에어리 제타 함수

수학에서 크랜달(1996)이 연구한 에어리 제타 함수는 리만 제타 함수와 유사한 함수로 에어리 함수의 0과 관련이 있다.

정의

에어리 함수

${\displaystyle \mathrm {Ai}(x)={\frac {1}{\pi }\int _{0}^{\inflt }\cos \left({3}t^{3}}+xt\right)\,dt,}$

양의 x에 대해서는 양수지만 x의 음수 값에 대해서는 진동한다.The Airy zeros are the values ${\displaystyle \{a_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ at which ${\displaystyle {\text{Ai}}(a_{i})=0}$, ordered by increasing magnitude: ${\displaystyle a_{1} < a_{2} <\cdots }$ .

에어리 제타 함수는 시리즈에 의해 0의 이 시퀀스에서 정의되는 함수다.

${\displaystyle \zeta _{\mathrm {Ai}}=\sum _{i=1}^{\frac {1}{a_{i}^{s}}}.}$

이 시리즈는 s의 실제 부분이 3/2보다 클 때 수렴되며, s의 다른 값에 대한 분석적 연속성에 의해 확장될 수 있다.

정수에서의 평가

값 $\zeta {\displaystyle }$(${\displaystyle 2}$) = ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 2\mathrm{}{}^{}}$/ 6 $[\displaystyle \zeta (2)=\pi ^{2}/6}$이 바젤 문제에 대한 해결책인$$ 리만 제타 함수처럼 에어리 제타 함수는 s = 2:

${\displaystyle \jeta _{\mathrm {Ai}=\sum _{i=1}^{{i}^{2}}:{\frac {1}{a_{i}^{2}}={\frac {3}}\frac {2}{3}}}}}\4}{4pi ^{{2}},}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma}$은(는) 감마함수로, 요인의 연속 변종이다.s의 더 큰 정수 값에도 유사한 평가가 가능하다.

에어리제타 함수의 분석적 연속성은 1에서 1까지 평가한다고 추측된다.

${\displaystyle \jeta _{\mathrm {Ai}(1)={\frac {-3^{-2/3}\Gamma({\frac {2}{3}})({\frac {4}{3}}}}}}).}$

참조

• Crandall, Richard E. (1996), "On the quantum zeta function", Journal of Physics A: Mathematical and General, 29 (21): 6795–6816, Bibcode:1996JPhA...29.6795C, doi:10.1088/0305-4470/29/21/014, ISSN 0305-4470, MR 1421901

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Airy Zeta Function". MathWorld.