모두 하나의 다항식

수학에서 모든 하나의 다항식(AOP)은 모든 계수가 하나인 다항식이다.순서 2의 유한분야에 걸쳐서, AOP가 다시 해석될 수 없는 조건이 알려져 있어, 특성 2의 유한분야에서 곱셈을 위한 효율적인 알고리즘과 회로를 정의하는데 이 다항식을 사용할 수 있다.^[1]AOP는 동일한 간격으로 배열된 다항식이다.^[2]

정의

도 m의 AOP는 계수 1을 가진^m x부터⁰ x까지의 모든 항을 가지며, 다음과 같이 기록할 수 있다.

AOP_{m}(x)=\sum _{i=0}^{m}x^{i}}}}

또는

AOP_{m}(x)=x^{m}+x^{m-1}+\cdots +x+1

또는

AOP_{m}(x)={x^{m+1}-1 \over {x-1}.

따라서 도 m의 모든 단일한 다항식의 뿌리는 단결 그 자체 외에 모두 (m+1)단결의 제1근이다.

GF(2) 이상의 AOP에는 다음과 같은 많은 흥미로운 특성이 있다.

AOP의 해밍 중량은 m + 1로, 그 정도에^[3] 대해 가능한 최대값이다.
AOP는 m + 1이 prime이고 2가^[1] prime이 있는 원시 루트 modulo m + 1(gF(p) 위에 있는 경우, m + 1이 prime이고 p가 p가 prime인 경우에만 rereducable이다)이다.
원시² 다항식인 유일한 AOP는 x + x + 1이다.

해밍의 무게가 크다는 사실에도 불구하고, 표현의 용이성 및 기타 개선사항 때문에 코딩 이론과 암호화와 같은 분야에서 효율적인 구현이 이루어지고 있다.^[1]

$\mathbb {Q}$ ${\$ 에 걸쳐 $\mathbb {Q}$ AOP는 m + 1이 prime p일 때마다 다시 해석할 수 없으며, 따라서 이러한 경우 pth 사이클로토믹 다항식이다.^[4]

^ ^a ^b ^c Cohen, Henri; Frey, Gerhard; Avanzi, Roberto; Doche, Christophe; Lange, Tanja; Nguyen, Kim; Vercauteren, Frederik (2005), Handbook of Elliptic and Hyperelliptic Curve Cryptography, Discrete Mathematics and Its Applications, CRC Press, p. 215, ISBN 9781420034981.
^ Itoh, Toshiya; Tsujii, Shigeo (1989), "Structure of parallel multipliers for a class of fields GF(2^m)", Information and Computation, 83 (1): 21–40, doi:10.1016/0890-5401(89)90045-X.
^ Reyhani-Masoleh, Arash; Hasan, M. Anwar (2003), "On low complexity bit parallel polynomial basis multipliers", Cryptographic Hardware and Embedded Systems - CHES 2003, Lecture Notes in Computer Science, vol. 2779, Springer, pp. 189–202, doi:10.1007/978-3-540-45238-6_16.
^ Sugimura, Tatsuo; Suetugu, Yasunori (1991), "Considerations on irreducible cyclotomic polynomials", Electronics and Communications in Japan, 74 (4): 106–113, doi:10.1002/ecjc.4430740412, MR 1136200.