변분점근법

Variational asymptotic method

변형 점근법(VAM)은 작은 매개 변수를 활용하여 설명된 함수에 대한 정지점을 찾는 과정을 단순화하는 강력한 수학적 접근법입니다.VAM은 다양한 원칙과 점근적 접근 방식의 시너지입니다.변형 원리는 정의된 함수에 적용되고 점근은 오류가 발생하기 쉬운 미분 방정식에 적용되는 대신 동일한 함수에 적용됩니다.이 방법론은 전체 범위의 물리학 문제에 적용할 수 있으며, 문제는 변형 형태로 정의되어야 하며 문제 정의 내에서 작은 매개 변수를 식별할 수 있어야 합니다.즉, VAM은 작은 매개 변수의 이점을 이용하여 분석 또는 계산 비용이 많이 드는 수치 분석을 통해 정지점을 결정하는 기능이 매우 복잡한 경우에 적용할 수 있습니다.따라서 함수의 대략적인 고정점을 사용하여 원래 함수를 얻을 수 있습니다.

소개

VAM은 껍질 분석을 [1]위해 1979년 베르디체프스키에 의해 처음 시작되었습니다.그는 1980년에 비선형[2] 쉘 이론을 개발하기 위해 VAM을 적용했고 [3]1982년에는 빔에 적용했습니다.이 방법은 치수 축소 가능한 구조와 기하학적 및 재료 비선형 모델을 분석할 때 정확한 모델을 구성할 수 있습니다.베르디체프스키는 VAM 절차를 철저히 설명하고 셸 구조를 적용하여 평면 내 및 평면 외 뒤틀림 기능을 얻었으며, 여기서 소개된 뒤틀림 기능은 1-D와 3-D 필드 사이의 다리의 일종이며, 3차원 변위, 응력 및 변형률을 달성하기 위해 분석 표현식을 도출했습니다.초기에 점근적 방법은 유한 요소 기반 솔루션을 [4]사용하여 이방성 빔의 단면 분석을 개발하는 데 사용됩니다.가변 점근 빔 단면 분석(VABS)의 공식 개발은 [5]1988년에 시작되었으며, Hodges의 이전 학생들은 Hodges,[6] Cesnik 및 Hodges,[7] Yu et al.[8][9]을 포함하여 이 프로젝트에 기여했습니다.VABS 역사에 대한 더 자세한 설명은 Hodges의 [10]책에서 찾을 수 있습니다.그 후, 이방성과 비균질 [11][12]특성을 가진 재료에 대한 선형 단면 문제가 해결됩니다.빔 단면 분석을 위한 새로운 유한 요소 기반 코드인 VABS는 이 작업을 압전 재료로 확장하여 궁극적으로 VABS와 UM/VABS의 개발을 이끌었습니다.Hodges와 그의 동료들은 단면 분석을 위해 많은 일반화를 도입했습니다.이후 VAM을 사용하여 균질화 절차와 치수 감소 과정을 통합하는 효과적인 판 모델을 수립하여 유한 요소 [17]기술을 기반으로 하는 현실적인 이종 판 VAPAS를 처리했습니다.이 작업은 적층 복합판의 [18][19]분석을 위해 확장되었습니다.VAM은 또한 이질적인 [20]물질에 대한 단위 셀 균질화를 위한 가변 점근적 방법(VAMUCH)을 개발하는 데 사용됩니다.

절차.

특정 구조 응용 분야에서 보의 경우 절차는 3차원 분석으로 시작하여 수학적으로 분석을 2차원 단면 분석과 1차원 빔 분석으로 나눕니다.단면 분석에서 1차원 구성 법칙을 얻을 수 있으며 빔 1차원 분석의 입력으로 제공됩니다.일련의 복구 관계와 함께 뒤틀림 기능에 대한 폐쇄적인 분석 표현 형식을 달성하여 3D 변위, 변형 및 응력을 표현할 수 있습니다.판/쉘에서 3차원 문제는 두께와 2차원 판/쉘 분석을 통해 1차원으로 나뉩니다.따라서 두께 분석에서 얻은 2차원 구성 법칙을 2차원 분석에 대한 입력으로 제공할 수 있습니다.그 후, 3-D 변위, 변형 및 응력을 나타내는 회복 관계가 형성될 수 있습니다.

이점

특별한 운동학적 가정은 필요하지 않습니다.

VAM은 물리학에 기반을 두고 있으며 에너지 기여가 적은 것을 무시하여 개발되었습니다.

이 방법은 고전적이지 않은 비선형 효과를 자동으로 캡처할 수 있습니다.

미분 방정식에 적용하는 대신 함수에 점근이 적용되어 오차가 감소했습니다.

수학적으로 엄격하지만 엔지니어 친화적인 최종 결과

VAM은 효율적인 방법이며 얻은 결과는 정확합니다.

VAM을 구현하면 분석 및/또는 수치 접근 방식을 사용할 수 있습니다.

다른 이론과 비교하여 점근적 정확성을 검증하는 올바른 도구

적용들

VAM은 빔, 플레이트, 셸과 같은 구조적 문제에 광범위하게 적용되어 작은 매개 변수를 기반으로 한 변형 에너지 함수의 정지점으로 응력과 변형률을 찾습니다.이러한 구조적 문제에서 폭과 높이는 보에 대한 작은 매개변수이고 두께는 플레이트와 셸에 대한 작은 매개변수입니다.실제로 작은 매개변수(기하학 및/또는 물리학)는 위에서 언급한 매개변수에 제한되지 않으며 정의된 문제의 특정 적용에 따라 선택할 수 있습니다.매크로 역학에서 VAM은 상당한 수의 작은 매개 변수가 존재하는 빔, 플레이트, 셸 및 다기능 구조물의 치수 감소에 적용되었습니다.미세 역학에서 VAM은 섬유와 매트릭스가 관련된 복합 재료의 설계 및 분석을 수행할 수 있습니다.이 방법론은 본질적으로 등방성을 갖는 선형 탄성 재료뿐만 아니라 본질적으로 직교성을 갖는 다양한 종류의 초탄성 재료에도 적용되며, 여기서 초탄성 재료는 생체 이식의 적용, 연조직 행동 연구, 고공 비행선 등에서 중요한 역할을 합니다.그리고 재료들은 기하학적이고 재료적인 비선형성을 가지고 있습니다.또한, 이 방법은 유전체 재료, 다기능 복합 재료, 에너지 수확 재료 등과 같은 다양한 유형의 재료에 적용할 수 있습니다.이 접근 방식은 항공우주 구조 분석, 직물 설계 및 분석, 자동차 산업 등에 사용될 수 있습니다.정적, 동적, 다중 물리학, 좌굴, 모달 문제와 같은 다양한 유형의 분석을 처리할 수 있습니다.그 후, 가변 점근 빔 분석([21]VABS), 가변 점근 판 및 쉘 분석(VAPAS), 동적 변형 점근 판 및 쉘 분석(DVAPAS) [22]등과 같은 변형 점근법을 기반으로 다양한 컴퓨터 코드가 개발되었습니다.이러한 컴퓨터 기반 프로그램은 상용 애플리케이션에 대해 잘 확립되고 검증되었으며 복합 구조물의 동작을 분석하는 데 광범위하게 사용됩니다.이러한 다양한 VAM 기반 개발은 SwiftComp [23][24][25]코드에 구체화된 복합 구조 및 재료의 다중 스케일 구성 모델링을 위한 일반 프레임워크로서 구조 게놈(MSG)의 메커니즘을 공식화하는 데 절정에 달했습니다.

레퍼런스

  1. ^ Berdichevsky, V. L., 1979, "껍질 이론을 구성하는 변분점근법", Prikladnaya Matematika I Mekhanika, 43, 페이지 664–687.
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