조합수 체계

수학에서, 특히 콤비네이터학에서, 콤비네이터학이라고도 하는 도 k(일부 양의 정수 k)의 조합수 체계 또는 정수의 맥컬레이 표현은 자연수(0을 포함하도록 지시됨) N과 k-결합 사이의 일치로서, 엄격히 감소하는 시퀀스 > ...로_k 표현된다.> c₂ > c₁ > c 0 0. 후자는 숫자의 문자열이기 때문에, 주효용성은 반대쪽이 아니라 N에 의한 k-combination을 나타내고 있지만, N을 나타내기 위한 일종의 숫자 체계로 볼 수 있다.구별되는 숫자는 구별되는 k-결합에 대응하며, 이를 사전순으로 생산한다. 더욱이 ${\tbinom {n}{k}}$ ${\tbinom {n}{k}}$ ) ${\$ 보다 작은 숫자는 {0, 1, ..., n - 1}의 모든 k-결합에 해당한다 ${\tbinom {n}{k}}$ .대응은 k-결합에서 가져온 집합의 n 크기에 따라 달라지지 않으므로, N에서 N에서 가져온 k-결합까지의 지도로 해석할 수 있다. 이 관점에서 대응은 편향이다.

(c_k, ..., c₂, c₁)에 해당하는 N은 다음에 의해 주어진다.

N={\binom{c_{k}}{k}}}+{{\binom{c_{2}}+{\binom{c_}{1}{1}.

어떤 숫자 N과 매우 일치하는 고유 시퀀스라는 사실은 D. H. Lehmer에 의해 관찰되었다.^[1]말로 탐욕 알고리즘:(ckm그리고 4.9초 만 km그리고 4.9초 만)≤ N{\displaystyle{\tbinom{c_{k}}{k}과}}, 그때(ck− 1k− 1)≤ N−(ckm그리고 4.9초 만 km그리고 4.9초 만){\displaystyle{\tbinom{c_{k-1}}{k-1}과ck−1 최대 걸리}\leq N-{\tbinom{c_{k}}{k}}}ck 최대 \leq N을 타고 k-combination N에 해당하는 것을 발견한다. 그렇게넷째. 위의 공식을 이용하여 k-combination_k(c₂, ..., c, c₁)으로부터 숫자 N을 찾는 것을 "순위"라고도 하고, 반대 연산(욕심 알고리즘에 의해 주어짐)을 "순위"라고 하며, 이러한 연산들은 대부분의 컴퓨터 대수학 시스템 및 계산 수학에서 그러한 이름으로 알려져 있다.^[2]^[3]

원래 사용된 용어인 "정수의 조합적 표현"은 크누스에 의해 "조합적 숫자 체계"로 단축된다.^[4] 크누스는 또한 훨씬 더 오래된 참조를 제공한다.^[5] "조합적 숫자 체계"라는 용어는 (이전의 용어나 작업에 대한 언급 없이) 제임스 맥카프리에^[6] 의해 도입되었다.

요인 번호 체계와 달리 도 k의 조합 번호 체계는 혼합 라딕스 시스템이 아니다: "자리" c로_i 대표되는 숫자 N의 부분 ${\tbinom {c_{i}}{i}}$ $){\$ 은 단순히 장소 값으로 곱하여 얻을 수 없다.

조합 번호 시스템의 주요 적용은 사전 편찬 순서에서 주어진 위치에 있는 k-결합에 대한 신속한 연산을 허용하며, 이에 앞서 k-결합이 명시적으로 나열되지 않아도 된다. 이는 예를 들어 특정 집합의 k-결합이 무작위로 생성되는 것을 허용한다.k-combination의 열거에는 소프트웨어 테스트, 샘플링, 품질 관리, 복권 게임 분석 등 응용분야가 많다.

오더 조합

세트 S의 k-결합은 k (distinct) 원소가 있는 S의 부분집합이다.조합 번호 시스템의 주요 목적은 n 원소 집합 S의 가능한 ${\tbinom {n}{k}}$ 모든 ${\tbinom {n}{k}}$ ( ${\tbinom {n}{k}}$ k ) ${\tbinom {n}{k}}$ {\ $displaystyle$ {\ $tbinom {n}{k}}}$ 에 대해 각각 하나의 숫자로 표현하기 위한 것이다.이러한 집합으로 n, {0, 1, ..., n - 1을 선택하는 것은 주어진 k-결합 C의 표현이 n의 값과 무관하게 배열될 수 있다(물론 n은 충분히 커야 하지만), 즉 n을 증가시켜 C를 더 큰 집합의 하위 집합으로 간주하는 것은 C를 나타내는 숫자를 변경하지 않는다.따라서 조합 번호 시스템의 경우 n을 명시적으로 언급하지 않고 C를 모든 자연 번호의 집합 N의 조합으로 간주한다.

{0, 1, ..., n - 1}의 k-combination을 나타내는 숫자가 {0, 1, ..., n - 1}에 포함되지 않은 k-combination을 나타내는 숫자보다 작도록 하려면 가장 큰 요소를 먼저 비교하는 방식으로 k-combination을 정렬해야 한다.이러한 특성을 가진 가장 자연스러운 순서는 원소의 감소 순서에 대한 사전 편찬 순서다.So comparing the 5-combinations C = {0,3,4,6,9} and C′ = {0,1,3,7,9}, one has that C comes before C′, since they have the same largest part 9, but the next largest part 6 of C is less than the next largest part 7 of C′; the sequences compared lexicographically are (9,6,4,3,0) and (9,7,3,1,0).이 순서를 설명하는 또 다른 방법은 숫자의 이진 표현에서 k 상승 비트를 설명하는 보기 조합으로, C = {c₁, ..., c_k}이(가) 숫자를 설명하는 것이다.

2^{c_{1}+2^{c_{2}}+\cdots +2^{c_{k}}

(이것은 모든 유한한 자연수 집합에 별개의 숫자를 연관시킨다.) 그런 다음 k-mult의 비교는 관련된 이진수를 비교함으로써 이루어질 수 있다.예제에서 C와 C는 숫자 1001011001₂ = 601과₁₀ 1010001011₂ = 651에₁₀ 해당하며, 다시 C가 C보다 먼저라는 것을 보여준다.많은 이진수가 k와 다른 상승 비트의 수를 가지므로, 이 숫자는 k-조합을 나타내려고 하는 것이 아니라, 순서가 지정된 (전용) k-결합 목록에서 C의 상대적 위치를 찾으려고 하기 때문이다.

주문에서 조합된 장소

k-결합 C에 대한 k의 조합 번호 시스템에 관련된 숫자는 주어진 순서에서 C보다 엄격히 적은 k-결합 수입니다.이 숫자는 C_k > ...와_k 함께 C = {c₂, ..., c, c₁}에서 계산할 수 있다.> c > c는₂ 다음과₁ 같다.순서의 정의에서 그것은 각 k-결합 S에 대해 C가_i S에 없는 반면 c_k, ..., c는_i+1 S에 존재하고 c보다_i 큰 다른 값은 C에 존재하지 않는 고유한 지수 i가 있다는 것을 따른다.따라서 이러한 k-결합 S를 가능한 값 1, 2, ..., k of i에 따라 그룹화하고 각 그룹을 개별적으로 계수할 수 있다.주어진 값인 i의 경우_k c_i+1, ..., c in S를 포함해야 하며, S의 나머지 i 요소는 c보다_i 엄격히_i 작은 c 비 음의 정수에서 선택해야 한다. 더욱이 그러한 선택은 k-결합 S를 C보다 엄격히 적게 만든다.가능한 선택 횟수는 ${\tbinom {c_{i}}{i}}$ ( ${\tbinom {c_{i}}{i}}$ ${\tbinom {c_{i}}{i}}$ ) ${\$ 이며 ${\tbinom {c_{i}}{i}}$ 따라서 그룹 i의 조합 수입니다. 총 k-결합 횟수는 C보다 절대적으로 작다.

{\binom {c_{1}:{1}:{1}+{c_{2}}+\cdots +{\binom {c_{k}},

그리고 이것은 순서가 지정된 k-combination 리스트에 있는 C의 지수(0부터 시작)이다.분명히 모든 N ∈ N에 대해 리스트의 지수 N에 정확히 하나의 k-combination이 존재하므로(k ≥ 1을 제공함), 위의 주장은 모든 N이 주어진 형태의 k 이항계수의 합으로 정확히 한 가지 방법으로 작성될 수 있음을 증명한다.

지정된 숫자에 대한 k-결합 찾기

주어진 공식은 주어진 k-combination의 사전순으로 장소를 즉시 찾을 수 있다.주어진 장소 N에서 k-combination을 찾는 역방향 과정은 다소 더 많은 작업이 필요하지만 그럼에도 불구하고 간단하다.사전 편찬 순서의 정의에 따라, 가장 큰 요소_k c가 다른 두 개의 k-콤비네이션은 가장 큰 요소들의 비교에 따라 정렬될 것이며, 가장 큰 요소의 고정값을 가진 모든 조합은 리스트에서 연속된다.더욱이 c를_k 가장 큰 요소로 하는 가장 작은 조합은 ${\tbinom {c_{k}}{k}}$ $){\$ 이며 ${\tbinom {c_{k}}{k}}$ 모든 i <k에 대해_i c = i - 1을 가진다 ${\tbinom {c_{k}}{k}}$ 이 조합의 경우 ( ${\tbinom {c_{k}}{k}}$ k $){\displaystyle{c_{k}}}}{k}}}}}}}}}}$ 을 제외한 식의 모든 항은 0이다 ${\tbinom {c_{k}}{k}}$ .따라서 ck는 가장 큰 숫자가(ckm그리고 4.9초 만 km그리고 4.9초 만)≤ N{\displaystyle{\tbinom{c_{k}}{k}}\leq N}. 만약 k;k-combination 형태의 1나머지 요소는 k입니다. − 1-combination은 수에 해당하는 N−(ckm그리고 4.9초 만 km그리고 4.9초 만){\displaystyle N-{\tbinom{c_{k}}{k}}}의 조합 수 체계. 의도 k - 1이며, 따라서 N과 k 대신 N $N-{\tbinom {c_{k}}{k}}$ - ( $N-{\tbinom {c_{k}}{k}}$ $){\$ 및 $N-{\tbinom {c_{k}}{k}}$ k - 1에 대해 동일한 방법으로 계속하면 찾을 수 있다.

예

위치 72에서 5-조합을 결정하려고 한다고 가정합시다.n = 4, 5, 6, ...에 ${\tbinom {n}{5}}$ 대한 ${\tbinom {n}{5}}$ ( ${\tbinom {n}{5}}$ 5 ${\tbinom {n}{5}}$ ) ${\$ }{5 $}$ 의 연속적인 값은 0, 1, 6, 21, 56, 126, 252이고, 그중 72를 초과하지 않는 가장 큰 값은 56이며, n = 8이다.따라서 c₅ = 8이고 나머지 원소는 위치 72 - 56 = 16에서 4 결합을 형성한다.(n4){\displaystyle{\tbinom{n}{4}의 n=3,4,5의 연속 값}}...것은 0,1,5,15,35,..., 그것들의 가장 큰 하나의 16을 초과하지 않15, n을)6, 그렇게=6c4. 계속되는 비슷한 만한 주제를 찾아보기 위한 3-combination에 위치 16− 15=1한개를 찾았다 3=3을 사용하는으로 최후. 이것을 설정한다 72. $72={\tbinom {8}{5}}+{\tbinom {6}{4}}+{\tbinom {3}{3}}$ , and the remaining values c_i will be the maximal ones with ${\tbinom {c_{i}}{i}}=0$ , namely c_i = i − 1.따라서 우리는 5개 결합 {8, 6, 3, 1, 0}을(를) 찾았다.

Excel의 국가별 복권 예

${\binom {49}{6}}$ ${\binom {49}{6}}$ ) ${\$ {49₅ $}{$ 6₆ $}}$ 복권 ${\binom {49}{6}}$ 조합 c₁ < c₄ < c₂₃ >, 0과 ${\binom {49}{6}}-1$ ( ${\binom {49}{6}}-1$ 6 ${\binom {49}{6}}-1$ ) 사이 목록 번호 N이 있음 ${\binom {49}{6}}-1$ ${\binom {49}{6}}-1$ ${\displaystyle {\binom}{6}-1$ }{6 $}-$ 1}을 추가하면 찾을 ${\binom {49}{6}}-1$ 수 있다.

{{\binom{49-c_{1}:{6}+{6}{6}}{5}+{4}}{4}}}}{\binom {49-c_{4}}}}{3}}}+{5}}}}}}{4-c_{5}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{\binom {\binom {49-{4-{{1}{{{{{{{{{{{{{{{1}}}}}}

가능한 결과 목록에서 영국 전국 복권 결과 3,6,15,17,18,35의 위치를 찾기를 원한다고 가정합시다.Excel 함수 COMBIN(49,6)은 결과 수가 13983816이라는 것을 보여준다.이제 숫자 3,6,15,17,18,35를 각각 셀과 공식에 넣고 COMBIN(49-3,6),COMBIN(49-6,5),COMBIN(49-15,4),COMBIN(49-17,3),COMBIN(49-18,2), 49-35를 각각 밑에 넣으세요.실제 값 대신 셀 참조를 사용하여 판독성을 제공한다.당신은 9366819,962598,46376,4960,465,14의 번호를 얻게 될 것이다.이것들을 추가하면 10381232의 특정 위치가 보일 것이다.14를 얻기 위해 COMBIN(49-35,1) 공식을 사용할 필요는 없다는 점에 유의하십시오.49-35만 빼면 가질 수 있다.또한 COMBIN 함수는 49-X가 6 미만이 되는 경우 0을 반환하지 않는다.#NUM!을 0으로 변환하려면 ISNUMBER 기능이 있는 IF를 사용해야 한다.

이제 역공학은 좀 더 까다롭다.하나의 셀에서 49개의 IF 문을 사용하거나 해결기를 사용하여 COMB에 대한 최대 인수를 찾을 수 있다.결과적으로 위치 번호보다 작거나 같아야 한다.대신 6 x 49의 표를 사용하고 결과 행 번호가 인수와 볼 번호가 되는 MATION 함수를 사용합시다.6 ~ 1(B1:G1)의 열 머리글을 내림차순으로 만들고 1 ~ 49의 행 레이블을 만들 경우(A2:A50)을 오름차순으로(Excel에서 수직 상승은 위에서 아래로 증가하는 숫자를 의미한다.그런 다음 왼쪽 상단 모서리에서 COMBIN($A2,B$1) 공식을 표에 채우십시오.달러 표시는 항상 색인 값이 머리글 행과 레이블 열에서 추출되도록 할 것이다.#NUM!을 0으로 교체하십시오.이런 걸 얻어야지

	6	5	4	3	2	1
1	0	0	0	0	0	1
2	0	0	0	0	1	2
3	0	0	0	1	3	3
4	0	0	1	4	6	4
5	0	1	5	10	10	5
6	1	6	15	20	15	6
7	7	21	35	35	21	7
8	28	56	70	56	28	8
9	84	126	126	84	36	9
10	210	252	210	120	45	10
11	462	462	330	165	55	11
12	924	792	495	220	66	12
...	...	...	...	...	...	...
49	13983816	1906884	211876	18424	1176	49

이제 6개의 셀로 구성된 새 행을 만들어 각 열에서 해당 위치 번호보다 작거나 같은 가장 큰 값을 찾을 수 있는 공식으로 채우십시오.=INDEX(B2:B50,Match(10381232,B2:B50), 나머지 셀은

인덱스(C2:C50, Match(10381232-SUM(기존 셀의 경우), C2:C50) ...지수(G2:G50, Match(10381232-SUM(기존 셀의 경우), G2:G50))

이렇게 하면 이미 9366819,962598,46376,4960,465,14 다음 열에서 첫 번째 셀 쓰기 =49-MATCH(10381232,B2:B50) 및 이와 유사하게 표시된다.

=49-Match(10381232-9366819, C2:C50) ...=49-Match(10381232-9366819-962598-46376-495,G2:G50)

다시 실제 값 대신 셀에 대한 참조를 사용하십시오.당신은 3,6,15,17,18,35의 원래 볼 번호를 받아야 한다.

이제 싱글 =randwidth(1,combin(49,6))에서 새로운 복권 번호 조합을 생성하거나 이전 결과의 목록 위치 번호를 확인하여 추세가 있는지 확인할 수 있다.

적용들

조합 번호 시스템을 사용하여 주어진 유한 집합의 모든 k-결합 목록을 작성하거나 이동시킬 수 있지만, 이는 매우 비효율적인 방법이다.실제로, 일부 k-조합을 고려할 때 위에서 제시한 방법으로 숫자를 k-조합으로 변환하는 것보다 직접 사전순으로 다음 조합을 찾는 것이 훨씬 쉽다.다음 조합 찾기 위해서는, 작은 찾은 나는 ≥ 2에 사용되지도 나쁘지도 않은 ≥ ci−1+2(만약 그런 게 없다 나는, 정도 나는을 k+1);그 다음을 증가시키 ci−1에 의해 하나와 수립하는 모든 cj과 j<나는 − 1에 그들의 극소 값 j− 1. 만약 k-combination에 의해 대표된 그 건물의 특징 벡터,로 이진 값으로 k1비트, 그 당시에 그러한 가치관이 될 수 있compu.테드 without 비트 와이즈 산술을 사용한 모든 루프: 다음 C++ 함수가 전진한다.x 값을 입력하거나 false를 반환한다.

// 다음 k-properties 찾기 바가지 긁다 next_snow(서명이 없는 장기의& x) // x가 2진수로 x'01^a10^b라고 가정함 {   서명이 없는 장기의 u = x & -x; // 가장 오른쪽 비트 1 추출, u = 0'00^a10^b   서명이 없는 장기의 v = u + x; // 마지막 비반복 비트 0을 설정하고 오른쪽으로 지우기; v=x'10^a00^b   만일 (v==0) // 그런 다음 v 또는 x=0에서 오버플로우     돌아오다 거짓의; // 다음 k-properties를 나타낼 수 없다는 신호   x = v +(((v^x)/u)>>2); // v^x = 0'11^a10^b, (v^x)/u = 0'0^b1^{a+2}, x ← x'100^b1^a   돌아오다 진실의; // 성공적인 완료 }

이것은 고스퍼의 해킹이라고 불리며,^[7] 해당 조립 코드는 HACMEM에서 항목 175번으로 설명되었다.

반면에 지수 N에서 k-combination을 직접 생성할 수 있는 가능성은 유용한 응용 프로그램을 가지고 있다.특히, 단순히 그 숫자를 해당 k-결합으로 변환하여 $0\leq N<{\tbinom {n}{k}}$ $0\leq N<{\tbinom {n}{k}}$ $0\leq N<{\tbinom {n}{k}}$ < $0\leq N<{\tbinom {n}{k}}$ ( $0\leq N<{\tbinom {n}{k}}$ $0\leq N<{\tbinom {n}{k}}$ ) ${\$ 을(를) 가진 임의 정수 N을 사용하여 n-요소 집합의 무작위 k-조합을 생성할 수 있다 $0\leq N<{\tbinom {n}{k}}$ 컴퓨터 프로그램이 주어진 유한 집합의 모든 k-결합에 관한 정보가 있는 표를 유지할 필요가 있는 경우, 조합과 관련된 지수 N의 계산은 검색 없이 테이블에 접근할 수 있게 한다.

참고 항목

요인 번호 시스템(요인 분석이라고도 함)
소수점제
비대칭 숫자 시스템 - 자연수에 대한 조합, 데이터 압축에 널리 사용됨

참조

^ 응용 결합 수학, 에드.E. F. 베켄바흐(1964), 페이지 27-30.
^ http://www.site.uottawa.ca/~lucia/cours/5165-09/GenCombObj.pdf
^ "Combinations — Sage 9.4 Reference Manual: Combinatorics".
^ Knuth, D. E. (2005), "Generating All Combinations and Partitions", The Art of Computer Programming, vol. 4, Fascicle 3, Addison-Wesley, pp. 5−6, ISBN 0-201-85394-9.
^ Pascal, Ernesto (1887), Giornale di Matematiche, vol. 25, pp. 45−49
^ McCaffrey, James (2004), Generating the mth Lexicographical Element of a Mathematical Combination, Microsoft Developer Network
^ Knuth, D. E. (2009), "Bitwise tricks and techniques", The Art of Computer Programming, vol. 4, Fascicle 1, Addison-Wesley, p. 54, ISBN 978-0-321-58050-4

[1] 응용 결합 수학, 에드.E. F. 베켄바흐(1964), 페이지 27-30.

[2] ttp://www.site.uottawa.ca/~lucia/cours/5165-09/GenCombObj.pdf

[3] "Combinations — Sage 9.4 Reference Manual: Combinatorics".

[4] Knuth, D. E. (2005), "Generating All Combinations and Partitions", The Art of Computer Programming, vol. 4, Fascicle 3, Addison-Wesley, pp. 5−6, ISBN 0-201-85394-9.

[5] Pascal, Ernesto (1887), Giornale di Matematiche, vol. 25, pp. 45−49

[6] McCaffrey, James (2004), Generating the mth Lexicographical Element of a Mathematical Combination, Microsoft Developer Network

[7] Knuth, D. E. (2009), "Bitwise tricks and techniques", The Art of Computer Programming, vol. 4, Fascicle 1, Addison-Wesley, p. 54, ISBN 978-0-321-58050-4

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