브루워-헤잉-콜모고로프 해석

수학 논리학에서는 브루워-Heyting-Kolmogorov 해석 또는 BHK 해석은 L. E. J. Brouwer와 Arend Heyting에 의해 제안되었고, Andrey Kolmogorov에 의해 독립적으로 제안되었다.스테판 클린의 실현성 이론과의 관련성 때문에 실현성 해석이라고도 한다.직감적 논리의 표준적 설명이다.^[1]

해석

해석은 주어진 공식의 증거가 되기 위해 의도된 것을 말한다.이는 공식의 구조에 대한 유도에 의해 지정된다.

• $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P\wedge Q}$의 증명은 ${\displaystyle a}$,${\displaystyle b}⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle \langle$ a$,b\rangele}$ 쌍이며$$, $여기$서 ${\$$displaystyle a}$은 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ P$}$의 증명이며$$$$ b ${\displaystyty$ Q$\}$이다.
• A proof of ${\displaystyle P\vee Q}$ is either ${\displaystyle \langle 0,a\rangle }$ where ${\displaystyle a}$ is a proof of ${\displaystyle P}$ or ${\displaystyle \langle 1,b\rangle }$ where ${\displaystyle b}$ is a proof of ${\displaystyle Q}$.
• $P{\displaystyle }$→ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P\to Q}$의 $증빙$은 P$${\$displaystyle P$}의 증빙을 $Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle Q}$의 증빙으로 변환하는$$ $함수{\displaystyle }$ f ${\displaystyle f}$이다$.$
• (${\displaystyle \mathrm{\exists }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle S}$) ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (\exists$ x${\in }S)$의 증명$P}$은(는) 쌍 $⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$이고,${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \langle$ x$,a\rangle$}이며, 여기서$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $x$$}$은 $S{\displaystyle }$ ${\\\displaystyle$ $S$$}$의 요소이며, ${\$$displaystyle$ a$}$은 P$}$의 증거물이다$.$
• (${\displaystyle \mathrm{\forall }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle S}$) ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (\forall$ x${\in }S)$의 증빙$P}$은(는) $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 요소 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$을(를) $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$의 증거로 변환하는$$ 함수 f ${\displaystyle f}$이다$.$
• 공식 $\neg {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle P}${\$displaystyle \neg$ P$}$은(는) P ${\displaystyle \to }$ $⊥$ {\$displaystyle P\to$ \bot $}$로 정의되어$$ 있으므로$,$ 이에 대한 $증빙$은$$P$${\$displaystyle P$}의 증빙을$display$ {\displaystyle $\bot }$의 증빙으로$$ 변환하는$$ $함수{\displaystyle }$ f${\f$$.$
• $\perp {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \bot$ $\},$ 불합리하거나 하의 유형(일부 프로그래밍 언어의 불변)에 대한 증거가 없다.

원시 명제의 해석은 문맥에서 알 수 있도록 되어 있다.산술적 맥락에서 $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x=y}$ 공식의 증거는 두 항을 동일한 숫자로 줄인 연산이다$$.

콜모고로프는 같은 대사를 따랐지만 문제와 해결책의 측면에서 자신의 해석을 표현했다.공식을 주장하는 것은 그 공식이 나타내는 문제에 대한 해결책을 안다고 주장하는 것이다.예를 들어 $P{\displaystyle }$→ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P\to Q}$은 $Q{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ $Q$$}$을(를) P ${\displaystyle$ $P$$}($으)로$$ 줄이는 문제인데$,$ 이를 해결하기 위해서는 문제 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$에 대한 해결책이 필요하다$.$

예

아이덴티티 함수는 P가 무엇이든 $P{\displaystyle }$→ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle$ P$\to P}$라는 공식의 증거다$.$

비대조성 $\neg {\displaystyle \mathrm{}}$(${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ${\displaystyle P}$) ${\displaystyle \neg (P\wedge \neg$ P$)}$의 법칙은${\displaystyle }$(${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle (P}$ ${\displaystyle \to }$→ $⊥ {\displaystyle$ (P\to$\bot$ )\\\$to$\to \bot }로 확장된다$.$

• A proof of ${\displaystyle (P\wedge (P\to \bot ))\to \bot }$ is a function ${\displaystyle f}$ that converts a proof of ${\displaystyle (P\wedge (P\to \bot ))}$ into a proof of ${\displaystyle \bot }$.
• $({\displaystyle P}$ ${\displaystyle \wedge }$( P${\displaystyle }$→ $⊥$$))$의 증명서 $(P\wedge (P\to \bot )}$는 증명서 <a, b>의 쌍으로$$, $여기$서 ${\displaystyle$ $a}$은 $P{\displaystyle }$ →$$→[\$displaystytle$ P$\$$to$$bot$}의 증명서$$$.$
• $P$${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{\perp }}$ ${\displaystyle P\to \bot }$의 증명은 P의 증명을 a ${\displaystyle \bot$}의 증명으로 변환하는 기능이다$.$

는 한쌍<>로 변환합니다 이것은 모든(P∧(P→ ⊥)의 증명을 죽이는 형벌)→⊥{\displaystyle(P\wedge(P\to \bot))\to \bot}함수 f{\displaystyle f};, b>, – P의{\displaystyle}는 그것의 증거, 그리고 ⊥{\displays의 증거로 P의 증거를 변환합니다 b{\displaystyle b}기능이다.tyle)$봇$ 봇$}$ – $$$\perp {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \bot }$의 증거로$.$ 이렇게 하는$$ 함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 있는데, $여기$서 f${\displaystyle }$( ${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle b}$(${\displaystyle }$) ${\displaystystyle$ f$(\langle a, b\rangle )=b(a$는 P가 무엇이든 비조화의 법칙을 증명한다.

실제로 같은 계열의 사상이${\displaystyle }$(${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \wedge }$(${\displaystyle P}$→ ${\displaystyle Q}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle (P\wedge (P\to$ Q$)\to$ Q)\to$$ Q$}$에 대한 증거를 제시하는데, $여기$서 Q ${\displaysty Q}$는 어떤 명제라도 된다.

한편, 배제된 중간 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle \vee }$ (${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ $){\displaystyle$ P$\vee (\neg P)}$의 법칙은 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle \vee }$(${\displaystyle P}$→ ${\displaystyle \perp )}$ ${\displaysty P\ve (P\to \bot$ $)\}$로 확대되며$$, 일반적으로 증거가 없다.그 해석에 따르면 P의 증거 ∨(P¬){\displaystyle P\vee(P\neg)}은 한켤레<>ab>,는 0과 P의 b는 그것의 증거 또는은 1과 P→ ⊥{P\to \bot\displaystyle}의 b는 그것의 증거다. 따라서 없으면 P도 P→ ⊥{P\to \bot\displaystyle}그 입증할 수 있는 것은 P∨(P¬){\displaystyle. P\ve$e (\neg P)}$ $.$

부조리란 무엇인가?

$일반적$으로 논리 시스템이 P ${\displaystyle P}$의 증거가 없을 때 정확히 "not$$" $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ P$}$의 증거가 있을 정도로 공식적인 부정 연산자를 갖는 것은 가능하지 않다$.$ 괴델의 불완전성 정리를 참조하라.${\displaystyle \mathrm{BHK}}$ 해석은 그 $대신{\displaystyle }$ P ${\displaystyle$ P$}$이(가) 부조리로 이어진다는$$ 의미로$$ $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle \bot }$을$({\displaystyle \mathrm{}}$를) "not$"$ P ${\displaystyle$ $\lnot P$$}$의 증거를 $부조리$의 증거로$$ 변환하는 기능이라고$$ 한다.

산수를 다루는 데 있어서 부조리의 표준적인 예가 발견된다.0 = 1을 가정하고 수학 유도로 진행하십시오. 0 = 0을 평등의 공리로 진행하십시오.이제(유도 가설) 0이 특정 자연수 n과 같다면 1은 n + 1과 같을 것이다(Peano 공리:Sm = m = n)이지만 0 = 1이기 때문에 0은 n + 1과 같게 된다. 유도에 의해 0은 모든 숫자와 같게 되고, 따라서 두 개의 자연수가 같게 된다.

따라서 0 = 1의 증명에서 어떤 기본적인 산술 평등의 증명, 즉 어떤 복잡한 산술 명제의 증명으로 가는 방법이 있다.나아가 이 결과를 얻기 위해서는 0이 어떤 자연수의 계승자(secrether)가 아니라는 페이노 공리를 발동할 필요가 없었다.이렇게 하면 헤이팅 산술에서 0 = 1이 $\perp {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \bot$}과(와) 적합하게 된다(그리고 페이노 공리는 0 = Sn → 0 = S0).이렇게 0 = 1을 사용하면 폭발 원리가 검증된다.

함수란 무엇인가?

BHK 해석은 어떤 것이 하나의 증거를 다른 증명으로 변환하거나 도메인의 요소를 증명으로 변환하는 기능을 구성하는지에 대해 취해지는 관점에 따라 달라질 것이다.다른 버전의 구성주의들은 이 점에서 갈릴 것이다.

Kleene의 실현성 이론은 계산 가능한 함수로 함수를 식별한다.정량화의 영역은 자연수이고 원시 명제는 x = y 형식인 헤이팅 산수를 다룬다. x = y의 증명은 x가 y와 동일한 수(자연수에 대해 항상 해독 가능한 수)로 평가하면 단순하게 사소한 알고리즘이다. 그렇지 않으면 증거가 없다.그리고 이것들은 더 복잡한 알고리즘으로 유도함으로써 만들어진다.

만약 람다 미적분을 함수의 개념을 정의하는 것으로 받아들인다면, BHK 해석은 자연적 추론과 함수 사이의 관련성을 설명한다.

참조

• Troelstra, A. (1991). "History of Constructivism in the Twentieth Century" (PDF).
• Troelstra, A. (2003). "Constructivism and Proof Theory (draft)". CiteSeerX 10.1.1.10.6972. {{cite journal}}:Cite 저널은 필요로 한다. journal=(도움말)