거의 모든 형태의 모듈형 형태

수학에서 거의 홀로모르픽 모듈형 형태라고도 하는 거의 홀로모르픽 모듈형 형태는 of의 홀로모르픽 함수인 계수를 가진 1/Im(τ)의 다항식인 모듈형 형태의 일반화다. quasimodular 형태는 거의 홀로모르픽 모듈형 형태의 홀로모르형 부분이다.거의 홀로모픽 모듈형 형태는 그것의 홀로모픽 부분에 의해 결정되므로, 홀로모픽 부분을 취합하는 운영은 거의 홀로모픽 모듈형 형태와 퀘이모드 형태의 공간 사이에 이형성을 부여한다.퀘이모듈라 형태의 원형적 예로는 아이젠슈타인 시리즈 E₂(τ) (Eenstein series E(τ₂) (τ) ( () - 3/(Im(τ)의 거의 홀로모픽 모듈형 형태 중 홀로모픽 부분)과 모듈형 형태의 파생형이 있다.

대표이론의 관점에서 모듈형 형태는 SL₂(R)의 특정 이산 직렬 표현에서 가장 높은 무게 벡터에 대략 대응되는 반면, 거의 모든 홀모형 또는 quasimodular 형태는 이러한 표현에서 거의 다른 (가장 높은 무게는 아님) 벡터에 대략 대응한다.

정의들

표기법을 단순화하기 위해 이 절은 수준 1 사례를 다루며, 상위 레벨로의 확장은 간단하다.

레벨 1 거의 홀모픽 모듈형 형태는 상반면에 다음과 같은 특성을 갖는 함수 f이다.

f transforms like a modular form: $f((a\tau +b)/(c\tau +d))=(c\tau +d)^{k}f(\tau )$ for some integer k called the weight, for any elements of SL₂(Z) (that is: a, b, c, d are integers with ad - bc = 1).
q=e의^2πiτ 함수로서 f는 q의 홀로모르픽 함수인 계수를 갖는 1/Im(τ)의 다항식이다.

레벨 1 quasimodular 형식은 거의 모든 형태의 모듈형 형태의 상수 항으로 정의된다(/Im(ii)에서 다항식으로 간주됨).

구조

The ring of almost holomorphic modular forms of level 1 is a polynomial ring over the complex numbers in the three generators $E_{2}(\tau )-3/\pi \Im (\tau ),E_{4}(\tau ),E_{6}(\tau )$ . Similarly the ring of quasimodular forms of level 1 is a polynomial ring over3개의 발전기 E $E_{2}(\tau ),E_{4}(\tau ),E_{6}(\tau )$ ( $E_{2}(\tau ),E_{4}(\tau ),E_{6}(\tau )$ ) $E_{2}(\tau ),E_{4}(\tau ),E_{6}(\tau )$ , E $E_{2}(\tau ),E_{4}(\tau ),E_{6}(\tau )$ ( $E_{2}(\tau ),E_{4}(\tau ),E_{6}(\tau )$ ) $E_{2}(\tau ),E_{4}(\tau ),E_{6}(\tau )$ , $E_{2}(\tau ),E_{4}(\tau ),E_{6}(\tau )$ 6 ( $E_{2}(\tau ),E_{4}(\tau ),E_{6}(\tau )$ ) , ${\displaystyle E_{2}(\tau$ ), $E_{4}(\tau$ ), $E_{6}(\tau )}$ .

퀘이모듈라 형태는 특정 제트기 묶음의 섹션으로 해석될 수 있다.^[1]

파생상품

라마누잔은 어떤 퀘이모듈라 형태의 파생물이 또 다른 퀘이모듈라 형태라고 관찰했다.^[2]예를 들어,

{\begin{aligned}{\frac {1}{2\pi i}}{\frac {dE_{2}}{d\tau }}&={\frac {E_{2}^{2}-E_{4}}{12}}\\[6pt]{\frac {1}{2\pi i}}{\frac {dE_{4}}{d\tau }}&={\frac {E_{2}E_{4}-E_{6}}{3}}\\[6pt]{\frac {1}{2\pi i}}{\frac {dE_{6}}{d\tau }}&={\frac {E_{2}E_{6}-E_{4}^{2}}{2}}\end{aligned}}

일부 수준의 퀘이모듈라 형태에 의해 생성된 장은 C에 대한 초월도 3을 가지므로, 이는 어떤 퀘이모듈라 형태도 순서 3의 비선형 미분 방정식을 만족한다는 것을 의미한다.예를 들어 아이젠슈타인 시리즈 E는₂ 채지 방정식(상수를 주거나 몇 개 취함)을 만족시킨다.

참조

^ 모바사티(2012, 부록 A)
^ *Ramanujan, Srinivasa (1916), "On certain arithmetical functions", Trans. Camb. Philos. Soc., 22 (9): 159–184, MR 2280861

Movasati, Hossein (2012), "Quasi-modular forms attached to elliptic curves, I", Ann. Math. Blaise Pascal, 19 (2): 307–377, MR 3025138
Zagier, Don (2008), "Elliptic modular forms and their applications", in Ranestad, Kristian (ed.), The 1-2-3 of modular forms. Lectures at a summer school in Nordfjordeid, Norway, June 2004, Universitext, with Bruinier, Jan Hendrik; van der Geer, Gerard; Harder, Günter, Berlin: Springer-Verlag, pp. 1–103, doi:10.1007/978-3-540-74119-0, ISBN 978-3-540-74117-6, MR 2409678, Zbl 1197.11047

[1] 모바사티(2012, 부록 A)

[2] *Ramanujan, Srinivasa (1916), "On certain arithmetical functions", Trans. Camb. Philos. Soc., 22 (9): 159–184, MR 2280861

[1]

[2]

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