블록 위데만 알고리즘

유한분야에 걸쳐 매트릭스의 커널 벡터를 계산하기 위한 블록 위데만 알고리즘은 더그 위데만으로 인한 알고리즘의 돈 코퍼스미스에 의한 일반화다.

위데만 알고리즘

Let ${\displaystyle M}$ be an ${\displaystyle n\times n}$ square matrix over some finite field F, let ${\displaystyle x_{\mathrm {base} }}$ be a random vector of length ${\displaystyle n}$, and let ${\displaystyle x=Mx_{\mathrm {base} }}$. Consider the sequence of vectors${\displaystyle S=\left[x,Mx,M^{2}x,\ldots \right]}$ obtained by repeatedly multiplying the vector by the matrix ${\displaystyle M}$; let ${\displaystyle y}$ be any other vector of length ${\displaystyle n}$, and consider the sequence of finite-field elements ${\displaystyle S_y=[y\cdot x}$${\$

We know that the matrix ${\displaystyle M}$ has a minimal polynomial; by the Cayley–Hamilton theorem we know that this polynomial is of degree (which we will call ${\displaystyle n_{0}}$) no more than ${\displaystyle n}$. Say ${\displaystyle \sum _{r=0}^{n_{0}}p_{r}M^{r}=0$$\}\}.$ 그러면 $\sum {\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{r}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{0}}}$ n ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{{}_{}}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{{}_{}}}}$ ${\displaystyle \cdot }$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle x^{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \sum \sum _{r=0$}^{0$}}}y_cdot (p_{r}(M^{r}x)))$$=0}$; 따라서 행렬의 최소 다항식은 시퀀스 $S{\displaystyle }${\$displaystyle S}$과(와) S ${\displaystyle y_{}}$ ${\$을(를) 소멸시킨다$.$

그러나 Berlekamp-Massey 알고리즘을 사용하면${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$sequence ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{0}}}$$$${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle S_{}}$ [${\displaystyle {}_{}}$i${\displaystyle }$+ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle ]}$= ${\displaystyle 0}$ L Q I [ + r ] = 0 ${\displaystyle \forall \mathrm{}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle$$\$sum \$sum _{i=0}^{L}}}}$의 일부 시퀀스 ${\displaystyle q_{}}$를 비교적 효율적으로 계산할 수 있다${\displaystyle {}_{}}$$S_{y}[{i+r}]=0\;\forall \;r}$. Our hope is that this sequence, which by construction annihilates ${\displaystyle y\cdot S}$, actually annihilates ${\displaystyle S}$; so we have ${\displaystyle \sum _{i=0}^{L}q_{i}M^{i}x=0}$.We then take advantage of the initial definition of ${\displaystyle x}$ to say ${\displaystyle M\sum _{i=0}^{L}q_{i}M^{i}x_{\mathrm {base} }=0}$ and so ${\displaystyle \sum _{i=0}^{L}q_{i}M^{i}x_{\mathrm {base} }}$ is a hopefully non-zero 커널 벡터($M{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ M$})$.

블록 Wedemann(또는 Coppersmith-Wedemann) 알고리즘

컴퓨터에 희박한 행렬 산술의 자연적인 구현은 기계 단어의 폭과 같은 수의 벡터에 대해 시퀀스 S를 병렬로 계산하는 것을 쉽게 한다 – 실제로, 일반적으로 하나의 벡터보다 그 많은 벡터에 대해 계산하는 것이 더 이상 필요하지 않을 것이다.프로세서가 여러 개 있으면 모든 시스템에서 병렬로 다른 랜덤 벡터 집합에 대한 시퀀스 S를 계산할 수 있다.

작은 행렬의 시퀀스를 제공하기 위해 Berlekamp-Massey 알고리즘을 일반화하면 다수의 벡터에 대해 생성된 시퀀스를 취하여 원래의 큰 행렬의 커널 벡터를 생성할 수 있다는 것이 밝혀졌다.You need to compute ${\displaystyle y_{i}\cdot M^{t}x_{j}}$ for some ${\displaystyle i=0\ldots i_{\max },j=0\ldots j_{\max },t=0\ldots t_{\max }}$ where ${\displaystyle i_{\max },j_{\max },t_{\max }}$ need to satIsfy t 최대>지금 나는 max+djmax+O(1){\displaystyle t_{\max}>,{\frac{d}{i_{\max}}}+{\frac{d}{j_{\max}}}+O(1)}과 y 나는{\displaystyle y_{나는}}은 길이 n의 요인의 시리즈지만, 연습에서}단위 벡터의 순서로 그리고 단순히를 작성 나는{\displaystyle y_{나는}는 y를 취할 수 있기그는 first $i{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {max}_{}}$ ${\$ 각 시간 t에 벡터에 입력된$$ 항목.

참조

Wedemann, D, "유한 분야에 걸친 희박한 선형 방정식 해결", IEEE Trans.inf. 이론 IT-32, 페이지 54-62, 1986.

D. 코퍼스미스, 블록 위데만 알고리즘, 수학(Math)을 통해 GF(2)를 통한 동종 선형 방정식 해결.62 (1994), 333-350.

빌라드가 1997년 발표한 연구보고서 '매트릭스 다항식을 이용한 코퍼스미스의 블록 위데만 알고리즘 연구'(표지 소재는 프랑스어지만 내용은 영어로 된 것)는 합리적인 설명이다.

벡터 다항식을 조성하고, 블록 위데만 알고리즘의 개선의 Thomé의 종이'Subquadratic 계산은 벡터 다항식을 조성하고 산정을 위한, 그리고imax 방침을 실용적인 구현을 설명한 더 정교한FFT-based 알고리즘을 사용합니다 jmax=4사용되는 계산을 하는 커널 벡터의484603×484603 기질의 항목 이용해odulo2-1⁶⁰⁷, 따라서 GF(2⁶⁰⁷) 필드의 이산 로그 계산.