베타 배포 와 관련된 콤팩트 서포트(compact support )의 연속 웨이블렛을 구축할 수 있다.[1] 이 과정은 흐릿한 파생상품을 이용한 확률분포에서 도출된다. 이 새로운 파동들은 단지 하나의 순환을 가지고 있기 때문에 그들은 외발 파동이라고 불린다. 그것들은 두 개의 매개변수 α[\displaystyle \alpha β[\displaystyle \beta 부드러운 하어 웨이블렛 의 종류 로 볼 수 있으며, 이들의 중요성은 그네덴코와 콜모고로프가 콤팩트하게 지원 하는 신호에 적용한 중앙 한계 정리 때문이다.[2]
베타 분포 베타 분포 는 구간 0 ≤ t ≤ 1 displaystyle 0\leq t\leq 1} , α {\displaystyle \alpha } β {\displaystyle \beta }
P ( t ) = 1 B ( α , β ) t α − 1 ⋅ ( 1 − t ) β − 1 , 1 ≤ α , β ≤ + ∞ {\displaystyle P(t)={\frac {1}{B(\alpha ,\beta )}}t^{\alpha -1}\cdot (1-t)^{\beta -1},\quad 1\leq \alpha ,\beta \leq +\infty }
The normalising factor is B ( α , β ) = Γ ( α ) ⋅ Γ ( β ) Γ ( α + β ) {\displaystyle B(\alpha ,\beta )={\frac {\Gamma (\alpha )\cdot \Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta )}}}
여기서 γ ⋅ {\displaystyle \Gamma (\cdot )} 오일러의 일반화된 요인 함수 이고, B(⋅, ⋅), {\displaystyle B(\cdot ,\cdot )} 베타 함수 다[3]
그덴코-콜모고로프 중앙 한계 정리 재방문 p i t {\displaystyle p_{i}(t)} i {\ displaystyle t_{i i 1 2 3 . N {\displaystyle i=1,2,3.. 아니 ,
p i t ≥ {\displaystyle p_{i}(t)\geq }, ∀ t {\displaystyle (\forall )}, ∫ ∞ i ( ) 1 {-\int _{-\ft i} =1}.
모든 변수가 독립적이라고 가정해 보십시오.
주어진 랜덤 변수 t i {\ displaystyle t_{i}
m i = ∫ − ∞ + ∞ τ ⋅ p i ( τ ) d τ , {\displaystyle m_{i}=\int _{-\infty }^{+\infty }\tau \cdot p_{i}(\tau )d\tau ,} σ i 2 = ∫ − ∞ + ∞ ( τ − m i ) 2 ⋅ p i ( τ ) d τ {\displaystyle \sigma _{i}^{2}=\int _{-\infty }^{+\infty }(\tau -m_{i})^{2}\cdot p_{i}(\tau )d\tau }
The mean and variance of t {\displaystyle t} m = ∑ i = 1 N m i {\displaystyle m=\sum _{i=1}^{N}m_{i}} σ 2 = ∑ i = 1 N σ i 2 {\displaystyle \sigma ^{2}=\sum _{i=1}^{N}\sigma _{i}^{2}}
합계 t ∑ 1 t i {\ displaystyle =\sum _{i=1}^{N}t_{i}}} 농도 t {\displaystyle p (t)}
콤팩트 서포트 분포에 대한 중앙 한계 정리(그네덴코와 콜모고로프). [2]
{ p i t {\displaystyle \{ p_ {i }( t )\}} a ,i , b {\displaystyle Supp\{p_{i}(t)\}=(a_{i},b_{i 모든 ) 되도록 .
a ∑ 1 a ∞ \displaystyle =\sum _{i=1}^{{n}a_{{n {{ }}}<+\ fty }}}, b 1 displaystysty b=\sum _{i=1}b_{n}+\ft
일반성을 상실하지 않고 0 {\displaystyle =0} b 1 {\displaystyle b=1} .
The random variable t {\displaystyle t} N → ∞ {\displaystyle N\rightarrow \infty } p ( t ) ≈ {\displaystyle p(t)\approx } { k ⋅ t α ( 1 − t ) β , o t h e r w i s e {\displaystyle {\begin{cases}{k\cdot t^{\alpha }(1-t)^{\beta }},\\otherwise\end{cases}}}
where α = m ( m − m 2 − σ 2 ) σ 2 , {\displaystyle \alpha ={\frac {m(m-m^{2}-\sigma ^{2})}{\sigma ^{2}}},} β = ( 1 − m ) ( α + 1 ) m . {\displaystyle \beta ={\frac {(1-m)(\alpha +1)}{m}}. }
베타 웨이블렛 P(⋅ α β displaystyle P(\cdot \alpha beta )} 단모형 이기 때문에 에 의해 생성되는 웨이블릿
ψ b e t a ( t α , β ) = ( − 1 ) d P ( t α , β ) d t {\displaystyle \psi _{beta}(t \alpha ,\beta )=(-1){\frac {dP(t \alpha ,\beta )}{dt}}}
파라미터α {\displaystyle \alpha } β {\displaystyle \beta }
S u p p ( ψ ) = [ − α β α + β + 1 , β α α + β + 1 ] = [ a , b ] . {\displaystyle Supp(\psi )=[-{\sqrt {\frac {\alpha }{\beta }}{\sqrt {\alpha +\beta +1},{\sqrt {\fraca }}{\sqrapa +1}=[a,b]. }
l e n g t h S u p p ( ψ ) = T ( α , β ) = ( α + β ) α + β + 1 α β . {\displaystyle lengthSupped(\psi )=T(\alpha ,\beta )=(\alpha +\beta ){\sqrt {\frac {\alpha +\beta +1}{\alpha \beta }}}}}. }
매개변수 R b a β α {\displaystyle R=b/ =\beta /\alpha } 첫 번째에서 두 번째 절반 사이클까지의z e o o o {\ displaystyle t_{zerocross}
t z e r o c r o s s = ( α − β ) ( α + β − 2 ) α + β + 1 α β . {\displaystyle t_{zerocross}={\frac {(\fract -\prox )}{\fract -2}}:{\frac {\fract +\propert +1}{\fract \pross }}}}}}. }
파도와 관련된 (단일) 척도 함수는 다음과 같이 주어진다.
ϕ b e t t α β 1 B α T α β - 1 ⋅ t a α ⋅ b t β {\displaysty \phi \{beta ,\fr \lapa }={B(\ alpha ,beta ,beta )T^{\alpha +\beta -1}\cdot (t-a)^{\alpha -1}\cdot (b-t)^{\beta -1},} a ≤ t ≤ b {\displaysty a\leq t\leq b
1차 베타 웨이브에 대한 폐쇄형 표현은 쉽게 도출할 수 있다. 그들의 지지 안에서,
ψ b e t a ( t α , β ) = − 1 B ( α , β ) T α + β − 1 ⋅ [ α − 1 t − a − β − 1 b − t ] ⋅ ( t − a ) α − 1 ⋅ ( b − t ) β − 1 {\displaystyle \psi _{beta}(t \alpha ,\beta )={\frac {-1}{B(\alpha ,\beta ) T^{\alpha +\beta -1}\cdot [{\frac {\alpha -1}{t-a}-{t-}-{\frac {\beta -1}{b-t}}}]\cdot (t-a)^{\alpha -1}\cdot (b-t)^{\b-1}{\b-1}:{\ba -1}:{na -1}:{n1}
Figure. Unicyclic beta scale function and wavelet for different parameters: a) α = 4 {\displaystyle \alpha =4} β = 3 {\displaystyle \beta =3} α = 3 {\displaystyle \alpha =3} β = 7 {\displaystyle \beta =7} α = 5 {\displaystyle \alpha =5} β = 17 {\displaystyle \beta =17} 베타 웨이블렛 스펙트럼 베타 웨이블렛 스펙트럼은 쿠머 초지하학 함수의 측면에서 도출할 수 있다.[4]
Let ψ b e t a ( t α , β ) ↔ Ψ B E T A ( ω α , β ) {\displaystyle \psi _{beta}(t \alpha ,\beta )\leftrightarrow \Psi _{BETA}(\omega \alpha ,\beta )}
또한 이 스펙트럼은 ψ B E A Ω {\displaystyle \Psi _{ }(\omega ) Fourier 변환의 속성을 적용하여 증명할 수 있다.
Ψ B E T A ( ω ) = − j ω ⋅ M ( α , α + β , − j ω ( α + β ) α + β + 1 α β ) ⋅ e x p { ( j ω α ( α + β + 1 ) β ) } {\displaystyle \Psi _{BETA}(\omega )=-j\omega \cdot M(\alpha ,\alpha +\beta ,-j\omega (\alpha +\beta ){\sqrt {\frac {\alpha +\beta +1}{\alpha \beta }}})\cdot exp\{(j\omega {\sqrt {\frac {\alpha (\alpha +\beta +1)}{\beta }}})\}}
where M ( α , α + β , j ν ) = Γ ( α + β ) Γ ( α ) ⋅ Γ ( β ) ⋅ ∫ 0 1 e j ν t t α − 1 ( 1 − t ) β − 1 d t {\displaystyle M(\alpha ,\alpha +\beta ,j\nu )={\frac {\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha )\cdot \Gamma (\beta )}}\cdot \int _{0}^{1}e^{j\nu t}t^{\alpha -1}(1-t)^{\beta -1}dt}
대칭(α β {\displaystyle(\alpha =\beta )} 그림에는 몇 개의 α β displaystyle(\alpha \neq \beta )} Inquisitively, they are parameter-symmetrical in the sense that they hold Ψ B E T A ( ω α , β ) = Ψ B E T A ( ω β , α ) . {\displaystyle \Psi _{BETA}(\omega \alpha ,\beta ) = \Psi _{BETA}(\omega \beta ,\alpha ) .}
더 높은 파생상품은 더 많은 베타 웨이블렛을 생성할 수도 있다. Higher order beta wavelets are defined by ψ b e t a ( t α , β ) = ( − 1 ) N d N P ( t α , β ) d t N . {\displaystyle \psi _{beta}(t \alpha ,\beta )=(-1)^{N}{\frac {d^{N}P(t \alpha ,\beta )}{dt^{N}}}. }
이를 N {\displaystyle N}- 그것들 N ≤ Mi α β ) {\displaystyle N\leq Min(\alpha ,\beta )-1} .
Ψ b e t a ( t α , β ) = ( − 1 ) N B ( α , β ) ⋅ T α + β − 1 ∑ n = 0 N s g n ( 2 n − N ) ⋅ Γ ( α ) Γ ( α − ( N − n ) ) ( t − a ) α − 1 − ( N − n ) ⋅ Γ ( β ) Γ ( β − n ) ( b − t ) β − 1 − n . {\displaystyle \Psi _{beta}(t \alpha ,\beta )={\frac {(-1)^{N}}{B(\alpha ,\beta )\cdot T^{\alpha +\beta -1}}}\sum _{n=0}^{N}sgn(2n-N)\cdot {\frac {\Gamma (\alpha )}{\Gamma (\alpha -(N-n))}}(t-a)^{\alpha -1-(N-n)}\cdot {\frac {\Gamma (\beta )}{\Gamma (\beta -n)}}(b-t)^{\beta -1-n}. }
Figure. Magnitude of the spectrum Ψ B E T A ( ω ) {\displaystyle \Psi _{BETA}(\omega )} Ψ B E T A ( ω α , β ) {\displaystyle \Psi _{BETA}(\omega \alpha ,\beta ) } × ω {\displaystyle \times \omega } α = β = 3 {\displaystyle \alpha =\beta =3} α = β = 4 {\displaystyle \cHB =\cHB =4 α β 5 {\displaystyle \cHB =\cHB =5} Figure. Magnitude of the spectrum Ψ B E T A ( ω ) {\displaystyle \Psi _{BETA}(\omega )} Ψ B E T A ( ω α , β ) {\displaystyle \Psi _{BETA}(\omega \alpha ,\beta ) } × ω {\displaystyle \times \omega } 비대칭 베타 웨이브 α 3 {\displaystyle \alpha =3 β {\displaystyle \beta =4}, α 3 {\displaystyle \alpha =3 β 5 {\displaystystyle \beta =5 적용 웨이블렛 이론은 여러 과목에 적용된다. 모든 파장 변환은 연속 시간(아날로그) 신호에 대한 시간 주파수 표현 형태로 간주될 수 있으므로 고조파 분석과 관련이 있다. 실질적으로 유용한 거의 모든 이산형 파장 변환은 이산 시간 필터 뱅크를 사용한다. 마찬가지로 베타 웨이블렛과[1] [5] [5] [6] [7] [8]
참조 ^ a b de Oliveira, Hélio Magalhães; Schmidt, Giovanna Angelis (2005). "Compactly Supported One-cyclic Wavelets Derived from Beta Distributions" . Journal of Communication and Information Systems . 20 (3): 27–33. doi :10.14209/jcis.2005.17 ^ a b Gnedenko, Boris Vladimirovich; Kolmogorov, Andrey (1954). Limit Distributions for Sums of Independent Random Variables . Reading, Ma: Addison-Wesley. ^ Davis, Philip J. (1968). "Gamma Function and Related Functions" . In Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene (eds.). Handbook of Mathematical Functions . New York : Dover . pp. 253–294. ISBN 0-486-61272-4 ^ Slater, Lucy Joan (1968). "Confluent Hypergeometric Function" . In Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene (eds.). Handbook of Mathematical Functions . New York : Dover . pp. 503–536. ISBN 0-486-61272-4 ^ a b Ben Amar, Chokri; Zaied, Mourad; Alimi, Adel M. (2005). "Beta wavelets. Synthesis and application to lossy image compression" . Advances in Engineering Software . Elsevier. 36 (7): 459–474. doi :10.1016/j.advengsoft.2005.01.013 . ^ Kumar, Ranjeet; Kumar, Anil; Pandey, Rajesh K. (2012). "Electrocardiogram Signal compression Using Beta Wavelets" . Journal of Mathematical Modelling and Algorithms . Springer Verlag . 11 (3): 235–248. doi :10.1007/s10852-012-9181-9 . S2CID 4667379 . ^ Kumar, Ranjeet; Kumar, Anil; Pandey, Rajesh K. (2013). "Beta wavelet based ECG signal compression using lossless encoding with modified thresholding" . Computers & Electrical Engineering . Elsevier . 39 (1): 130–140. doi :10.1016/j.compeleceng.2012.04.008 . ^ Zaied, Mourad; Jemai, Olfa; Ben Amar, Chokri (2008). "Training of the Beta wavelet networks by the frames theory: Application to face recognition" . 2008 First Workshops on Image Processing Theory, Tools and Applications . IEEE . pp. 1–6. doi :10.1109/IPTA.2008.4743756 . eISSN 2154-512X . ISBN 978-1-4244-3321-6 ISSN 2154-5111 . S2CID 12230926 .
추가 읽기 외부 링크 
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(가) 
![{\displaystyle Supp(\psi )=[-{\sqrt {\frac {\alpha }{\beta }}}{\sqrt {\alpha +\beta +1}},{\sqrt {\frac {\beta }{\alpha }}}{\sqrt {\alpha +\beta +1}}]=[a,b].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/faa06c49ad84eb65113d1f1596540aba1e016d85)
![{\displaystyle \psi _{beta}(t|\alpha ,\beta )={\frac {-1}{B(\alpha ,\beta )T^{\alpha +\beta -1}}}\cdot [{\frac {\alpha -1}{t-a}}-{\frac {\beta -1}{b-t}}]\cdot (t-a)^{\alpha -1}\cdot (b-t)^{\beta -1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13fd943e6f25952bc077b5a48c60d5462379a0ad)
