클라스퍼(수학)

저차원 위상 수학 분야에서 클라스퍼는 수술을 할 수 있는 3-매니폴드의 표면(추가 구조)이다.

동기

존스 다항식을 시작으로, 1980년대에 매듭, 링크, 3-매니폴드의 새로운 불변자들이 무한히 많이 발견되었다.이러한 새로운 '퀀텀' 불변성의 연구는 양자 위상이라 불리는 저차원 위상의 하위 분야로 급속히 확대되었다.양자 불변제는 일반적으로 두 가지 성분으로 구성된다: 자코비 도표의 공식 합(리 대수 구조를 지니고 있음)과 양자 그룹과 같은 리본 호프 대수표현이다.왜 이런 성분들 중 어느 것이 저차원 위상과 관련이 있어야 하는지는 명확하지 않다.따라서 양자 위상에서의 주요 문제 중 하나는 양자 불변성을 위상적으로 해석하는 것이었다.

걸쇠 이론은 그러한 해석을 제공하게 된다.클라스퍼는 액자에 박힌 링크처럼 3마디짜리 위상학 물체로 수술을 할 수 있다.사실, 클라스퍼 미적분은 특정한 종류의 프레임 링크만 허용되는 커비 미적분의 변형으로 생각할 수 있다.걸쇠는 땋은 엄격한 단면체 범주 코브(Cob of oriented connected surface)에 대한 도표로 대수적으로 해석될 수도 있다.또한, 가장 결정적으로, 걸쇠는 순전히 결합 대상인 자코비 도표의 위상학적 실현으로 대략 볼 수 있다.이것은 자코비 도표의 등급 벡터 공간의 리 대수 구조를 코브의 호프 대수 구조로 설명한다.

정의

A clasper ${\displaystyle G=\mathbf {A} \cup \mathbf {B} }$ is a compact surface embedded in the interior of a 3-manifold ${\displaystyle M}$ equipped with a decomposition into two subsurfaces ${\displaystyle \mathbf {A} }$ and ${\displaystyle \mathbf {B} }$, whose connected components are called the$해당$ 구성 요소 및 G ${\displaystyle G}$의 가장자리.$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 각 가장자리는 두 구성 요소를 서로 결합하거나 한 구성 요소를 자신에게 결합하는 밴드다$$.구성성분에는 잎, 원반리브, 노드, 박스 등 4가지 종류가 있다.

클라스퍼 수술은 클라스퍼와 관련된 링크를 따라 가장 쉽게 정의되며(아래 설명에 따라 노드, 박스 및 디스크 리브를 제거한 후), 각 잎을 코어로 교체하고 각 가장자리를 오른쪽 호프 링크로 교체함으로써 클라스퍼와 연관된 수술로 정의된다.

클라스퍼 미적분학

걸쇠(box, node, disk-leaves)를 그릴 때 사용되는 그래픽 규약은 다음과 같다.

하비로는 수술을 통해 동일한 결과를 얻을 수 있는 걸쇠와 관련된 12가지 동작을 발견했다.이러한 움직임은 미적분학을 움켜쥐는 핵심을 형성하며, 정리증거 도구로서 이론에 상당한 힘을 준다.

C등분_n

2노트, 링크 또는 3마니폴드가 ${\displaystyle {Cn}_{}}$ ${\$ - 동일하다고$$ 하는데, ${\displaystyle {Cn}_{}}$ ${\$ -moves는$$ 상자나 디스크 리브가 없는 단순한 나무 걸쇠에서 수술하여 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyn}$잎으로$$ 유도되는 국소적인 움직임이다.

링크 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L\subset M}$의 경우 $C{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$} -move는$$ 교차 변경이다$.$A ${\displaystyle {C\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$}} - 이동은$$ 델타 이동이다.대부분의 걸쇠 어플리케이션은 ${\displaystyle C_{}}$ $n{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ -모브만$$ 사용한다.

주요 결과

2노트 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$ 및$$ $K{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$ ${\$과(와) 음이 아닌 $정수{\displaystyle }$ k$${\$displaysty k}$의 경우 다음 조건이 동일하다$.$

1. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$과($)$ K ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$ {\$displaystyle$ K$^{\prime}}$은(는) 유형 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$의 불변성으로 구별되지 않는다$$$.$
2. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$과 $K{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$ ${\$ K$^{\prime}}$은(는) $C{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$ - 동등하다$$.

링크에 대한 해당 문장은 거짓이다.

추가 읽기

• S. 가루팔리디스, M. 구사로프, M.폴리아크, 클로버 미적분 및 3-매니폴드의 유한형 불변제, Geom. 및 Topol, 제5권(2001), 75–108.
• M.N. 구사로프, 매듭을 지은 그래프의 변형. n-등가(러시아어) 대수학 i Antoniz 12(4) (2000), 79–125; 성에서의 번역의 기하학적 기법.페테르부르크 수학. J. 12(4) (2001) 569–604.
• M.N. 구사로프, 유한형 불변제 및 3-매니폴드 C. R. 아카드의 n-등가성.파리의 서인.I 수학. 329(6)(1999), 517–522.
• K. 하비로, 클라스퍼스와 바실리아프 스키인 모듈, 박사 논문, 도쿄 대학(1997)
• K. Haviro, Claspers 및 링크의 유한형 불변제, Geom. 및 Topol, 제4권(2000), 1–83.
• S. Matveev, 3차원 다지관의 일반화된 수술과 동종학 구들의 표현, Mat. Zametki, 42 (1987년) No. 2, 268–278.