특이점k

수학, 특히 특이점 이론에서, k ≥ $0$ 이 정수인 $A k$ 특이점은 함수의 퇴화 수준을 설명합니다.이 표기법은 V에 의해 도입되었습니다. I. 아놀드.

$f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ : $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ n $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ → $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ { $displaystyle$ f $:\mathbb {R}^{n}\to \mathbb {R}$ 가 $f:\mathbb {R}^{n}\to \mathbb {R$ 매끄러운 함수라고 합니다.우리는 $\Omega (\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} )$ ( $\Omega (\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} )$ ) \ $displaystyle \Omega (\mathbb {R}^{n},\mathbb {R})$ 로 $\Omega(\mathbb {R}^{n},\mathbb {R})$ 그러한 모든 함수의 무한 차원 공간을 나타냅니다.diff ⁡ (Rn) \displaystyle \operatorname {diff} (\mathbb {R} ^{n})}가 미분 동형 Rn → Rn, \displaystyle \mathbb {R} ^{n}에 대한 무한 차원 Lie 그룹을 나타내고, diff (R) 스타일 \operatorname {diff}(\mathb{R})은 R-Diffiniminite-Diffinite-Diffinite형 R-Displaystymetylediffinite \ $mathbb {R}$ \ $to \mathbb {R}$ .} $\operatorname {diff} (\mathbb {R} ^{n})\times \operatorname {diff} (\mathbb {R} )$ 그룹 diff $\operatorname {diff} (\mathbb {R} ^{n})\times \operatorname {diff} (\mathbb {R} )$ $\operatorname {diff} (\mathbb {R} ^{n})\times \operatorname {diff} (\mathbb {R} )$ $\operatorname {diff} (\mathbb {R} ^{n})\times \operatorname {diff} (\mathbb {R} )$ × diff $\operatorname {diff} (\mathbb {R} ^{n})\times \operatorname {diff} (\mathbb {R} )$ ( $)$ \ $displaystyle$ \ $operatorname$ {diff} (\ $mathbb$ {R $} ^{$ $})\times$ \ $operatorname$ {diff} (\ $mathbb$ { $R})는$ ( $,$ R $)$ 에 작용합니다 $.$ \ $mathbb {R}}$ 을 $\Omega(\mathbb {R}^{n},\mathbb {R})$ (를) 다음과 같은 방법으로 사용합니다. $\varphi :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ $\psi :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ : $\varphi :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ R $\psi :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $\psi :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ${{n$ }^{ $n}$ \ $to \mathbb {R} ^{n$ 및 $\psi :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ψ : $\psi :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ R \ $displaystyle \psi$ : \ $mathbbb {R}$ \ $to$ $\mathbb{$ R}는 $\psi :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ 이고 $→$ 매끄러운 함수 { $R}$ 입니다 $f:\mathbb {R}^{n}\to \mathbb {R$ $.$ 그룹 작업을 다음과 같이 정의합니다.

displaystyle(\varphi,\psi)\cdot f:=\psi \cdot f\filename \varphi ^{-1}}

이 그룹 작용의 f, 즉 orb $(f)$ 의 궤도는 다음과 같이 주어진다.

display{style{mbox{orb}(f)=\{\psi \syslog f\colon \varphi ^{-1}:\varphi \in{mbox{diff}(\mathbb{R}^{n})},\psi \in{mbox{diff}(\mathbb{R})\}\}.

이 작용의 주어진 궤도의 구성원들은 다음과 같은 사실을 공통적으로 가지고 있습니다. 우리는 $\mathbb {R} ^{n}$ {\ $displaystyle \mathbb {R} ^{n$ }}에서 미분 동형 좌표 변화와 R ${$ 에서 $\mathbb {R}$ 미분 동형 좌표 변화를 찾을 수 있습니다. $함수$ f는 다음의 궤도에 놓여 있으면 A형 $k$ 특이점을 갖는다고 합니다.

표시 스타일 f(x_{1},\ldots,x_{n})=1+\varepsilon_{1}x_{1}^{2}+\cdots +\varepsilon_{n-1}x_{n-1}^{2}\pm x_{n}^{k+1}}}

여기서 $\varepsilon _{i}=\pm 1$ i $=$ ± ${{i}=\pm$ 1 $}$ 이고 $\varepsilon_i = \pm 1$ k $π$ 0은 정수입니다.

정상적인 형태로 우리는 주어진 궤도의 특히 단순한 대표자를 의미합니다.위의 $forf$ 표현식은 A-특이성 $k$ 유형에 대한 정규 형식을 제공합니다.A형 $k$ 특이점은 단순 특이점에 속하기 때문에 특별하며, 이는 $off$ 궤도의 충분히 작은 이웃에 다른 궤도가 유한하다는 것을 의미합니다.

이 개념은 정규 형태가 훨씬 단순한 복소수로 확장됩니다. 예를 들어, $π i$ $=$ + $1$ 과 $π i$ = $-1$ 을 구별할 필요가 없습니다.

레퍼런스

Arnold, V. I.; Varchenko, A. N.; Gusein-Zade, S. M. (1985), The Classification of Critical Points, Caustics and Wave Fronts: Singularities of Differentiable Maps, Vol 1, Birkhäuser, ISBN 0-8176-3187-9

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