모멘텀 중심 프레임

물리학에서 시스템의 모멘텀 중심 프레임(제로 모멘텀 프레임 또는 COM 프레임)은 시스템의 총 운동량이 사라지는 유일한 관성 프레임입니다.시스템의 운동량 중심은 위치가 아니라 상대 모멘타/속도 집합: 기준 프레임입니다.따라서 "운동량 중심"은 "운동량 중심 프레임"을 의미하며 이 구문의 짧은 ^[1]형식입니다.

모멘텀 중심 프레임의 특별한 경우는 질량 중심 프레임입니다. 즉, 질량 중심(물리적 점)이 원점에 남아 있는 관성 프레임입니다.모든 COM 프레임에서 질량 중심은 정지되어 있지만 반드시 좌표계의 원점에 있는 것은 아닙니다.

특수 상대성 이론에서 COM 프레임은 시스템이 격리된 경우에만 반드시 고유합니다.

특성.

일반

운동량 프레임의 중심은 모든 입자의 선형 모멘타의 합이 0인 관성 프레임으로 정의됩니다.S는 실험실 기준계, S denote는 모멘텀 중심 기준계라고 하자.갈릴레오 변환을 사용하여, SΩ의 입자 속도는 다음과 같습니다.

${\displaystyle v'=v-V_{c}$

어디에

$({displaystyle V_{c}=subfrac {sum _{i}m_{i}v_{i}}{\sum _{i}m_{i}}})$

질량중심의 속도입니다.그러면 모멘텀 중심 시스템의 총 운동량이 사라집니다.

$\sum _{i}p'_{i}=\sum _{i}m_{i}=\sum _{i}m_{i}(v_{i}-V_{c})=\sum _{i}m_{i}-\sum _i}m_{i}{frac}_{i}_{i}}$

또한 시스템의 총 에너지는 모든 관성 기준 프레임에서 볼 수 있는 최소 에너지입니다.

특수상대성이론

상대성 이론에서 COM 프레임은 고립된 거대 시스템에 존재합니다.이것은 노에터의 정리의 결과이다.COM 프레임에서 시스템의 총 에너지는 정지 에너지이며, 이 양(c는 빛의 속도인 계수² c로 나눈 값)은 시스템의 정지 질량(불변 질량)을 제공합니다.

$({displaystyle m_{0}=sublicfrac {E_{0}}{c^{2}})}$

시스템의 불변 질량은 상대론적 불변 관계에 의해 관성 프레임에서 주어진다.

${\displaystyle m_{0}{2}=\leftfrac {E}{c^{2}\right}^{2}-\left({\frac {p}{c}}\right)^{2}$

그러나 운동량이 0일 경우 운동량 항(p/c)²이 사라지며, 따라서 총 에너지는 나머지 에너지와 일치합니다.

에너지가 0이 아닌 정지 질량이 0인 시스템(단일 방향으로 이동하는 광자 또는 동등한 평면 전자파 등)에는 COM 프레임이 없습니다. 왜냐하면 COM 프레임에는 순 운동량이 0인 프레임이 없기 때문입니다.빛의 속도의 불변성으로 인해 질량 없는 시스템은 모든 프레임에서 빛의 속도로 이동해야 하며 항상 순 모멘텀을 보유해야 합니다.각 기준 프레임에 대한 에너지는 운동량의 크기에 빛의 속도를 곱한 것과 같습니다.

$(\displaystyle E=pc).}$

이체 문제

이 프레임의 사용 예는 아래에 제시되어 있습니다. 2체 충돌에서는 반드시 탄성이 있는 것은 아닙니다(운동 에너지가 보존되어 있는 경우).COM 프레임은 측정 또는 계산이 이루어지는 프레임인 랩 프레임보다 훨씬 쉽게 입자의 운동량을 찾는 데 사용할 수 있습니다.상황은 각각 초기 속도(충돌 전) u와₁₂ u로 이동하는 질량₁ m과₂ m의 두 입자에 대해 갈릴레오 변환과 운동량 보존을 사용하여 분석됩니다.변환은 각 입자의 속도에서 COM 프레임(프리미티드 양)^[1]으로 프레임의 속도를 취하기 위해 적용됩니다.

${\displaystyle \mathbf {u} _{1}^{\prime} =\mathbf {u} _{1}-\mathbf {V} ,\mathbf {u} _{2}-\prime} =\mathbf {u}$

여기서 V는 COM 프레임의 속도입니다.V는 COM의 속도, 즉 COM 위치 R(시스템 질량 중심 위치)^[2]의 시간 도함수이기 때문에:

${\displaystyle {\frac {\rm {d}}\mathbf {R}} {{\rm {d}}} {\rm {d}}} {\frac {m_{1}\mathbf {r} {r} {m}}}} {\leftfrac {r} {r} {r} {r} {r} {r} {r} {r} {r} {r} {r} {r} {r} {r} {r} {{{{{{{{m}}}} {r} {r} {r}}}\오른쪽)\\&=sqfrac {m_{1}\mathbf {u}_{1}+m_{2}\mathbf {u}_{2}:{m_{1}+m_{2}}}\&=\mathbf {V}\\end {aligned}}$

따라서 COM 프레임의 원점인 R' = 0에서 이는 다음을 의미합니다.

${\displaystyle m_{1}\mathbf {u}_{1}^{\prime}+m_{2}\mathbf {u}_{2}^{\prime}=mbold symbol {0}}$

연구실 프레임에 운동량 보존을 적용해도 동일한 결과를 얻을 수 있습니다. 여기서 모멘타는 p와₁ p₂:

${\displaystyle \mathbf {V} = flac {mathbf {p} + \mathbf {p} _{2} {m_{1} + m_{2}}}}=paramfrac {m_{1}\mathbf {u}_{1}+m_{2}\mathbf {u}_{2}{m_{1}+m_{2}}}}}$

그리고 COM 프레임에서는 입자의 총 모멘타₁ p'와₂ p'가 소멸한다고 확언된다.

${{displaystyle \mathbf {p}_{1}^{\prime}_{2}^{\prime}=m_{1}\mathbf {u}_{1}+m_{2}\mathbf {u}_{2}_{\prime}=mathboldsymbol {u}$

COM 프레임 방정식을 사용하여 V에 대해 해결하면 위의 실험 프레임 방정식이 반환되며, 모든 프레임(COM 프레임 포함)을 사용하여 입자의 모멘타를 계산할 수 있음을 보여줍니다.위의 프레임을 사용하여 COM 프레임의 속도를 계산에서 제거할 수 있으므로 COM 프레임 내의 입자의 모멘타는 실험실 프레임의 양(즉, 주어진 초기 값)으로 표현될 수 있습니다.

${\displaystyle {displaystyle {narged} \mathbf {p} {{1} \prime} \mathbf {u} \\mathbf {u} \left(\mathbf {u} \right) = fracm {{{1} {m_1} {m} {m} {u} {m} {m} {m} {m} {m}}}\left(\mathbf {u}_{1}-\mathbf {u}_{2}\right)\&=-\mathbf {u}_{2}^{\prime}=-\mathbf {p}_{2}^{\p}_{2}_{\endaligned}}}\mathbf {u}$

입자 1에서 2까지의 실험실 프레임의 상대 속도는

$\displaystyle \Delta \mathbf {u} = \mathbf {u} _{1} - \mathbf {u} _{2}$

그리고 2체 감소 질량은

${\displaystyle \mu = flac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}}$

그래서 입자의 모멘텀이 콤팩트하게 감소해서

${\displaystyle \mathbf {p}_{1}^{\prime}=-\mathbf {p}_{2}^{\prime}=\mu \Delta \mathbf {u}$

이것은 두 입자의 모멘타의 상당히 간단한 계산입니다. 감소된 질량과 상대 속도는 실험실 프레임과 질량의 초기 속도에서 계산할 수 있으며, 한 입자의 운동량은 다른 입자의 음수입니다.충돌 후 속도가 여전히 ^[3]위의 방정식을₂ 만족하기 때문에₁ 최초₁ 속도₂ u와 u 대신 최종 속도 v와 v에 대해 계산을 반복할 수 있다.

${\displaystyle {\frac {\rm {d}}\mathbf {R}} {{\rm {d}}} {\rm {d}}} {\frac {m_{1}\mathbf {r} {r} {m}}}} {\leftfrac {r} {r} {r} {r} {r} {r} {r} {r} {r} {r} {r} {r} {r} {r} {r} {{{{{{{{m}}}} {r} {r} {r}}}\오른쪽)\\&=sqfrac {m_{1}\mathbf {v}_{1}+m_{2}\mathbf {v}_{2}{m_{1}+m_{2}}}\&=\mathbf {V}\\end {aligned}}$

따라서 COM 프레임의 원점인 R = 0에서 이는 충돌 후를 의미합니다.

${{displaystyle m_{1}\mathbf {v}_{1}^{\prime}+m_{2}\mathbf {v}_{2}^{\prime}=mbold symbol {0}}$

연구실 프레임의 운동량 보존은 다음과 같습니다.

${{displaystyle m_{1}\mathbf {u}_{1}+m_{2}\mathbf {v}_{1}=m_{2}\mathbf {v}_{2}=(m_1}+m_{2})\mathbf {V}}$

이 방정식이 의미하는 것은 아니다.

${{displaystyle m_{1}\mathbf {u}_{1}\mathbf {v}_{1}=m_{1}\mathbf {V},\mathbf {u}_{2}\mathbf {v}_{2}\mathbf {v} {{1}$

대신, 총 질량 M에 질량 중심 V의 속도를 곱한 것이 시스템의 총 운동량 P임을 나타냅니다.

${\displaystyle {p} \mathbf {p} _{1} + \mathbf {p} _{2} \\&=(m_{1} + m_{2} \\mathbf {V} \&=M\mathbf {V} \endaligned}}$

위와 유사한 분석이 얻어진다.

${{displaystyle \mathbf {p}_{1}^{\prime}=-\mathbf {p}_{2}^{\prime}=\mu \Delta \mathbf {v} =\mu \Delta \mathbf {u}$

여기서 입자 1에서 2까지의 실험실 프레임의 최종 상대 속도는

${\displaystyle \Delta \mathbf {v} =\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2}=\Delta \mathbf {u} .}$

「 」를 참조해 주세요.

• 실험실 기준 범위
• 브릿 프레임

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