Breusch-Pagan 검정

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통계학에서 트레버 브레우스치와 아드리안 파간(Adrian Pangan)이 1979년에 개발한 브레쉬-파간(Breusch-Pagan) 시험은 선형 회귀모델에서 이단성(異種性)을 검정하는 데 사용된다.^[1] 그것은 R에 의해 어느 정도 연장된 상태에서 독자적으로 제안되었다. 1983년 데니스 쿡과 샌포드 웨이스버그(Cook-Weisberg 테스트)^[2] 라그랑주 승수 시험 원리에서 파생된 이 시험은 회귀 분석에서 발생하는 오차의 분산이 독립 변수의 값에 따라 달라지는지 여부를 검정한다. 그 경우 이단성이 존재한다.

회귀 모형을 추정한다고 가정합시다.

${\displaystyle y=\property _{0}+\properties _{1}x+u,\,}$

이 적합 모형에서 $잔차인$${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$에 대한 값 집합을 얻으십시오. 일반적인 최소 제곱은 이들의 평균이 0이므로 이들의 분산이 독립 변수에 의존하지 않는다는 가정을 고려할 때, 이 분산에 대한 추정치는 잔차 제곱 값의 평균으로부터 얻을 수 있다. 가정이 참이라고 유지되지 않는 경우, 단순한 모형은 분산이 독립 변수와 선형적으로 연관되어 있다는 것일 수 있다. 이러한 모형은 형태의 보조 회귀 방정식을 사용하여 독립 변수의 제곱 잔차를 회귀 분석하여 조사할 수 있다.

${\displaystyle {\widehat {u}^{2}=\filename _{0}+\filename _{1}x+v.\,}$

이것이 브레쉬-파간 테스트의 기본이다. 카이-제곱 검정: 검정 통계량은 자유도와 함께 nχ로² 분포한다. 검정 통계량이 p-값을 적절한 임계값(예: p < 0.05)보다 낮으면 균질성에 대한 귀무 가설을 기각하고 이질성을 가정한다.

Breusch-Pagan 테스트에서 조건부 이질성이 있는 것으로 나타난 경우, 가중 최소 제곱(이질성 근원이 알려진 경우)을 사용하거나 이질성 일치 표준 오차를 사용할 수 있다.

절차

고전적인 가정 하에서, 일반적인 최소 제곱은 최고의 선형 불편 추정기(BLUE), 즉 편중되지 않고 효율적이다. 그것은 이단성 하에서는 편향되지 않은 채로 남아 있지만, 효율성은 상실된다. 추정 방법을 결정하기 전에 Breusch-Pagan 테스트를 수행하여 이단성 유무를 검사할 수 있다. The Breusch–Pagan test is based on models of the type ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}=h(z_{i}'\gamma )}$ for the variances of the observations where ${\displaystyle z_{i}=(1,z_{2i},\ldots ,z_{pi})}$ explain the difference in the variances. 귀무 가설은${\displaystyle }$(${\displaystyle p}$- ${\displaystyle 1}$) ${\$ 매개변수$$ 제한과 동일하다.

${\displaystyle \cdots _{2}=\cdots =\cdots _{p}=0.}$

다음 Lagrange 승수(LM)는 Breusch-Pagan 검정에 대한 검정 통계를 산출한다.^{[citation needed]}

${\displaystyle {\text{LM}}=\left({\frac {\partial \ell }{\partial \theta }}\right)^{\mathsf {T}}\left(-E\left[{\frac {\partial ^{2}\ell }{\partial \theta \,\partial \theta '}}\right]\right)^{-1}\left({\frac {\partial \ell }{\partial \theta }}\right).}$

이 시험은 다음과 같은 3단계 절차를 통해 실시할 수 있다.

• 1단계: 모델에 OLS 적용

${\displaystyle y_{i}=X_{i}\베타 +\varepsilon _{i}\quad i=1,\dots {}n}$

• 2단계: ${\displaystyle {회귀}_{}}$ 잔차 ^ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$ ^$$i {\$displaystyle${\$hat {\barepsilon }_{i$를 제곱한 다음 1단계 회귀 분석에서 오차 분산의 최대우도 추정치로 나누어 Breusch와 Panis가 g ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ :

${\displaystyle g_{i}={\hat {\barepsilon }}}^{2}/{\hat {\bestma }^{2}}},\cHat {\barrepsilon {}=\{i}^{2}}/n}$

• 2단계: 보조 회귀 분석 추정

${\displaystyle g_{i}=\cHB_{1}+\cdots _{2}z_{2i}+\cdots +\cdots _{p}z_{pi}+\eta _{i}.}$

여기서 z 항은 일반적으로 원래 공변량 x와 동일하지만 반드시 동일하지는 않다.

• 3단계: LM 검정 통계량은 2단계에서 보조 회귀 분석에서 설명한 제곱합의 절반이다.

${\displaystyle {\text{LM}={\frac {1}{1}:{2}}\왼쪽({\text{TSS}-{\text{SSR}\오른쪽).}$

여기서 TSS는 평균 1에서$$ $g{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$의 편차 제곱의 합이고, SSR은 보조 회귀 분석에서 얻은 잔차 제곱의 합이다. 시험 통계량은 1979년 논문에서 Breusch와 Panagan에 의해 증명된 바와 같이 동음이의 원소성성의 귀무 가설 하에서$$ $\chi {\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle p_{}^{}}$- ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 2 ${\$로 점증적으로 분포한다.

로버스트 변종

가우스 오차항이 아닌 경우 강력한 이 시험의 변형은 로저 쿤커에 의해 제안되었다.^[3] 이 변종에서 보조 회귀 분석의 종속 변수는 1단계 회귀 분석의 제곱 잔차 ^ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}^{}}$ ^ ^ ^ ^ $^$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ {\$displaystyle {\hat {\varepsilon }_{i$}^{2$}}$이고, 검정 $통계량$은 보조 회귀 $분석$에서 N ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}${\$displaystystylenR^{2$}}이다$.$ 쿤커는 (1981년, 111페이지)에 언급하지만, 수정된 통계량은 정확한 점증적 크기를 가지고 있는 반면, "이상화된 가우스 조건을 제외하고는 상당히 빈약할 수 있다."

소프트웨어

R에서, 이 시험은 자동차 패키지에서 이용할 수 있는 ncvTest,^[4] lmtest 패키지에서 이용할 수 있는 기능 bptest,^[5][6] plm 패키지에서 이용할 수 있는 기능 pplmtest ^[7]또는 스키타스틱 패키지에서 이용할 수 있는 breusch_pagan 기능으로 수행된다.^[8]

통계분석에서 전체 회귀 분석을 지정한 다음 명령을 입력하십시오. estat hettest 그 뒤에 모든 독립 변수가 뒤따른다.^[9][10]

SAS에서는 Proc Model 옵션을 사용하여 Breusch-Pagan을 얻을 수 있다.

파이썬에서는 Breusch-Pagan 테스트를 위해 statsmodels.stats.diagnostic(statsmodels package)에 het_breuschpagan 메서드가 있다.^[11]

그레틀에서, 명령어 modtest --breusch-pagan OLS 회귀 분석 후에 적용할 수 있다.

참고 항목

• 화이트 테스트

참조

추가 읽기

• Gujarati, Damodar N.; Porter, Dawn C. (2009). Basic Econometrics (Fifth ed.). New York: McGraw-Hill Irwin. pp. 385–86. ISBN 978-0-07-337577-9.
• Kmenta, Jan (1986). Elements of Econometrics (Second ed.). New York: Macmillan. pp. 292–298. ISBN 0-02-365070-2.
• Krämer, W.; Sonnberger, H. (1986). The Linear Regression Model under Test. Heidelberg: Physica. pp. 32–39.
• Maddala, G. S.; Lahiri, Kajal (2009). Introduction to Econometrics (Fourth ed.). Chichester: Wiley. pp. 216–218. ISBN 978-0-470-01512-4.