로서 근사하게 추정할 수 있다.전자파, 즉 파동 기능이 표본을 통과함에 따라 전자빔의 위상과 진폭 모두 변하게 된다.산란 및 전송된 전자 빔의 결과물은 객관적인 렌즈에 의해 초점이 맞춰지고 이미지 평면에서 검출기에 의해 이미징된다.

검출기는 위상이 아닌 진폭을 직접 측정할 수 있을 뿐이다.그러나 정확한 현미경 파라미터를 사용하면 영상 평면의 강도를 통해 위상 간섭을 간접적으로 측정할 수 있다.전자는 결정체 고체와 매우 강하게 상호작용한다.그 결과, 매우 작은 특징으로 인해 위상이 변화하고, 원자 규모로 내려가면 HRTEM을 통해 기록될 수 있다.

대비전달이론

대비 전달 이론은 출구 파동 기능을 최종 이미지로 변환하는 정량적 방법을 제공한다.분석의 일부는 전자 빔 파동 기능의 푸리에 변환에 기초한다.전자파 기능이 렌즈를 통과하면 파동 기능이 푸리에 변환을 거친다.이것은 푸리에 광학에서 나온 개념이다.

대비 전달 이론은 네 가지 주요 연산으로 구성된다.^[1]

1. 출구 파형의 푸리에 변환을 사용하여 목표 렌즈의 후방 초점 평면에서 파장 진폭을 구하십시오.
2. 위상 대비 전달 함수라고도 하는 위상 인자에 의해 상호 공간의 파동 기능을 수정하여 이상을 고려하십시오.
3. Reverse Fourier는 수정된 파형 기능을 변환하여 영상 평면에서 파형 기능을 얻는다.
4. 영상 평면에서 파형 기능의 제곱 계수를 찾아 영상 강도를 찾으십시오(이 신호는 디텍터에 기록되어 영상을 생성함).

수학적 형태

샘플에 대한 가정을 일부 포함하면 위상 대비와 위상 대비 전달 함수 모두에 대한 분석 식을 찾을 수 있다.앞서 논의한 바와 같이 전자파가 샘플을 통과할 때 전자빔은 산란을 통해 샘플과 상호작용을 하며 위상변동을 경험한다.이것은 전자파 기능이 샘플의 하단에서 빠져나오는 것으로 표현된다.이 표현식은 산란으로 인해 위상 편이 발생한다고 가정한다(진폭 이동은 발생하지 않음).이것을 Phase Object 근사라고 한다.

출구 파동 기능

Wade의 표기법에 따라 출구 파장 기능 표현식은 다음과 같이 표현된다.^[1]

${\displaystyle \tau(r,z)=\tau _{o}\exp[-i\pi \lambda \int dz'U(r,z')]}$

${\displaystyle \tau _{o}=\tau(r,0)}$

${\displaystyle U(r,z)=2mV(r,z)/h^{2}}$

여기서 출구 파형 함수 τ은 샘플의 평면에 $있는$$$ r ${\displaystyle r}$과($)$ z {\$displaystyle z}$의 함수다.${\displaystyle {\tau }_{}}$ ${\displaystyle o_{}}$ ${\$는 샘플 상단의 파동함수 인시던트를 나타낸다$$.${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$은(는) 가속전압에 의해 설정되는 전자빔의 파장이다$$.^[5]${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$은(는) 표본의 유효 잠재력으로, 결정 내의 원자 전위에 따라 달라지며, $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$로 표시된다$.$

출구 파동 기능 내에서 위상 편이 다음과 같이 표현된다.

${\displaystyle \pi(r)=\pi \lambda \int dz'U(r,z')}$

이 표현은 표본에 대한 몇 가지 더 많은 가정을 고려하여 더욱 단순화할 수 있다.만약 샘플이 매우 얇고 약한 산란자로 간주되어 위상 편이 << 1>이 된다면, 선형 테일러 다항식 확장에 의해 파동 함수를 근사하게 추정할 수 있다.^[6]이 근사치를 약상 객체 근사라고 한다.

출구 파동 기능은 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle \tau(r,z)=\tau _{o}[1+i\phi(r)]}$

위상 대비 전달 함수

목표 렌즈를 통과하면 푸리에 변환과 위상 편이 발생한다.이와 같이 목표 렌즈의 후방 초점면에 있는 파동 기능은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$(\displaystyle I(\theta )=\delta(\theta)+\Phi K(\theta )}$

${\displaystyle \theta }$ $[\displaystyle \theta }$ $$= 전송된 전자파와 산란 전자파 사이의 산란 각도

${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \delta}$ $$= 비파괴, 전송 전자파를 나타내는 델타 함수

${\displaystyle \mathrm{\phi }}$ ${\displaystyle \Phi }$ $$= 파동 기능의 푸리에 변환

${\displaystyle K}$ (${\displaystyle \theta }$) ${\displaystyle K(\theta )}$ $$= 현미경의 이상에 의해 발생하는 위상 변화(Contrast Transfer Function)라고도 한다.

${\displaystyle K(\theta )=\sin[(2\pi /\lambda )W(\theta )]}$
${\displaystyle W(\theta )=-z\theta ^{2}/2+C_{s}\theta ^{4}/4}$

${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda}$ $$= 전자파의 상대론적 파장, $C{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle s_{}}$ ${\$ = 목표 렌즈의 구형 일탈

대비 전달 함수는 공간 주파수 또는 상호 공간 측면에서도 제공될 수 있다.$\theta$ =$$= $k$ ${\textstyle \theta =\lambda k}$ 관계에서$$위상 대비 전송 함수는 다음과 같이 된다.

${\displaystyle K(k)=\sin[(2\pi )W(k)]}$
${\displaystyle W(k)=-z\lambda k^{2}/2+C_{s}\lambda ^{3}k^{4}/4}$

${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ $$= 객관적 렌즈의 편향(언더포커스는 양이고 오버포커스는 음이라는 관념을 사용), $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$ $$= 전자파의 상대적 파장, ${\displaystyle C_{}}$ s ${\$ = 객관적 렌즈의 구형 $이상{\displaystyle }$, ${\displaystystystystytype$ k$}$ $$= $th$.e 공간 주파수(m의⁻¹ 제곱)

구면 이상

구면 일탈은 렌즈가 입사 각도가 높은 곳에서 초점까지 들어오는 광선을 수렴하지 못하고 오히려 렌즈에 가까운 지점에 집중시킬 때 생기는 흐릿한 효과다.이는 이미지 평면의 유한 크기 디스크 위로 이미징된 점(가우스 이미지 평면에서 단일 점으로 이상적으로 이미징된 점)을 밖으로 펼쳐내는 효과를 가져올 것이다.광학 축에 정상적인 평면에서 일탈의 측정치를 제공하는 것을 횡단 일탈이라고 한다.이 평면의 일탈 디스크의 크기(반경)는 작은 각도의 근사치 아래 입사각(θ)의 큐브에 비례하는 것으로 보일 수 있으며, 이 경우 명시적인 형태는 다음과 같다.

${\displaystyle r_{s}=C_{s}\cdot \theta ^{3}\cdot M}$

여기서 $C{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle s_{}}$ ${\$는 $구형{\displaystyle }$ 이상이고 M ${\displaystyle M}$은 확대면이며$$, 두 가지 모두 렌즈 설정의 상수가 된다.그런 다음 이상적인 광선과 구면 일탈로 고통 받는 광선 사이의 굴절 각도의 차이는 다음과 같다는 것을 유념할 수 있다.

${\displaystyle \alpha _{s}=\arctan \left({\frac {b}{R}\right)-\arctan \left({\frac {b}{R+r_}}}}\right)}$

$여기$서 $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$은 렌즈에서 가우스 이미지 평면까지의 거리, R ${\displaystyle R}$은 광학 축에서 광선이 통과하는 렌즈의 지점까지의 반경 거리다.(근사치를 적용하지 않고) 이것을 더 단순화하면 다음과 같은 것을 알 수 있다.

${\displaystyle \alpha _{s}=\arctan \left({\frac {br_{s}}{R^{2}+Rr_{s}+b^{2)}}}\오른쪽)}$

이제 두 가지 근사를 적용하여 더 직설적으로 진행할 수 있다.${\displaystyle {그들}_{}}$은 $r{\displaystyle {}_{}}$ ${\$와 R ${\displaystyle R}$이(가) $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$보다 훨씬 작다는$$ 가정에 의존하는데$,$ 이는 우리가 비교적 작은 발생각과 결과적으로 매우 작은 구형 이상을 고려하고 있다는 것을 말하는 것과 같다.그러한 가정 하에서 분모에 있는 두 개의 선도적인 용어는 미미하며, 기여하지 않는 것으로 근사하게 추정할 수 있다.이러한 가정을 통해 분율 자체는 작은 것으로 간주될 수 있으며, 이는 소각 근사치를 통해 ${\displaystyle \mathrm{아크탄}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle }$) ${\displaystyle \arctan()}$ 함수를$$ 제거하는 결과를 초래한다고 암묵적으로 진술했다.

${\displaystyle \alpha _{s}\approx \arctan \left({\frac {br_{s}}{b^{2}}}\right)\approx {\frac {br_{s}}{b^{2}}}={\frac {r_{s}}{b}}={\frac {C_{s}\cdot \theta ^{3}\cdot M}{b}}}$

영상이 대략적으로 초점이 맞춰져 있다고 간주되고 발생 각도 $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta$}이$($가) 다시 작은 것으로 간주되는$$ 경우

${\displaystyle {\frac{R}{f}\약 \tan \left(\theta \right)\약 \theta ~~{\text{and}~M\약 {\frac {b}}}}}}}$

이상 광선과 구형 이상 광선 사이의 굴절 각도의 차이에 대한 대략적인 표현은 다음과 같다.

${\displaystyle \alpha _{s}\약간 {\frac {C_{s}\cdot R^{3}}{f^{4}}}}}}}}}}}}}$

데포쿠스

구면 일탈과는 반대로, 우리는 광축을 따라 광학 축을 따라 중심점에서 얼마나 이탈하는 가의 측도인 세로 일탈을 명시함으로써 이상으로부터 탈중심화된 광선의 편차를 추정함으로써 진행할 것이다.이 거리 ${\displaystyle \Delta }$ $b{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$\Delta b$}$을$($를) 나타냄으로써 집중력 있는 물체에서 발생하는 광선 사이의 굴절각 ${\displaystyle {\alpha f}_{}}$ ${\$의 차이가 다음과 같이 굴절된 각도와 관련될 수 있음을 보여줄 수 있다.

${\displaystyle {\sqrt {R^{2}+b^{2}}}}\cdot \sin(\alpha _{f}=\Delta b\cdot \sin(\theta '-\alpha _{f})}$

여기서 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$ 및 $b$ ${\displaystyle b}$은 구형 이상과 동일한 방식으로 정의된다$$. \ ${\$}<\$displaystyle b\cdsin(\alpha _{f})>($또는 동등하게 $⁡$ ()이라고 가정하면, 우리는 그것을 보여줄 수 있다.

${\displaystyle \sin(\alpha _{f})\cHB {\delta b\sin(\theta ')}{\sqrt {R^{2}+b^{2}}}}}}{\frac {\Delta b\cdot R}{R^{2}+b^{2}}}}}$

${\displaystyle {\alpha f}_{}}$ ${\$가 작아야$$ 하고, $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta }$이(가$$$)$ 작아야 R$<<<$ {\$displaystyle R>$을 의미하므로$,$ ${\displaystyle {\alpha f}_{}}$ {\$displaystystylepha \fa _{$f}의 근사치가 주어진다$$

${\displaystyle \alpha _{f}\약간 {\fraca {\Delta b\cdot R}{b^{2}}:$

얇은 렌즈 공식에서 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle b}$/ ${\displaystyle b{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}\mathrm{\Delta }}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle f{}^{}}$/ f ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$약$\Delta f/f^{2$}}:$$Δ b / Δ f / f / Δ f / f / f / \}}}}}}을(를)로 나타낼 수 있다$.$

${\displaystyle \alpha _{f}\약간 {\fraca {\Delta f\cdot R}{f^{2}}:$

예

대비 전송 기능은 영상 평면의 실제 공간 파동 기능에 전송되는 위상 신호의 양을 결정한다.실제 공간파 함수의 제곱이 영상 신호를 주기 때문에 대비 전달 함수는 궁극적으로 얼마나 많은 정보를 영상으로 변환할 수 있는가를 제한한다.대비 전송 기능의 형태는 TEM에서 실제 공간 이미지 형성의 품질을 결정한다.

이것은 콘트라스트 전송 함수의 예다.다음과 같은 여러 가지 사항을 유의해야 한다.

• 함수가 공간 주파수 영역 또는 k-space에 있음
• 기능이 0과 같을 때마다 전송률이 없거나 위상 신호가 실제 공간 영상에 통합되지 않음을 의미한다.
• 함수가 X축을 처음 교차할 때 점 분해능이라고 한다.
• 위상 신호를 최대화하려면 일반적으로 점 해상도를 더 높은 공간 주파수로 밀어내는 영상 조건을 사용하는 것이 좋다.
• 함수가 음수일 때, 이는 양의 위상 대비를 나타내며, 밝은 배경으로 이어지고, 어두운 원자 특징이 있다.
• CTF가 x축과 교차할 때마다 대조적으로 반전된다.
• 따라서 현미경의 점 해상도를 지나 위상 정보는 직접 해석할 수 없으며 컴퓨터 시뮬레이션을 통해 모델링되어야 한다.

셰르저 데포쿠스

디포커스 값($$ ${\textstyle z$은 더 큰 위상 대비를 위해 구형 편차를 상쇄하는 데 사용할 수 있다.이 분석은 셰르저에 의해 개발되었으며, 셰르저 디포쿠스라고 불린다.^[7]

${\displaystyle z_{s}=(C_{s}\lambda )^{1/2}}$

변수는 수학적 처리 부분에서와 같으며, z ${\displaystyle s_{}}$ ${\$는 특정 Scherzer defocus, ${\displaystyle C_{}}$ s ${\$는 구형 편차로, λ은$$ 전자파에 대한 상대론적 파장으로 설정한다.

다음 절의 그림은 셔저 디포커스의 CM300 현미경에 대한 CTF 기능을 보여준다.위에서 보여진 CTF 기능에 비해 투과율이 높은 공간 주파수의 큰 창, 일명 패스밴드(pass band)이를 통해 더 많은 위상 신호가 영상 평면으로 전달될 수 있다.

봉투함수

봉투 함수는 대조 전달 함수를 축축하게 하는 추가 이상, 그리고 다시 위상의 영향을 나타낸다.봉투 함수를 구성하는 봉투 용어는 높은 공간 주파수를 억제하는 경향이 있다.봉투 함수의 정확한 형태는 소스마다 다를 수 있다.일반적으로, 그것들은 시간적 이상을 나타내는 봉투 용어 E와 공간적 이상을 나타내는 봉투 용어 E에 대조 전달 함수를 곱하여 적용된다.이렇게 하면 다음과 같은 수정 또는 유효 대조도 전달 함수가 생성된다.

${\displaystyle K_{eff}(k)=E_{t}E_{s}(\sin[(2\pi /\lambda )W(k)]}$

시간 이상 예로는 색도 이상, 에너지 확산, 초점 확산, 고전압 선원의 불안정성 및 목표 렌즈 전류의 불안정성을 들 수 있다.공간 이탈의 예로는 유한 입사 빔 수렴이 포함된다.^[8]

그림에서 볼 수 있듯이, 대비 전달 함수를 감쇠할 때 가장 제한적인 봉투 용어가 지배할 것이다.이 특별한 예에서 시간적 봉투 용어는 가장 제한적이다.봉투 용어는 더 높은 공간 주파수에서 더 강하게 축축하기 때문에 위상 신호가 더 이상 통과할 수 없는 지점이 있다.이것을 현미경의 정보 한계라고 하며, 해상도의 척도 중 하나이다.

봉투 함수를 모델링하면 TEM 기기 설계와 영상 파라미터 모두에 대한 통찰력을 제공할 수 있다.엔벨로프 항을 통한 상이한 이상을 모델링함으로써 어떤 상이 위상 신호를 가장 제한하고 있는지 알 수 있다.

특정 현미경 및 특정 영상 파라미터에 대한 Contrast Transfer Function과 Envelope Function 모두를 모델링하기 위해 다양한 소프트웨어가 개발되었다.^[9][10]

선형 이미징 이론 대 비선형 이미징 이론

대조 전달 함수에 대한 이전의 설명은 선형 이미징 이론에 따라 달라진다.선형 영상 이론은 전송된 빔이 우세하다고 가정하고, 샘플에 의한 위상 이동만 약하다.많은 경우, 이 전제조건이 충족되지 않는다.이러한 효과를 설명하기 위해서는 비선형 영상 이론이 필요하다.강한 산란 샘플로, 확산된 전자는 전송된 빔을 방해할 뿐만 아니라 서로 간섭할 것이다.이것은 두 번째 순서 회절 강도를 산출할 것이다.이러한 추가적인 간섭 효과를 모델링하려면 비선형 영상 이론이 필요하다.^[11][12]

널리 퍼진 가정과는 달리, 선형/비선형 영상 이론은 각각 동역학적 회절이나 동적 회절과는 아무런 관계가 없다.

그러나, 선형 영상 이론은 계산상의 이점을 가지고 있기 때문에 여전히 사용된다.선형 영상 이론에서 영상 평면 파동 기능에 대한 푸리에 계수는 분리할 수 있다.이것은 계산 복잡성을 크게 줄여 HRTEM 영상의 컴퓨터 시뮬레이션을 더 빨리 할 수 있게 해준다.^[13]

참고 항목

• 공기 디스크, 빛에서 서로 다르지만 유사한 현상
• 광전달함수
• 점 스프레드 함수
• 전송전자현미경

참조

외부 링크

• 조영전달함수(CTF) 보정
• 헤닝 스탈버그의 CTF에 대한 대화
• CTF 판독 목록
• 인터랙티브 CTF 모델링