사프만-테일러 불안정

사프만-테일러 불안정성은 점성 운지이라고도 알려져 있으며, 다공성 매체에서 두 유체 사이의 형태학적으로 불안정한 인터페이스에서 패턴의 형성이며, 필립 사프만과 G. I가 수학적으로 기술하고 있다. 1958년 신문에 실린 테일러.^[1][2] 이러한 상황은 토양과 같은 매체를 통한 배수 과정에서 가장 자주 발생한다.^[3] 점성이 낮은 액체를 주입하여 점성이 높은 액체를 치환할 때 발생한다. 역 상황에서는 점성이 다른 액체를 치환할수록 인터페이스가 안정적이고 불안정성이 보이지 않는다. 기본적으로 동일한 효과는 인터페이스가 수평이고 서로 다른 밀도의 두 유체를 분리하는 경우 중력에 의해(주입 없이) 발생한다. 다른 유체보다 무거운 유체: 이것을 Rayleigh-Taylor 불안정성이라고 한다. 직사각형 구성에서 시스템은 단 하나의 손가락(Safman-Taylor 핑거)이 형성될 때까지 진화하며, 방사형 구성에서 패턴은 연속적인 팁 분할에 의해 손가락을 형성하여 성장한다.^[4]

점성 운지법에 대한 대부분의 실험 연구는 점성 액체를 함유한 두 장의 촘촘한 간격으로 평행한 유리판으로 구성된 힐쇼 세포에 대해 수행되었다. 가장 일반적인 두 가지 설정은 채널의 한쪽 끝에서 점성이 낮은 액체를 주입하는 채널 구성과 셀 중앙에서 점성이 낮은 액체를 주입하는 방사형 구성이다. 점성 운지법과 유사한 불안정성은 생물학적 시스템에서도 자가 생성될 수 있다.^[5]

평면 인터페이스의 파생

불안정성의 가장 간단한 경우는 다공성 매체나 헬레쇼 셀 내의 평면 인터페이스에서 발생하며, 사프만과 테일러에^[1] 의해 다루어졌지만 다른 작가들에 의해서도 일찍이 다루어졌다.^[6] 점성 $\mu {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$${\$$displaystyle \mu _{1$}의 유체는 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ 방향으로$$ V$$ ${\displaystyle V}$에서 $점성{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mu \mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$ _${2$}}의 다른 유체로$$구동된다. 다공성 매체의 투과성을 상수, 동위원소성, 동위원소성 $pi$ Pi \darc.법에서는 두 $유체{\displaystyle \mathrm{i}}$ =${\displaystyle }$1, ${\displaystyle 2\mathrm{}}${\$displaystyle i=1,\,2}$에 있는 흔들림 없는 압력장을 다음과 같이$$ 한다.

where ${\displaystyle p_{\text{int}}}$ is the pressure at the planar interface, working in a frame where this interface is instantaneously given by ${\displaystyle x=0}$. Perturbing this interface to ${\displaystyle x=\eta _{0}\exp {\left(\mathrm {i} ky+\sigma t\right)}}$ ($x{\displaystyle }$- ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x-y}$ 평면에서$$ 일반 모드로 분해되고 ${\displaystyle \eta {}_{}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \ll {}_{}}$ 1 ${\displaystyle \left \eta _{0}\오른쪽 \ll$ 1$})$을(를) 취하면 압력장이 된다.As a consequence of the incompressibility of the flow and Darcy's law, the pressure fields must be harmonic, which, coupled with the requirement that the perturbation decay as ${\displaystyle x\to \pm \infty }$, fixes ${\displaystyle {\tilde {p}}_{1}={\tilde {p}}_{1}e^{kx}}$ and ${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle {\stackrel{}{p}}_{}}$~ ${\displaystyle 2_{\mathrm{}}}$= ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$~ ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$ ${\displaystyle e^{}}$ -${\displaystyle {}^{}}$k x ${\$}_${$2}={\$tilde{p}_{$2}e$^{-kx$ 상수 $p{\displaystyle \stackrel{}{}}$~ {\$displaystyle {\tilde{p}}}}$는 압력의 연속성에 의해 결정된다$$. 선형화 시 인터페이스의$키네마틱{\displaystyle }$ 경계 조건(x {\displaystyle $x}$ 방향의$$ 유체 속도가 유체 인터페이스의 속도와 일치해야 함)은 다시의 법칙과 결합되어 다음과 같다.and thus that ${\displaystyle {\tilde {p}}_{1}=-{\frac {\sigma \eta _{0}\mu _{1}}{\Pi k}}}$ and ${\displaystyle {\tilde {p}}_{2}={\frac {\sigma \eta _{0}\mu _{2}}{\Pi k}}}$. Matching the pressure fields at the interface givesand so ${\displaystyle \sigma =kV\left(\mu _{2}-\mu _{1}\right)/\left(\mu _{1}+\mu _{2}\right)}$, leading to growth of the perturbation when ${\displaystyle \mu _{2}>\mu _{1}}$ - i.e. when the injected fluid is less viscous than the ambient fluid. 이 기본적인 사건과 문제가 있습니다:즉 가장 불안정한 모드와 표면의 소개로(는 Young–Laplace 방정식을 통해 유체 인터페이스를 가로지르압력의 급등 조건을 제공한다)tension[7]교정할 수 있는 가진 무한히 빠른 속도, 성장을 무한한 wavenumber k{k\displaystyle}이 있다.t성장률을 로 수정하는 효과

표면 장력 ${\displaystyle \gamma}$ 및$$ H ${\displaystyle f_{}}$ ${\$ 평균 곡률. 이는 소파장(고파장) 교란을 억제하며, $우리$는 k ${\displaystyle$ k$}$의 값에 가까운$$ $wavenumber{\displaystyle }$ k ${\$$displaystyle$ $k$$}$의 불안정성을 볼 수 있을 것으로 예상하며, 이 경우 $표면{\displaystyle }$ 장력에서는 고유한 최대값이 있다$.$

반지름 지오메트리

Safman-Taylor 불안정성은 일반적으로 위에서 도출된 단순한 평면 케이스와는 반대로 축대칭적인 맥락에서 나타난다.^[8][9] 불안정성의 메커니즘은 이 경우 그대로 유지되며, 이 경우 가장 불안정한 워너버의 선택은 주어진 손가락 수(정수)에 해당한다.

참고 항목

• 켈빈-헬름홀츠 불안정
• 다아시의 법칙

참조