캡 세트

아핀 기하학에서 캡 집합은 $Z{\displaystyle {\mathbb{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$$3원소{\displaystyle }$ 필드 위의 n ${\displaystyn}$ -dension space)의 하위 집합이며, 한 줄에 3개의 요소가 없다.cap set 문제는 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$의 함수로서 가능한 가장 큰 cap set의 크기를 찾는 문제다$.$^[1]처음 몇 개의 캡 세트 크기는 1, 2, 4, 9, 20, 45, 112, ...(OEIS의 경우 시퀀스 A090245)이다.

캡 세트는 일반적으로 3개의 선이 없는 유한 아핀 또는 투사 공간의 하위 집합으로 정의될 수 있으며, 여기서 이러한 개체를 캡이라고 부른다.^[2]"캡 집합" 용어는 같은 이름을 가진 다른 관련 없는 수학적 물체와 구별되어야 하며, 특히 기능 공간에^[3] 콤팩트 흡수 특성이 있는 집합과 볼록 세트의 콤팩트 볼록 코 콘벡스 하위 집합과 구별되어야 한다.^[4]

예

캡 세트의 예는 카드 게임 세트에서 나오는데, 카드 게임 세트에서 각각의 카드에는 네 가지 특징(숫자, 기호, 음영, 색상)이 있는데, 각각 세 가지 값 중 하나를 취할 수 있다.이 게임의 카드는 점의 각 좌표가 특징들 중 하나의 값을 지정하는 4차원 아핀 $공간{\displaystyle {\mathbb{}}_{}^{}}$ Z ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$의 포인트를 나타내는 것으로 해석할 수 있다.이 공간에서의 선은 각각의 특징에서 서로 모두 같거나 서로 다른 세 개의 카드를 의미한다.게임 플레이는 현재 위를 향하고 있는 카드 중에서 라인을 찾아 모으는 것으로 구성되며, 캡 세트는 라인을 수집할 수 없는 일련의 페이스업 카드를 묘사한다.^[1][5][6]

게임 세트에서 대형 캡 세트를 구성하는 한 가지 방법은 각각의 특징에 대한 세 가지 값 중 두 가지를 선택하고 각각의 특징에 그 두 가지 값 중 한 가지만 사용하는 카드를 각각의 특징에 대면하는 것이다.그 결과는 16개의 카드로 구성된 캡셋이 될 것이다.보다 일반적으로, 동일한 전략으로 인해 $크기{\displaystyle {\mathbb{}}_{}^{}}$ ${\$$displaystyle \mathb{Z} _{3}^{n}}$의 Z ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$$displaystyle2^{n}}$에 캡 세트가 최대 크기 20이 된다는 것을 주세페 펠레그리노는 1971년에 증명했다$.$세트로 보면, 이 결과는 20장의 일부 레이아웃은 수집할 선이 없지만, 21장의 모든 레이아웃은 최소한 하나의 라인이 있다는 것을 의미한다.

최대 크기

1971년 펠레그리노의 작품과 1984년 캡셋이 전체 공간의 일정한 비율을 구성할 수 없다는 것을 증명했던 톰 브라운과 조 불러의 작품 이후, 그것들이 얼마나 클 수 있는가에 대한 상당한 연구가 있었다.^[7]

하한

4차원 캡셋 문제에 대한 펠레그리노의 해결책도 어떤 상위 차원에$$ 대해서도 ${\displaystyle {2n}^{}}$ ${\$ 2$^{n}$보다 큰 하한을 초래하게 되는데, 에델(2004)에 의해 추가로 약${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}2$.${\displaystyle {2174n}^{}}$ ${\$ 2.$2174^{n}로$개선되었다$.$^[2]

상한

1984년에 톰 브라운과 조 불러는^[7] $Z{\displaystyle {\mathbb{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$에 설정된 캡의 가능한 가장 큰 $크기$가 n$${\$displaystyle n}$이(가) 성장함에$$ 따라 ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$($3^{n})$라는 것을 증명했다. 느슨하게 말하면, 이는 캡 세트가 0 밀도를 가지고 있다는 것을 의미한다.Péter 프랑클, 로널드 그레이엄과 Vojtěch Rödl 1987년 브라운과 불러 결과를 쉽게 Ruzsa-Szemerédi 삼각형 제거 부명제에서 다음과 같으며 물었다.`이 있었는지에 상수 c<>존재하고, 3{\displaystyle c< 3}이 정말로, n{n\displaystyle}, 어떤 모자의 모든 충분히 큰 값을 위해 남겨져shown[8]다.에서${\displaystyle {\mathbb{Z}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$의 크기는$$ 최대 $c{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}${\$displaystyle$$c$^{n$\}\};$ 즉, $C{\displaystyle {}^{}}$ {${\displaystyle n^{}}$ ${\$$_{3}^{n}}}$에 설정된 크기가 아핀 라인을 포함하는지$$ 여부$$.이 문제는 1995년 노가 알론과 모셰 더블리너가 발표한 논문에도^[9] 등장했다.같은 해, 로이 메술람은 캡셋의 크기가 2${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {3n}^{}}$/ ${\displaystyle n}$ $[\displaystyle 2\cdot 3^{n}/n}$를 초과하지 않는다는 것을 증명했다^[10]$.$

여부 Meshulam의 바운드}c<>로 n{\displaystyle c^{n}c3{\displaystyle c< 3}하나 지난 20여년 동안 상가 조합론과 램지 이론에서 가장 흥미를 끄는 개방 문제 중의 예를 들어, 이 문제에 들판 메달리스트들 티모시 하에서 블로그 포스트에서 부각된 것으로 여겨졌다 더 향상 될 수 있는 결정한다한 ers[11]테렌스 타오.^[12]그의 블로그 포스트에서, Tao는 그것을 "아마도$,$ 내가 가장 좋아하는 열린 문제"라고 언급하고, 캡셋에 대한 지수 바운드의 간단한 증거를 제시한다. 즉, 어떤 프라임 파워 $p{\displaystyle }$ $displaystyle$ $p$$},$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ $3{\displaystyle \mathrm{}}$ {\$displaystyle S_$${p$$}^{$n$$}}{$n}}}.$일부 < < p$>$ {\$displaystyle c_$${$p}^{$n$$}}$의 최대$$ ${\displaystyle {크기}_{}^{}}$^[12]

2011년 마이클 베이트먼과 뉴저지 네츠 Katz[13]긍정적인 상수 ε{\displaystyle \varepsilon}. 그 모자 세트 추측 2016년, 어니 Croot, 프세볼 로트 레프, Péter Pál Pach게 관련된 probl에 대한 예고 게시에서 해결된 O에 바인딩 되어(3n/n1+ ε){O(3^{n}/n^{1+\varepsilon})\displaystyle}을 향상시켰다.전각(같은 ${\displaystyle {}_{}^{}}$지만 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ 4n$${\$displaystyle \mathb{Z} _{4}^{$n}})$$에서는 조던 엘렌버그와 디온 지즈비츠가 캡 세트 문제에 대해$$ $2{\displaystyle {\mathrm{.}}^{756n}}$ ${\$의 상한선을 빠르게 입증하는 데 사용하였다.^{[5][6][14][15][16]}2019년 샌더 다멘, 요하네스 홀즐, 롭 루이스가 린 정리 프로베른에서 이 상단의 증거를 공식화했다.^[17]

In March 2021, Zhi Jiang in a preprint improved the upper bound to ${\displaystyle O({\theta }^{n}/{\sqrt {n}})}$ with a constant ${\displaystyle {\theta }<3}$.^[18] Jiang's result is a consequence of solving a conjecture of Derkson on a linear program equivalent to the cap set problem.^[19]가장 큰 상한선 세트의 계산은 비슷한 한계를^[19] 시사한다 - 장 주석의 결과가 가장 가능성이 있다는 것을 암시한다.2021년 3월 현재, 더 나은 상한이나 비슷한 하한은 증명되지 않았다.

상호 이음매 캡셋

2013년에는 5명의 연구원이 함께 AG(4,3) 크기까지의 공간을 디스조인트 캡셋으로 분할할 수 있는 모든 방법에 대한 분석을 발표했다.^[20]그들은 그들 사이에 80개의 다른 셀을 덮고 있는 AG(4,3)에서 20사이즈의 4개의 다른 캡셋을 사용할 수 있다고 보고했다; 덮이지 않은 단일 셀은 4개의 캡셋 각각의 앵커라고 불리며, 캡셋의 20개 포인트에 추가하면 전체 합이 0이 된다(모드 3).그러한 분리형 컬렉션의 모든 캡셋은 동일한 닻을 공유한다.더 큰 사이즈의 결과는 2021년 현재 여전히 공개되어 있다.

적용들

해바라기 추측

또한 캡 세트 문제에 대한 해결책은 해바라기 추측의 부분적 형태를 입증하는 데 사용될 수 있다. 즉, $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle$n} -element$$ 세트의 하위 세트 제품군이 쌍으로 된 교차점이 모두 동일한 하위 세트를 세 개 가지고 있지 않은 경우, 해당 제품군 내 하위 세트 수는 c의$$ ${\displaystyle {최대}^{}}$ c$${\$displaystyle$ c$^{n}$이다. c< 2 ${\displaystyle c<2$^{[5][21][6][22]}

매트릭스 곱셈 알고리즘

상한 집합은 행렬 곱셈에 대한 특정 유형의 알고리즘에 대한 하한을 의미한다.^[23]

매우 정규 그래프

게임 그래프는 정점이 729개인 강한 정규 그래프다.모든 가장자리는 고유한 삼각형에 속하므로 로컬 선형 그래프로서, 로컬로 알려진 가장 큰 로컬 선형 강력 정규 그래프다.그것의 구조는 5차원 3차원의 투사 공간에 설정된 56점짜리 독특한 캡을 기반으로 한다(캡셋 세트가 일반적으로 정의되는 아핀 공간이 아닌).^[24]

참고 항목

• 노인라인 문제, 2차원 그리드에서 일렬로 세 원소를 피하는 문제

참조