카우치-연속 함수

수학에서, Cauchy-연속성 또는 Cauchy-정규성 함수는 미터법 공간(또는 더 많은 일반 공간) 사이의 특별한 종류의 연속함수다.Cauchy-연속 함수는 항상 (특이하게) 그들 영역의 Cauchy 완료까지 확장될 수 있는 유용한 속성을 가지고 있다.

정의

Let ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ be metric spaces, and let ${\displaystyle f:X\to Y}$ be a function from ${\displaystyle X}$ to ${\displaystyle Y.}$ Then ${\displaystyle f}$ is Cauchy-continuous if and only if, given any Cauchy sequence ${\di$$splaystyle \left(x_{1},x_{2},\ldots \right)}$ in ${\displaystyle X,}$ the sequence ${\displaystyle \left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right),\ldots \right)}$ is a Cauchy sequence in ${\displaystyle Y.}$

특성.

모든 균일 연속함수는 또한 Cauchy-연속적이다.반대로 도메인 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 완전히 경계된 경우$$ 모든 Cauchy-연속 함수는 균일하게 연속된다.보다 일반적으로 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $X$$}$이(가) 완전히$$ 경계되지 않더라도 X ${\$$displaystyle$ X}의 모든 완전 경계 부분 집합에서 균일하게 연속되는 $경우$에만 X {\$displaysty$ $X}$의 함수가 Cauchy-연속적이다$.$

모든 Cauchy-연속 함수는 연속적이다.반대로 도메인 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 완료되면 모든 연속 함수는 Cauchy-연속적이다.More generally, even if ${\displaystyle X}$ is not complete, as long as ${\displaystyle Y}$ is complete, then any Cauchy-continuous function from ${\displaystyle X}$ to ${\displaystyle Y}$ can be extended to a continuous (and hence Cauchy-continuous) function defined on the Cauchy completion of ${\displayst$$yle$ X$;}$ 이$$ 확장은 반드시 고유해야 한다.

이러한 사실을 종합하면, $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 콤팩트하면 연속 지도, Cauchy-연속 지도, $X{\displaystyle }${\$displaystyle X}$에 균일하게 연속된 지도가 모두 동일하다$$.

예시 및 비예시

실제 라인 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$이(가) 완료되었으므로 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 Cauchy-연속 함수는 연속적이다$$.그러나 하위 공간 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에서 합리적인 숫자의 문제는$$ 다르다.예를 들어,${\displaystyle }$${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$${\displaystyle }$${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$$^{2$}}이$$$2$ ${\$displaystyle 2$}$ 미만인 $경우$ f (x ) {\$displaystyle f(x)}$이(${\displaystyle 가}$) $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\$$displaystyle 0$$}$이(가$$$)$ $되도록{\displaystyle \mathrm{}}$ 2 값 함수를 정의하십시오.$$${\$${\displaystyle {displaystystyle\mathrm{}}^{}}$ $2$${\displaystyle {}^{}}$$\displaystyle x^{1}:{$2}}: 어떤 $합리적$인 숫자${\displaystyle }$x$$. {\$displaystyle$x$.\}$에 대해서도$$2 {\$displaystyle$2}과(와) 같지 않음 이 $함수$는 Q$$${\displaystyle \mathb${$Q$$}}$에는 연속적이지만 Cauchy-연속에는 연속되지 않음${\displaystyle .}$ 다른 한편$$.$Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 nutuous 함수는 Cauchy-연속적이어야 한다$$.$Q{\displaystyle \mathbb{}}$, ${\displaystyle$ $\mathb$ ${Q},}$의 불균일한 예제의 경우, $f{\displaystyle }$(${\displaystyle x}$ )$${\$displaystyle$ f$(x)}$을(를) 2 ${\displaystyle x^{}}$ ${\$$^{$$x$이(가)$$ 되도록$$ 내버려두지만, 이는 균일하게 연속되지 않지만($Q${\$displaysty-연속$).($이{\displaystyle \mathbb{}}$ 예는 R${\displaystyle }$. ${\displaystyle \mathb {R} .}$에서 동일하게 잘 작동함$)$

A Cauchy sequence ${\displaystyle \left(y_{1},y_{2},\ldots \right)}$ in ${\displaystyle Y}$ can be identified with a Cauchy-continuous function from ${\displaystyle \left\{1,1/2,1/3,\ldots \right\}}$ to ${\displaystyle Y,}$ defined by ${\displaystyle f\left(1/n\right)}$${\displaystyle f\left(1/n\right)=y_{n}.$$}$ $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$이(가) 완료되면${\displaystyle }$이 ${\displaystyle 값}$을 ${\displaystyle \{1}$, 1,${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$, 1${\displaystyle }$/ ${\displaystyle \left\{1,1/$2,$1/3,\ldots \right\};}$f${\displaystyle (\mathrm{x<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; \backslash left\backslash \{1,1/2,1/3,\backslash ldots\; \backslash right\backslash \};\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/d6092fa2e0ff1f1bea3161ec5770e377b4b3d0b8"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:17.321ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="153">}}$ )${\displaysty f(x)$로 확장할 수 있다$$.

일반화

cauchy 연속성은 미터법 공간보다 더 일반적인 상황에서 이치에 맞지만, 그런 다음 시퀀스에서 그물(또는 동등하게 필터)로 이동해야 한다.위의 정의는 Cauchy 시퀀스$({\displaystyle x{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$x ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$) ${\$가 임의의 Cauchy net으로 대체되는$$ 한 적용된다.Equivalently, a function ${\displaystyle f}$ is Cauchy-continuous if and only if, given any Cauchy filter ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ on ${\displaystyle X,}$ then ${\displaystyle f({\mathcal {F}})}$ is a Cauchy filter base on ${\displaystyle Y.}$ This definition agrees with the above o미터법 공간은 없지만 균일한 공간과 가장 일반적으로 Cauchy 공간에도 사용할 수 있다.

모든 방향 세트 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$은(는) Cauchy 공간으로 만들 수 있다$$.Then given any space ${\displaystyle Y,}$ the Cauchy nets in ${\displaystyle Y}$ indexed by ${\displaystyle A}$ are the same as the Cauchy-continuous functions from ${\displaystyle A}$ to ${\displaystyle Y.}$ If ${\displaystyle Y}$ is complete, then the extension of the function to ${\displaystyle A\cup \{\mathrm{\infty }\}}$${\displaystyle A\cupt \{\inflt \}}$은(이는 위의 시퀀스 예제를 일반화하며, 여기서 $0$은 1${\displaystyle \frac{\mathrm{㎛}}{}}$ .${\displaystyle {1}{\flack$ $\}\}\})$

참고 항목

• 카우치 공간

참조

• 에바 로웬-콜레번더스(1989년). 뉴욕 데커.