블럭 행렬 유사 반전

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수학에서 블럭 행렬 유사역전은 분할 행렬의 유사역전에 대한 공식이다.이것은 최소 제곱법에 기초한 신호 처리에서 매개변수를 업데이트하는 많은 알고리즘을 분해하거나 근사하게 하는데 유용하다.

파생

열로 분할된 행렬을 고려하십시오.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \end{bmatrix}},\quad \mathbf {A} \in \mathbb {R} ^{m\times n},\quad \mathbf {B} \in \mathbb {R} ^{m\times p},\quad m\geq n+p.}$

위의 행렬이 전체 순위일 경우, 무어-펜로스 역 행렬과 그 변위 행렬은 다음과 같다.

${\displaystyle{\begin{정렬}{\begin{bmatrix}\mathbf{A}&\mathbf{B}\end{bmatrix}}^{+}&, =\left({\begin{bmatrix}\mathbf{A}&\mathbf{B}\end{bmatrix}}^{\textsf{T}}{\begin{bmatrix}\mathbf{A}&\mathbf{B}\end{bmatrix}}\right)^{)}{\begin{bmatrix}\mathbf{A}&\mathbf{B}\end{bmatrix}}^{\textsf{T}},\\{\begin{bmatrix}\mathbf. {A}^{\textsf{T}}\\\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\end{bmatrix}}^{+}&={\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \end{bmatrix}}\left({\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \end{bmatrix}}^{\textsf {T}}{\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \end{bmatrix}}\right)^{-1}.\end{정렬}}}$

이러한 의사역전의 연산에는 (n + p)-제곱 행렬의 역전이 필요하며 블록 형식을 이용하지 않는다.

계산 비용을 n-제곱 행렬과 p-제곱 행렬로 줄이고, 블록을 별도로 취급하는 병렬 처리를 도입하기 위해, 1이 도출된다.

${\displaystyle{\begin{정렬}{\begin{bmatrix}\mathbf{A}&\mathbf{B}\end{bmatrix}}^{+}&, ={\begin{bmatrix}\mathbf{P}_{B}^{\perp}\mathbf{A}\left(\mathbf{A}^{\textsf{T}}\mathbf{P}_{B}^{\perp}\mathbf{A}\right)^{)}\\\mathbf{P}_{A}^{\perp}\mathbf{B}\left(\mathbf{B}^{\textsf{T}}\mathbf{P}_{A}^{\perp}\mathbf{B}\right)^.{)}\end{bmatrix}={\begin{bmatrix}\왼쪽(\mathbf {P} _{B}^{\perp }\mathbf {A} \오른쪽)^{+}\\\좌(\mathbf {P} _{A}^{\perp }\mathbf {B} \우)^{+}\end{bmatrix}}}{A}^{\textsf{T},\\{\begin{bmatrix}\mathbf, ={\begin{bmatrix}\mathbf{P}_{B}^{\perp}\mathbf{A}\left(\mathbf{A}^{\textsf{T}}\mathbf{P}_{B}^{\perp}\mathbf{A}\right)^{)},\quad \mathbf{P}_{A}^{\perp}\mathbf{B}\left(\mathbf{B}^{\textsf{T}}\mathbf{P}_{A}^{\perp}{B}^{\textsf{T}}\end{bmatrix}}^{+}& \\\mathbf.\mathbf {B} \right)^{-1}\end{bmatrix}={\begin{bmatrix}\왼쪽(\mathbf {A}^{\textsf {T}}\mathbf {P} _{B}^{\perp }\right)^{+}&\왼쪽(\mathbf {B}^{\textsf {T}\mathbf {P} _{A}^{\perp }\오른쪽)^{+}\end{bmatrix},\end{aigned}}}$

여기서 직교 투영 행렬은 다음에 의해 정의된다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} _{A}^{\perp }&=\mathbf {I} -\mathbf {A} \left(\mathbf {A} ^{\textsf {T}}\mathbf {A} \right)^{-1}\mathbf {A} ^{\textsf {T}},\\\mathbf {P} _{B}^{\perp }&=\mathbf {I} -\mathbf {B} \left(\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\mathbf {B} \right)^{-1}\mathbf {B} ^{\textsf {T}}.\end{정렬}}}$

위의 공식은[ ${\$이(가) 전체 순위를 가지지 않은 경우(예: ${\displaystyle \mathrm{A}}$≠ 0 ${\displaystysty \matbf {A} \neq0$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {A} \end{bmatrix}}^{+}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}\mathbf {A} ^{+}\\\mathbf {A} ^{+}\end{bmatrix}}\neq {\begin{bmatrix}\left(\mathbf {P} _{A}^{\perp }\mathbf {A} \right)^{+}\\\좌(\mathbf {P} _{A}^{\perp }\mathbf {A} \우)^{+}\end{bmatrix}=0}$

최소 제곱 문제에 적용

위와 같은 행렬에 따라, 우리는 다음과 같은 최소 제곱 문제를 고려하는데, 이는 다중 목표 최적화 또는 신호 처리의 제한된 문제로 나타난다.결국 다음과 같은 결과를 바탕으로 최소 제곱에 대해 병렬 알고리즘을 구현할 수 있다.

과도하게 결정된 최소 제곱의 열 분할

솔루션 $x{\displaystyle \mathbf{}}$=${\displaystyle }$[ ${\displaystyle \begin{array}{c}{\mathrm{}}_{}\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{c}{}_{}\\ {\mathbf{}}_{}\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{c}{\mathrm{}}_{}\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{c}{}_{}\end{array}}$ ${\$이(가) 초과 결정된 시스템을 해결한다고$$ 가정해 보십시오.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {A} ,&\mathbf {B} \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {x} _{1}\\\mathbf {x} _{2}\\\end{bmatrix}}=\mathbf {d} ,\quad \mathbf {d} \in \mathbb {R} ^{m\times 1}.}$

블록 매트릭스 사이비인버스(phosphinverse)를 사용하여

${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} ,&\mathbf {B} \end{bmatrix}}^{+}\,\mathbf {d} ={\begin{bmatrix}\left(\mathbf {P} _{B}^{\perp }\mathbf {A} \right)^{+}\\\좌(\mathbf {P} _{A}^{\perp }\mathbf {B} \우)^{+}\end{bmatrix}\mathbf {d} .}$

따라서, 우리는 다음과 같은 분해된 해결책을 가지고 있다.

${\displaystyle \mathbf {x} _{1}=\left(\mathbf {P} _{B}^{\perp }\mathbf {A} \right)^{+}\,\mathbf {d},\quad \mathbf {x} _{2}=\left(\mathbf {P} _{A}^{\perp }\mathbf {B} \right)^{+}\,\mathbf {d} .}$

결정되지 않은 최소 제곱의 행-와이 분할

솔루션 $x{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$이(가) 결정되지 않은 시스템을 해결한다고$$ 가정해 보십시오.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {A} ^{\textsf {T}}\\\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\end{bmatrix}}\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {e} \\\mathbf {f} \end{bmatrix}},\quad \mathbf {e} \in \mathbb {R} ^{n\times 1},\quad \mathbf {f} \in \mathbb {R} ^{p\times 1}.}$

최소 표준 용액은 다음과 같다.

${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} ^{\textsf {T}}\\\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\end{bmatrix}}^{+}\,{\begin{bmatrix}\mathbf {e} \\\mathbf {f} \end{bmatrix}}.}$

블록 매트릭스 사이비인버스(phosphinverse)를 사용하여

${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\왼쪽(\mathbf {A}) ^{\textsf{T}\mathbf {P} _{B}^{\perp }\오른쪽)^{+}&\왼쪽(\mathbf {B}^{\textsf {T}\mathbf {P} _{A}^{\perp }\오른쪽)^{+}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e}\\\mathbf {f}}\end{bmatrix}}}=\ef(\mathbf {A}^{\textsf{T}}}\mathbf{B}^{\perp}\오른쪽)^{+}\,\mathbf {e} +\왼쪽(\mathbf {B}) ^{\textsf {T}\mathbf {P} _{A}^{\perp }\오른쪽)^{+}\,\mathbf {f} .}$

행렬 반전 주석

([A는 B]T[A는 B])− 1{\displaystyle \mathbf{\left({\begin{bmatrix}\mathbf{A}&\mathbf{B}\end{bmatrix}}^{\textsf{T}}{\begin{bmatrix}\mathbf{A}&\mathbf{B}\end{bmatrix}}\right)}^{)}대신}, 우리가 직접 또는 indirectly[표창 필요한]는 경우에는 독창적인 연구를 계산할 필요가 있다.?]

${\displaystyle \left(\mathbf {A} ^{\textsf {T}}\mathbf {A} \right)^{-1},\quad \left(\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\mathbf {B} \right)^{-1},\quad \left(\mathbf {A} ^{\textsf {T}}\mathbf {P} _{B}^{\perp }\mathbf {A} \right)^{-1},\quad \left(\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\mathbf {P} _{A}^{\perp }\mathbf {B} \right)^{-1}.}$

밀도가 높고 작은 시스템에서는 단수 값 분해, QR 분해, 또는 숄스키 분해 등을 사용하여 행렬의 반전을 수치 루틴으로 대체할 수 있다.큰 시스템에서는 크릴로프 아공간 방법과 같은 반복적인 방법을 채택할 수도 있다.

Considering parallel algorithms, we can compute ${\displaystyle \left(\mathbf {A} ^{\textsf {T}}\mathbf {A} \right)^{-1}}$ and ${\displaystyle \left(\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\mathbf {B} \right)^{-1}}$ in parallel.Then, we finish to compute ${\displaystyle \left(\mathbf {A} ^{\textsf {T}}\mathbf {P} _{B}^{\perp }\mathbf {A} \right)^{-1}}$ and ${\displaystyle \left(\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\mathbf {P} _{A}^{\perp }\mathbf {B} \right)^{-1}}$ also in parall엘을

참고 항목

• 반전성 매트릭스 § 블록와이즈 반전

참조

외부 링크

• Mike Brookes의 매트릭스 참조 매뉴얼
• 존 버커트의 선형대수 용어집
• Kaare Brandt Petersen의 매트릭스 요리책
• 강의 8: [1]^{[permanent dead link]}tanford.edu/~boyd/Stephen P에 의한 미결정 방정식의 최소 표준 해법보이드]