체스판의 역설

로이드와 슐뢰밀크의^[3] 체스판^[1][2] 역설 또는 역설은 착시현상에 기초한 거짓 역설이다.체스판이나 정사각형의 옆면 길이가 8단위인 것을 네 조각으로 자른다.이 네 조각은 변 길이가 13과 5인 직사각형을 형성하기 위해 사용됩니다.따라서 4개의 조각을 합친 면적은 정사각형에서는 64개의 면적 단위이지만 직사각형에서는 65개의 면적 단위가 된다.이러한 모순은 4개의 조각이 직사각형에 정확히 들어맞지는 않지만 직사각형의 대각선 주위에 거의 보이지 않는 작은 틈을 남기 때문에 착시현상에 의한 것으로 보인다.이 역설은 때때로 미국의 퍼즐 발명가 샘 로이드(1841년-1911년)와 독일 수학자 오스카 슐뢰밀흐(1832년-1901년)에 기인한다.

분석.

자세히 살펴보면 네 조각이 서로 잘 맞지 않지만 직사각형의 대각선 주위에 거의 보이지 않는 작은 틈이 있음을 알 수 있습니다.이 $틈새{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{DE}}$ B $(\displaystyle$ DEBF$)$는 평행사변형 모양을 하고 있으며, 대향각이 같은 크기임을 ^[4]보여줌으로써 확인할 수 있다.

$({displaystyle {argined}\angle FDE&=90^{\circ}-\arctan \leftfrac {EI }{DI }}\right}-\arctan \leftfrac {DG}-\circ}-\arctan \leftFRAC {DG})\[6pt]&=90^{\arctan}-\arctan \leftfrac {5}{2}}\right)-\arctan \leftfrac {3}{8}\right)\\[6pt]&=90^{\arctan}-\arctan \leftfrac {FJ }}\right)-\arctan \leftfrac { EH }{ BH }}\right)\\[6pt]&=90^{\color }-\angle FBJ-\[6pt]&=\angle FBE\약 1.24536^{\color }\end{aligned}}}$

$(\displaystyle {displaystyle {aligned}\angle DEB&=360^{\circ }-\arctan\left\frac {DI }{EI }}\right)-90^{\circ }\clangle EBH\[6pt]\clangle }\ctan\ctan }\clangledge\ct })\[6pt]&=360^{\arctan}-\arctan\leftfrac{5}\right)-90^{\arctan\leftfrac{8}{3}}\right)\\[6pt]&=360^{\arctan}-\arctan \leftfrac {BJ }{FJ }}\right)-90^{\arctan \leftfrac {BH }{ EH }}\right}\\[6pt]&=360^{\color }-\angle BFJ-\angle GFD\[6pt]&=\angle DFB\약 178.75464^{\color }\end{aligned}}}$

직사각형을 따라 4개의 조각을 정확하게 맞추려면 평행사변형을 선 세그먼트로 접어야 합니다. 즉, 다음과 같은 크기를 가져야 합니다.

$(\displaystyle \angle FBE=\angle FDE=0^{\circ })$

$\displaystyle \angle DFB=\angle DEB=180^{\circ }}$

실제 각도는 이들 값에서 약간만 벗어나기 때문에 평행사변형이 선분일 뿐이고 조각이 정확하게 ^[4]들어맞는 착시현상을 일으킨다.또는 리액트 각도를 좌표계에 배치하여 평행성을 검증하고 변의 기울기 또는 벡터 표현을 비교할 수 있다.

평행 사변형의 측면 길이와 대각선은 다음과 같습니다.

${\displaystyle DE = FB = 1400rt {2^{2}+5^{2}} = quotrt {29}}$

${\displaystyle DF = EB = rt {3^{2}+8^{2}}} = quotrt {73}}$

${\displaystyle EF = sqrt {1^{2}+3^{2}}} = quotrt {10}}$

${\displaystyle DB = displayrt {5^{2}+13^{2}}} = quotrt {quot}}$

Heron의 공식을 사용하여 평행 사변형의 절반 면적을 계산할 수 있습니다${\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle F}$ G$$\ $displaystyle$\$dFG$ ）$$。$$절반으로 줄인 둘레는

${\displaystyle s=secfrac {EF + DE + DF } {2}}=secfrac {\secrt {10}+{\secrt {29}}+{\secrt {73}}}{2}$

전체 평행사변형의 면적을 산출합니다.

$디스플레이 스타일F&, =2\cdot{\sqrt{s\cdot(EFs-)\cdot(DEs-)\cdot(DFs-)}}\\[5pt]&, =2\cdot{\frac{1}{4}}\cdot{\sqrt{({\sqrt{10}}와{\sqrt{29}}와{\sqrt{73}})\cdot(-{\sqrt{10}}와{\sqrt{29}}와{\sqrt{73}})\cdot({\sqrt{10}}-{\sqrt{29}}와{\sqrt{73}})\cdot({\sqrt{10}}와{\sqrt{29}}-{\sqrt{73}})}}\\[5pt]&, =2\cdot{\frac{1}{4}}\cdot 2\\[5pt]&.=1\end{정렬}}}$

따라서 간격의 면적은 직사각형의 추가 면적을 정확히 설명합니다.

일반화

마지막 장의 도면에서 발생하는 선분은 길이 2, 3, 5, 8, 13입니다.이것들은 모두 순차적인 피보나치 수치로, 피보나치 수치를 기반으로 한 절개 방식의 일반화를 제안한다.피보나치 숫자의 특성은 착시 현상이 왜 그렇게 잘 일어나는지 더 깊은 통찰력을 제공합니다.측면 길이가 피보나치 $번호{\displaystyle {}_{}}$ $({$ $f_{$$n$})인$$ 정사각형은 체스판의 길이 8, 5, 3의 선분을 사용하여 해부한 것과 마찬가지로 $길이{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle f_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$-${\displaystyle {}_{}{1}_{}}$, ${\displaystyle {}_n}$ -$({n}, f_{n-1})$의 선분을 사용하여 해부할 수 있습니다(그림 ^[4]참조).

카시니 신원은 ^[4]다음과 같습니다.

${\displaystyle f_{n+1}\cdot f_{n-1}-f_{n}^2}=param1}^{n}$

이를 통해 정사각형과 직사각형 사이의 면적 차이는 항상 1개의 면적 단위여야 하며, 특히 원래의 체스판 역설의 경우 다음과 같은 특징이 있다.

${\displaystyle 13\cdot 5-8^{2}=f_{7}\cdot f_{5}-f_{6}^{2}=cdot1)^{6}=1}$

불균일한 $지수{\displaystyle }$ n$\style$ n$\display$ n보다$$ 정사각형의 면적이 1개의 면적 단위로 작은 것이 아니라 큰 것에 주의해 주십시오.이 경우 4개의 조각이 직사각형에 조립될 때 작은 틈이 생기지 않고 대신 약간 겹칩니다.면적 차이는 항상 1 면적 단위이므로 더 큰 피보나치 수를 사용하여 착시 현상을 개선할 수 있으며, 이로 인해 직사각형 면적의 갭 비율이 임의로 작아져 실질적인 목적을 위해 보이지 않게 된다.

인접 피보나치 번호의 비율은 황금비율$(\displaystyle$ \$varphi$에 대해 비교적 빠르게 수렴되므로 다음 비율도 빠르게 수렴됩니다.

${\displaystyle {f_{n} {f_{n-2}} = scdot {f_{n} {f_{n-1}}\cdot {f_{n-1}} {f_{n-2}}\rightarrow \varphi ^{2},{\frac {f_{n-2} {f_n-1}}}} {fac}}} {frac} {f} {f} {f} {frac}}}$

정사각형의 4개의 컷아웃이 직사각형을 형성하기 위해서는 작은 평행사변형 ${\displaystyle \mathrm{DE}}$ B $(Displaystyle$ DEBF$)$가 직사각형의 대각선인 선분으로 접혀야 합니다.이 경우 평행한 각도에 대응하므로 직사각형의 각도에 대해 다음이 유지됩니다.

${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I}$ D $=$ ${\displaystyle h}$ H $B$ ( \$$$displaystyle$ \${\displaystyle }$angle $IDE$ ${\displaystyle \mathrm{=}}$ \$$angle$$$EBH$$)$${\displaystyle \mathrm{}}$、 d ${\displaystyle F}$D${\displaystyle \mathrm{}}$$G$= ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle B}$$J$ angle $FDG =$

따라서 다음 직각 ${\displaystyle \mathrm{삼각형}}$ $△{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle E}$ D$(\displaystyle \display$ IED$),$ △ ${\displaystyle H}$ B$$(\$displaystyle \display$ HBE$),$ △ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle F}$ F G$(\displaystyle \display$ DFG$$$)$ 및 $△{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{FB}}$J(\$displaystyle \display$ FBJ$)$는 유사해야 하며 다리 비율이 같아야 합니다.

위에서 설명한 빠른 수렴으로 인해 조립된 직사각형에서 피보나치 숫자의 비율은 거의 동일합니다.^[4]

${\displaystyle {f_{n}{f_{n-2}}\약 {f_{n-1}}{f_{n-3}}, {\frac {f_{n-2}}{f_{n}}}\약 {f_{n-1}}}}\약 {frac {f_{f_n-1}}}}}}}$

따라서 그것들은 거의 정확히 맞아떨어지며 착시현상을 일으킨다.

또한 원래의 체스판 분석에서와 같이 평행사변형의 각도를 볼 수 있다.이러한 각도에 대해 다음과 같은 공식을 ^[4]도출할 수 있다.

${\displaystyle n\geq 4:\display \angle FBE=\arctan \leftf_{2n-3}+2f_{n-2}}\오른쪽 화살표 0^{\display }}$

${\displaystyle n\geq 4:\display \angle DEB=180^{\circ}-\arctan \leftfrac {1}{f_{2n-3}+2f_{n-2}}}\오른쪽 화살표 180^{\circ}}}$

따라서 각도는 정확한 적합에 필요한 값으로 빠르게 수렴됩니다.

그러나 면적 불일치를 만들지 않고 절단 방식을 사용할 수 있습니다. 즉, 네 개의 컷아웃이 정사각형과 동일한 면적의 직사각형으로 정확히 결합됩니다.피보나치 숫자를 사용하는 대신 황금 비율 자체를 직접 기준으로 절개합니다(도면 참조).$측면$ $길이$의 정사각형에 대해 직사각형 면적을 산출합니다$.$

${\displaystyle (\varphi -1)a\cdot (\varphi a)=(\varphi ^{2}-\varphi)a^{2}=a^{2}}$

${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$2 - ${\displaystyle \mathrm{\phi }}$ ${\displaystyle =}$1 { $displaystyle \varphi ^{2}-\varphi =1$}은$$ 황금 ^[5]비율의 특성이기 때문이다.

역사

후퍼의 역설은 체스 역설의 전조로 볼 수 있다.4개의 조각이 직사각형으로 조립된 동일한 형상을 가지고 있지만, 4개의 조각이 시작된 해부된 모양은 아직 정사각형도 아니고 피보나치 숫자를 기반으로 한 관련 선분도 아닙니다.후퍼는 그의 저서 '합리적인 레크리에이션'에서 기하학적 돈이라는 이름으로 그의 이름을 딴 패러독스를 발표했다.그러나 그의 책이 본질적으로 1769년 프랑스에서 출판된 Edmé Gilles Guyot (1706–1786)의 Nouvelles 이력서와 수학문헌을 번역한 것이기 때문에 나는 그의 발명품이 아니었다.^[1]

체스의 역설에 대한 최초의 알려진 출판물은 독일의 수학자 오스카 슐뢰밀흐 덕분이다.그는 1868년 독일 과학 저널 Zeitschrift für Mathik und Physik에 Ein Geometryrisches Paradoxon("기하학적 패러독스")이라는 제목으로 그것을 발표했다.같은 저널에서 빅토르 슐레겔은 1879년에 기하학적 역설의 일반화"라는 기사를 발표하였고, 그 글에서 그는 구조를 일반화하고 피보나치 수와의 연관성을 지적했다.체스판의 역설은 또한 영국의 수학자이자 작가인 루이스 캐럴이 좋아했는데, 그는 일반화에도 노력했지만 그것을 발표하지는 않았다.이것은 나중에 그가 죽은 후에 그의 노트에서 발견되었다.미국의 퍼즐 발명가 샘 로이드는 1858년 세계 체스 대회에서 체스판 패러독스를 발표했다고 주장했고 나중에 같은 이름의 아들이 사후에 출판한 샘 로이드의 5,000개의 퍼즐, 트릭, 콘덤 사전(1914년)에 수록되었다.아들은 네 조각을 63개의 면적 단위로 조립하는 것(위 그림 참조)이 그의 생각이었다고 말했다.하지만 그것은 1901년 월터 ^[1][6]덱스터의 엽서 퍼즐 기사에 이미 실렸다.'

「 」를 참조해 주세요.

• 사각 퍼즐 누락

레퍼런스

추가 정보

• Jean-Paul Delahaye:Au는 des paradox를 지불한다.Humensis, 2014, ISBN 9782842451363(프랑스어)
• 미오드라그 페트코비치: 위대한 수학자들의 유명한 퍼즐.AMS, 2009, ISBN 9780821848142, 페이지 14, 30-31
• A. F. Horadam: "피보나치 수열과 기하학적 역설"인: 수학 매거진 제35권 제1호(1962년 1월), 페이지 1~11(JSTOR)
• 데이비드 싱마스터: "사라지는 영역 퍼즐"인 : 레크리에이션 수학 잡지 제1호, 2014년 3월
• John F. Lamb 주니어: "깔개 자르기 퍼즐"인: The Mathematic Teacher, Band 80, Nr. 1 (Januar 1987), 12~14 페이지 (JSTOR)
• Warren Weaver: "루이스 캐롤과 기하학적 역설"인: 미국 수학 월간지 제45권 제4호(1938년 4월), 234~236쪽(JSTOR)
• Oskar Schlömilch: "Ein Geometrys Paradoxon."입력: Zeitschrift für Mathipik und Physik, vol. 13, 1868, 페이지 162 (독일어)
• 빅터 슐레겔: "Verallgemeinerung eines Geometryrischen Paradoxons."인: Zeitschrift für Mathipik und Physik, 1879년 제24권, 123-128페이지(독일어)

외부 링크

• 직소 패러독스
• Weisstein, Eric W. "Dissection Fallacy". MathWorld.