원뿔 나선형

수학에서 원뿔나선이라고도 하는 원뿔나선은 오른쪽 원형 원뿔에 있는 공간 곡선으로, 평면나선형이다.^[1]평면도가 로그 나선형이라면 콘코스바이러스(콘치로부터)라고 한다.

파라메트릭 표현

$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$- ${\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$ - 모수 표현으로 완화곡선 평면$$

${\displaystyle x=r(\varphi )\cos \varphi \,\qquad y=r(\varphi )\sin \varphi }$

a third coordinate ${\displaystyle z(\varphi )}$ can be added such that the space curve lies on the cone with equation ${\displaystyle \;m^{2}(x^{2}+y^{2})=(z-z_{0})^{2}\ ,\ m>0\;}$ :

• ${\displaystyle x=r(\varphi )\cos \varphi \,\qquad y=r(\varphi )\sin \varphi \,\qquad \color {z=z_{0}+mr(\varphi )\}\}$

그러한 곡선을 원뿔 나선형이라고 한다.^[2]그들은 파포스에게 알려졌다.

매개 변수 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$은 x ${\displaystyle x}$- ${\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$ - 평면에 대한$$ 원뿔 선의 기울기다.

원뿔형 나선은 대신 원뿔에 대한 평면 나선형의 직교 투영으로 볼 수 있다.

예

1) 대칭 나선형 ${\displaystyle r}$ (${\displaystyle \phi }$ )로${\displaystyle \mathrm{시작}}$하는 {$${\$displaystyle$\;$r(\varphi$)=$a\varphi \;}$는 원뿔형 나선형을 제공한다(도표 참조).

${\displaystyle x=a\varphi \cos \varphi \,\qquad y=a\varphi \sin \varphi \,\qquad z=z_+ma\varphi \,\dism \varphi \varphi \geq 0\}$

이 경우 원뿔 나선은 헬리코이드를 가진 원뿔의 교차 곡선으로 볼 수 있다.

2) 두 번째 도표는 평면도로$$ 페르마의 ${\displaystyle 나선형}$ r (${\displaystyle \phi }$)${\displaystyle }$= ±${\displaystyle \phi \sqrt{}}$ $displaystyle \;r(\varphi )=\pm a{\sqrt {\barphi }\}$을(를) 갖는 원뿔형 나선형을 나타낸다.

3) 세 번째 예에는 로그 ${\displaystyle 완화곡선}$ r${\displaystyle (}$ ${\displaystyle )}$) = ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$ ${\displaystyle {\phi }^{}}$ $displaystyle$\;$r(\varphi$)=$ae^{k\varphi }\;}$이(${\displaystyle 가}$) 도면으로 되어$$ 있다.그것의 특징은 일정한 기울기(아래 참조)이다.

$약어$ $K{\displaystyle }$$$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$ ${\$$displaystyle K=$$e^{$$k}}$를 소개하면 $다음$과 같은 설명이 ${\displaystyle {나온다}^{}}$.

4) 사례 4는 쌍곡선 ${\displaystyle 나선형}$ r (${\displaystyle \phi }$)${\displaystyle }$= a /${\displaystyle \phi }$ ${\$\;$r(\varphi$)=$a/\varphi$ $\backslash ;\}.$ 그러한 나선형에는 점근선(검은 선)이 있는데, 이는 쌍곡선(purple)의 평면이다.$원뿔형{\displaystyle }$ 나선은${\displaystyle }$bola → ${\displaystyle 0}${\$displaystyle \varphi \to$ 0$}$을(를) 위한 하이퍼볼라에 접근한다$.$

특성.

다음 조사에서는 $r{\displaystyle }$ =${\displaystyle {\phi n}^{}}$ ${\$$\varphi ^{n}},$${\displaystyle }r{\displaystyle }$ = ${\displaystyle e^{}}$ k ${\displaystyle {\phi }^{}}${\$displaystyle$r=$ae^{k\barphi }}}$ 등의 원뿔형 나선형을 각각 다룬다$.$

경사

원뿔형 나선형 점의 기울기는 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$- y ${\displaystyle y}$ - $$에 대한 이 점 접선의 기울기다.해당 각도는 기울기 각도(도표 참조):

${\displaystyle \tan \cHB ={\frac {z'}{\sqrt {(x')^{2}+(y')^{2}}}={\frac {mr'}{\sqrt {(r')^{2}+r^{2}}}}}\ .}$

$r{\displaystyle }$= ${\displaystyle {\phi n}^{}}$ ${\$을(를) 가진 완화곡선은 다음을 제공한다$$.

• ${\displaystyle \tan \cHB ={\frac {mn}{\sqrt{n^{2}+\varphi ^{2}}\ .}$

대칭 완화곡선은${\displaystyle \mathrm{n}}$ = 1 ${\displaystyle n=1}$이고 따라서 경사는 ${\displaystyle \mathrm{황갈색}\beta }$= ${\displaystyle m\frac{}{\sqrt{1\mathrm{}}}}$ + ${\displaystyle \frac{\sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}{}\frac{\sqrt{{}^{}}}{}}$2 .$${\$displaystyle \tan$ \tan $\beta ={\tfrac$ {$m}{1+\varphi ^{2}}\}\}}}}}}$

• $r{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$ ${\$의 로그 완화곡선의 경우$$ ${\displaystyle \mathrm{경사}}$는${\displaystyle \frac{\sqrt{\mathrm{}}}{}\beta }$ =${\displaystyle \frac{\sqrt{}}{}m\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{\sqrt{{1\mathrm{}}^{}}}{}}$ +${\displaystyle \frac{\sqrt{{}^{}}}{}}$k 2 {\$displaysty$ \$tan$\tan \tan$\tfrac$ {mk$}{1+k$^{1+k^{$2이다$$.$$}}}}\ }($${\displaystyle \text{상수!}}$${\displaystyle \color {red}{\text{ 상수!$$}}}$ ).

이 특성 때문에 콘코스피랄은 등각형 원뿔 나선형이라고 불린다.

아르클릴레온

원뿔 나선형의 호 길이는 다음과 같이 결정할 수 있다.

${\displaystyle L=\int _{\varphi _{1}^{1}^{{1}{{\sqrt{(x')^{2}+(y')^{2}+(z')^{2}}\,\mathrm {d} \varphi =\int _{\varphi _{1}^{1}{1}:{2}}: {\sqrt{(1+m^{2})(r')^{2}+r^{2}}}}\,\mathrm {d} \varphi \ .}$

대칭 나선형의 경우 적분은 평면 사례와 유사하게 통합 표의 도움을 받아 해결할 수 있다.

${\displaystyle L={\frac {a}{2}}{\big [}\varphi {\sqrt {(1+m^{2})+\varphi ^{2}}}+(1+m^{2})\ln {\big (}\varphi +{\sqrt {(1+m^{2})+\varphi ^{2}}}{\big )}{\big ]}_{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}\ .}$

로그 나선형의 경우 적분은 쉽게 해결할 수 있다.

${\displaystyle L={\frac {\sqrt {(1+m^{2})k^{2}+1}{k}}{k}}}{{k}}}}(r{\varphi _{2})-r(\varphi _{1}}\}\}\}}}}$

다른 경우 타원형 적분이 발생한다.

개발

원추 spiral[3]의 발전을 위해까지의 거리의 곡선 점 그 화산추의 정점(0,0, z0){\displaystyle(0,0,z_{0})}각도φ{\displaystyle \varphi}고 해당 각도 ψ{\d 간의 관계{\displaystyle(x,y,z)}에(x, y, z)의(φ){\displaystyle \rho(\varphi)}ρ.isp$개발$의 레이스타일 $\cHB }$을(를) 결정해야 한다.

${\displaystyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-z_{0})^{2}}={\sqrt{1+m^{2}}}}\;r\,}$

${\displaystyle \varphi ={\sqrt {1+m^{2}}}\cHB \}$

따라서 개발된 원뿔 나선형의 극지방 표현은 다음과 같다.

• ${\displaystyle \rho(\displaystyle \rho)(\reshold )={\sqrt {1+m}}}\;r({\sqrt{1+m^{2}}}\{{{}}$

$r{\displaystyle }$= ${\displaystyle {\phi n}^{}}$ ${\$의 경우 개발된 곡선의 극지방$$ 표현은 다음과 같다.

${\displaystyle \rho =a{\sqrt {1+m^{2}}}^{\,n+1}\cHB ^{n}}$

같은 유형의 나선형을 묘사하고 있지

• 원뿔형 나선형의 평면도가 그 발달보다 경도형 나선형이라면 경도형 나선형이다.

쌍곡선 완화곡선(${\displaystyle }$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$ n$=-1$의 경우, 개발은 평면 완화곡선과 일치한다.

로그 완화곡선 $r{\displaystyle }$= ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle k^{}}$ ${\displaystyle {\phi }^{}}$ ${\$의 경우$$, 개발은 로그 완화곡선이다.

${\displaystyle \rho =a{\sqrt {1+m^{2}}}\;e^{k{\sqrt{1+m^{2}}}}\\cHB }\ .}$

탄젠트 트레이스

$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$- y ${\displaystyle y}$ - ${\displaystyle }$(콘의 꼭지점을 통과하는 평면)이 있는 원뿔형 나선형의 접선의 교차점 모음을 접선 트레이스라고 한다.

원뿔 완화곡선용

${\displaystyle(r\cos \varphi ,r\sin \varphi ,mr)}$

접선 벡터는

${\displaystyle(r'\cos \varphi -r\sin \varphi ,r'\sin \varphi +r\cos \varphi ,mr')^{{T}$

접선:

${\displaystyle x(t)=r\cos \varphi +t(r'\cos \varphi -r\sin \varphi )\,}$

${\displaystyle y(t)=r\sin \varphi +t(r'\sin \varphi +r\cos \varphi )\,}$

${\displaystyle z(t)=mr+tmr'\ .}$

$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$- ${\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$ - 평면의$$ 교차점에는 $t{\displaystyle }$=${\displaystyle }$- r${\displaystyle }$/ ${\displaystyle r{}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ 매개 변수가 있으며$$ 교차점은

• ${\displaystyle \left({\frac {r^{2}}:}\sin \varphi ,-{\frac {r^{2}}:}\cos \varphi ,0\right)\ .}$

${\displaystyle r}$$$${\displaystyle }$= ${\displaystyle {\phi n}^{}}$ ${\$n}}}는$$ ${\displaystyle \frac{{r\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{\prime }^{}}{}n{}^{}\frac{}{}}$+ ${\displaystyle \frac{1}{}}$ $displaystyle$\{\$tfrac{r^{2}}}}={\tfrac {a}{n}\varphi ^{n+1}\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$사례 $n{\displaystyle }$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$ n$=-1}($하이퍼볼릭 나선형)의 경우 접선 트레이스는 반지름이 ${\displaystyle a}$인 원으로 변한다($$도표 참조).For ${\displaystyle r=ae^{k\varphi }}$ one has ${\displaystyle \ {\tfrac {r^{2}}{r'}}={\tfrac {r}{k}}\ }$ and the tangent trace is a logarithmic spiral, which is congruent to the floor plan, because of the self-similarity of a logarithmic spiral.

참조

외부 링크

• Jamnitzer-Galerie: 3D-Spiralen..
• Weisstein, Eric W. "Conical Spiral". MathWorld.