보슐루의 시험

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Boschloo의 검정은 2x2 분할표 분석을 위한 통계적 가설 검정이다.그것은 두 개의 베르누이 분포 랜덤 변수의 연관성을 조사하며, 피셔의 정확한 검정에 대해 한결같이 더 강력한 대안이다.1970년에 R. D. Boschloo에 의해 제안되었다.^[1]

설정

2x2 분할표는 다음과 같은 두 이항 $변수{\displaystyle }$ A ${\displaystyle A}$ 및$$ $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$의 $독립$ 관측치를 시각화한다$.$

${\displaystyle {\begin{array}{c c}&B=1&B=0&{\mbox}\\\hline A=1&x_{11}&x_{10}&n_{1}\}\\A=0&x_{01}&x_{00}&n_{0}\\\hline {\mbox{total}&s_{0}&s_{0}&n\\\end{array}}}}}}}}}}}$

그러한 표의 확률 분포는 세 가지 뚜렷한 사례로 분류할 수 있다.^[2]

1. 행$$ 합 $n{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{n\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$ column 합 $s{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$s ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$은 랜덤이 아니라 미리 고정되어 있다$$.
   $그러면{\displaystyle }$ 모든 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$는 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {11}_{}}$ ${\$에 의해 결정된다$.$ A ${\displaystyle$ $A$$}$과 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$$displaystystyle x_{11}$이 독립되어 ${\displaystyle {있으면}_{}}$ x ${\displaystyle {11}_{}}$ ${\$$displaystystyle n,{n_s_{$1}:{1}:{1}:{1}:{1}:{1$\}:\{$1}:{1}:{1}:{1}:{1}:{1}:{1}:{1}:{1}:{1}:{1}:{1}:{1}:{1}:{n1$}:{$1}:{1}:{1}:{1}:{
   ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {11}_{}\text{초기하학}(n,}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$s ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle x_{11}\sim {\mbox{Hypergeometric}}(n,n_{1},s_{1$
2. 행 합 $n{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{n\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$은(는) 미리 고정되어 있지만$$, 열 합 s 1, $s{\displaystyle {}_{}}$ ${\$은(는) 고정되어$$ 있지 않다.
   그런 다음 모든 랜덤 매개변수는 x ${\displaystyle {11}_{}}$ ${\$ 및 $x$ ${\displaystyle {01}_{}}$ ${\$${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {01}_{}}$ ${\$ 확률 $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$에 따라 결정된다$.$
   ${\displaystyle x_{11}\심 B(n_{1},p_{1}})$
   ${\displaystyle x_{01}\심 B(n_{0},p_{0})}$
3. 총 숫자 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$만 고정되어 있지만$$ 행 합은 $n{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{n\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$이고 열 합계는 ${\displaystyle {s\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}{0\mathrm{}}_{}}$ ${\$이 아니다$$.
   그런 다음 랜덤 벡터$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {11}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {10}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{x}}_{}}$ 01, ${\displaystyle {\mathrm{x}}_{}}$ 00 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle(x_{11},x_{10},x_{$01},x_{$01},x_{00}})$은 확률${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle {\mathrm{p}}_{}}$ 11${\displaystyle {}_{}}$ p 01, ${\displaystyle {\mathrm{p}}_{}}$ ${\displaystyle {01}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ 00 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystylease(p_{11,$p_${01,p_},p_{$00},p_{00},p_},p_},p_{$00$},{00}},{00},p_$$$\}\}\}\}\}\}\}\}$

Fisher의 정확한 테스트는 첫 번째 사례에 대해 설계되었으며 따라서 정확한 조건부 테스트(열 합계에 조건이 붙기 때문에).그러한 경우의 전형적인 예는 차를 맛보는 여성이다: 여성은 우유와 함께 8컵의 차를 맛본다.그 컵들 중 4개는 차 앞에 우유를 붓는다.나머지 4컵에는 차를 먼저 붓는다.그 여자는 컵을 두 종류에 할당하려고 한다.우리의 표기법에 따라 임의 변수 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$은 사용된 방법(1 = 우유 먼저, 0 = 우유 마지막)을 나타내고$$ B ${\displaystyle B}$은 숙녀의 추측(1 = 우유 먼저 추측, 0 = 우유 마지막 추측)을 나타낸다$$.그 다음 행 합계는 각 방법으로 준비된 컵의 고정 숫자 입니다: ${\displaystyle {n\mathrm{}}_{}}$ $1{\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 4}$,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle n_{1}=4,n_{0}=4}$.부인은 각 범주에 4컵이 있다는 것을 알고 있으므로 각 방법에 4컵을 배정할 것이다.따라서 칼럼 합도 미리 정해져 있다: ${\displaystyle {s\mathrm{}}_{}}$ $1{\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 4,}$ ${\displaystyle {s\mathrm{}}_{}}$0 = ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle s_{1}=4,s_{0}=4$ 만일 $그녀$가 차이를 분간할 수 없다면 A ${\displaystyle A}$과 B$${\$displaystyle B}$은 독립적이며$$, 우유를 먼저 넣은 정확하게 분류된 컵의 숫자$$ $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\$11_{$11}$은 h에 따른다.ypergeometric 분포 ${\displaystyle \text{Hypergeometric}}$( ${\displaystyle 8}$,${\displaystyle 4}$,${\displaystyle 4}$) ${\displaystyle {\mbox{Hypergeometric}(8,4,4)}$.

Boschloo의 테스트는 두 번째 경우를 위해 설계되었으며 따라서 정확한 무조건적인 테스트를 위해 설계되었다.그러한 사례의 예는 종종 의학 연구에서 발견된다. 의료 연구에서는 두 환자 그룹 간에 이진 종말점을 비교한다.우리의 표기법에 따라, $A{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle A=1}$은 관심 약물을 받는 첫 번째 그룹을 나타낸다$$.${\displaystyle A}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle A=0}$은 위약을 받는 두 번째 그룹을 나타낸다$$.${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$은(는) 환자의 치료(1 = 치료, 0 = 치료 없음)를 나타낸다$$.그런 다음 행의 합은 그룹 크기와 같으며 대개 미리 고정된다.칼럼 합계는 각 질병의 연속적인 치료의 총 수입니다.

세 번째 경우의 예는 다음과 같이 구성할 수 있다.구별 가능한 동전 두 $개$를 $동시$에 A ${\displaystyle A}$ 및 B$$ ${\displaystyle$ B$}$을(를) 뒤집고$$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$번$$ 실행하십시오.2x2 표(1 = 머리, 0 = 꼬리)에 결과 수를 세면, 우리는 동전 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 얼마나 자주 머리나 꼬리를 보이는지$$(행 합계는 랜덤), 동전 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$이(가) 얼마나 자주 머리나 꼬리를 보이는지$$ 사전에 알지 못한다.

검정 가설

Boschloo의 한꼬리 검정($x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}의 높은 값이 대립 가설을 선호함$$)의 귀무 가설은 다음과 같다.

${\displaystyle H_{0}p_{1}\leq p_{0}}$

한쪽 꼬리 검정의 귀무 가설도 다른 방향으로 공식화할 수 있다(${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ $1{\displaystyle {}_{}}$ ${\$1}의 작은 값이 대립 가설을 선호함$$).

${\displaystyle H_{0}p_{1}\geq p_{0}}$

양꼬리 검정의 귀무 가설은 다음과 같다.

${\displaystyle H_{0}p_{1}=p_{0}}$

피셔의 정확한 시험의 양꼬리 버전에 대한 보편적인 정의는 없다.^[3]보슐루의 테스트는 피셔의 정확한 테스트를 기반으로 하기 때문에 보편적인 보슐루의 테스트도 존재하지 않는다.다음은 편꼬리 테스트와 H ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$: ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ $[\$을(를) 다룬다$.$

보슐루의 생각

우리는 원하는 유의 수준을 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$로 나타낸다$.$ 피셔의 정확한 테스트는 조건부 테스트로 위에서 언급한 경우 중 첫 번째에 적합하다.그러나 관측된 열 합 s ${\$1}을 미리 고정된 것으로 취급한다면$$, 두 번째 사례에도 피셔의 정확한 검사를 적용할 수 있다.테스트의 실제 크기는 귀찮은 매개 $변수{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {p\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$및$$ ${\displaystyle {p\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$에 따라 달라진다$.$그것은 p1≤ p은 크기 최대 최대 0(크기(p1, p0)){\displaystyle \max \limits_{p_{1}\leq p_{0}}{\big(}{\mbox{크기}}(p_{1},p_{0}){\big)}}p)p1)p0{\displaystyle p=p_{1}=p_{0}}[4]과 여전히 α에 의해 조정된다{\displaystyle\와 같이 동일한 비율에 대해 측정이 나타날 수 있다.알$pha$ $\}.$^[1] 그러나 Boschloo는 작은 표본 크기의 경우 최대 크기가 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha$}보다 상당히 작다고 말했다$.$ 이는 바람직하지 않은 전력 상실로 이어진다.

Boschloo 더 큰 공칭 수준 α∗>α{\displaystyle \alpha ^{*}&gt과 피셔의 정확한 테스트를 이용해서;\alpha}. 여기α ∗{\displaystyle \alpha ^{*}}은 가능한 등은 최대 크기 여전히α{\displaystyle \alpha}:최대 p∈[0,1](크기에 의해 조절되며 큰 선택되어야 한다고 제안했다. (p)${\displaystyle \max \limits _{p\in [0,1]}{\big (}{\mbox{size}}(p){\big )}\leq \alpha }$. This method was especially advantageous at the time of Boschloo's publication because ${\displaystyle \alpha ^{*}}$ could be looked up for common values of ${\displaystyle \alpha ,n_{1}}$ and ${\display$$스타일 n_{0}}$.이것은 보슐루의 시험을 계산적으로 쉽게 수행하도록 만들었다.

검정통계량

보슐루 접근법의 결정 규칙은 피셔의 정확한 시험에 근거한다.시험을 구성하는 동등한 방법은 피셔의 정확한 검정의 p-값을 검정 통계량으로 사용하는 것이다.Fisher의 p-값은 초기하 분포로부터 계산된다($$표기 용이성을 위해 $x{\displaystyle {}_{}}$ $,$ ${\displaystyle {\mathrm{x<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; x\_\{1\},x\_\{0\}\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/725d1d3dcca0b7066ff3a5e72fc153d98102c680"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:5.802ex;\; height:2.009ex;"\; papago-attr-id="179">}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$x 01${\$$displaystyle x_{11},x_{01}).$

${\displaystyle p_{F}=1-F_{\mbox{Hypergeometric}}(n,n_{1},x_{1}+x_{0}})(x_{1}-1)}$

$p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle F_{}}$ ${\$의 ${\displaystyle {분포}_{}}$는 x 1 ${\$및 ${\displaystyle x_{}}$ $0{\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 이항 분포에 의해 결정되며$$$$, 알 수 없는 성가신 $매개{\displaystyle }$ 변수 p ${\displaystystyle p}$에 따라 달라진다$.$ 지정된$$ 유의 수준 $\alpha {\displaystyle }$, ${\\displaystalpha}$${\displaystyle p_{}}$ ${\$은(는) ${\displaystyle \underset{}{최대}}$ p ${\displaystyle \underset{}{\in }}$${\displaystyle {}^{}}$[ 0${\displaystyle \underset{}{}}$, ${\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{]}}$ P ${\displaystyle (P_{}}$ F${\displaystyle {}_{}}$≤ ${\displaystyle {}^{}}$ )${\displaystyle \alpha }$ α ${\displaystyle \max limits _{p\in [0,1]}}}$을(는) 만족하는$$ 최대값 $\alpha {\displaystyle {}^{}}$α이다.$P(p_{F}\leq \alpha ^{*})\leq \alpha$ $\}\}.$ 임계 값 $\alpha {\displaystyle {}^{}}$ α${\displaystyle {}^{}}$∗ ${\$는 보슐루의 원래 접근법의 공칭 수준과 같다.

수정

알 수 없는 귀찮은 존재 변수와 함께 Boschloo의 시험 거래 전체 모수 공간[0,1]{\displaystyle[0,1]}. 최대 그 버거 및으로, 부스. 절차 P을 최대화함으로써 다른 시각으로 접근하여(pF≤ α ∗)(1− γ){에{P(p_{F}\alpha ^{*}\leq)\displaystyle}{p\displaystyle}p.\dis$p{\displaystyle }$ =${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}{}_{}}$= p ${\displaystyle {}_{}}$ =$$p 0 {\$displaystyle p_{1}=p_{$0$$}}의$$ 신뢰 구간을 $추가$하고 {$${\$displaystyle \p$^[5] \ ${\displaystyle \p$ }을$($를) 추가하는 것은 대개 0.001 또는 0.0001과 같은 작은 값이다$$.이것은 또한 정확한 Boschloo의 테스트를 수정하는 결과를 낳는다.^[6]

다른 정확한 검사와 비교

모든 정확한 시험은 지정된 유의 수준을 유지하지만 다른 상황에서 다양한 검정력을 가질 수 있다.Mehrotra 등은 다른 상황에서 일부 정확한 테스트의 힘을 비교했다.^[6]보슐루의 검사와 관련된 결과는 다음과 같이 요약된다.

수정된 보슐루의 테스트

Boschloo의 테스트와 수정된 Boschloo의 테스트는 고려된 모든 시나리오에서 유사한 힘을 가진다.보슐루의 시험은 경우에 따라 약간 더 많은 힘을 가지고 있고, 그 반대의 경우도 있다.

피셔의 정확한 검사

Boschloo의 테스트는 피셔의 정확한 테스트보다 한결같이 더 강력한 구조에 의한 것이다.작은 표본 크기(예: 그룹당 10개)의 경우 검정력 차이는 해당 사례에서 16-20% 포인트에 이르는 큰 차이가 난다.표본 크기가 클수록 검정력 차이가 작다.

$정확$한 Z ${\displaystyle Z}$ -풀링$$ 테스트

이 테스트는 테스트 통계를 기반으로 한다.

${\displaystyle Z_{P}(x_{1},x_{0})={\frac {{\hat {p}}_{1}-{\hat {p}}_{0}}{\sqrt {{\tilde {p}}(1-{\tilde {p}})({\frac {1}{n_{1}}}+{\frac {1}{n_{0}}})}}},}$

여기서 $p{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$= ${\displaystyle \frac{{}_{}}{{}_{}}}$ ${\displaystyle \frac{i_{}}{}}$ ${\${i$}}}}$은(는) 그룹 이벤트 비율이며$$ p${\displaystyle \stackrel{}{}}$~${\displaystyle }$= x ${\displaystyle \frac{{1\mathrm{}}_{}}{}}$+ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{{}_{}}}$ ${\displaystyle \frac{{0\mathrm{}}_{}}{{}_{}}}$+ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ 0 + n $({\tilde}}}={\frac$ {$x_{1}+x_{$0}}{$0$}{0}}}}}}}{0}}}}}}}}}}).$}}{n_{1}+n_{0$$}}}}$은(는) 풀링된 이벤트 비율이다.

이 테스트의 힘은 대부분의 시나리오에서 보슐루 테스트와 유사하다.$Z{\displaystyle }$ ${\displaystyle Z}$ -풀링$$ 테스트의 검정력이 더 큰 경우도 있으며, 대부분 1~5% 포인트의 차이를 보인다.9%포인트까지 차이가 나는 경우는 극히 드물다.

이 테스트는 버거 & 부스 절차에 의해서도 수정될 수 있다.그러나 결과 시험은 모든 시나리오에서 수정되지 않은 시험과 매우 유사한 힘을 가진다.

$정확$한 Z ${\displaystyle Z}$ -풀림되지$$ 않은 테스트

이 테스트는 테스트 통계를 기반으로 한다.

${\displaystyle Z_{U}(x_{1},x_{0})={\frac {{\hat {p}}_{1}-{\hat {p}}_{0}}{\sqrt {{\frac {{\hat {p}}_{1}(1-{\hat {p}}_{1})}{n_{1}}}+{\frac {{\hat {p}}_{0}(1-{\hat {p}}_{0})}{n_{0}}}}}},}$

여기서 $p{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$= x ${\displaystyle \frac{i_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{n_{}}{}}$ ${\$는 그룹$$ 이벤트 비율이다.

이 시험의 위력은 많은 시나리오에서 보슐루의 시험과 유사하다.$Z{\displaystyle }$ ${\displaystyle Z}$ -풀링되지$$ 않은 테스트의 검정력이 1 -5% 포인트로 더 큰 경우도 있다.그러나 다른 경우에는 보슐루 검사에서 최대 68%포인트 차이가 날 정도로 위력이 눈에 띄게 크다.

이 테스트는 버거 & 부스 절차에 의해서도 수정될 수 있다.결과 시험은 대부분의 시나리오에서 수정되지 않은 시험과 유사한 힘을 가진다.수정으로 전력이 상당히 개선되는 경우도 있지만 보슐루의 시험과 전체적인 전력비교는 변함이 없다.

소프트웨어

Boschloo의 테스트 계산은 다음과 같은 소프트웨어에서 수행할 수 있다.

• scipy.stats 함수가.SciPy에서 boschloo_exact.
• 패키지 프로그래밍 언어 R의 정확하고 정확한 2x2
• StatXact

참고 항목

• 피셔의 정확한 검사
• 바르나드 시험

참조