교살 분할

교살 분할은 미분법 연산자의 합으로 분해할 수 있는 미분 방정식을 푸는 숫자 방법이다.그것은 길버트 스트럿의 이름을 따서 지어졌다.유체 역학에서의 화학 반응 등 매우 다른 시간 척도의 연산 속도를 높이고, 다차원 부분 미분 방정식을 1차원 문제의 합으로 줄임으로써 해결하는 데 사용된다.

소수점 단계 방법

교살 분할의 전조로, 형식의 미분 방정식을 고려한다.

${\displaystyle {\frac{d{y}}{dt}=L_{1}({y})+L_{2}({y})}$

여기서 L ${\$ $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}는$$ 차동 연산자다.$L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$및$$ $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}개가 상수 계수 행렬이라면$$ 관련 초기값 문제에 대한 정확한 해결책은 다음과 같을 것이다.

${\displaystyle y}$( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$( L ${\displaystyle {{1\mathrm{}}_{}}^{}}$+ ${\displaystyle {{L\mathrm{}}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}^{}}$) t ${\displaystyle {}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$

$L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$및$$ ${\displaystyle {L\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$ 통근하는$$ 경우 지수 법칙에 의해 이 값은 다음과 같다.

${\$$L_{1}t}e^{$$L_{2}t}y_{0$ .

그렇지 않은 경우, 베이커-캠벨-하우스도르프 공식에 의해, 최초 주문 오류의 비용으로 지수 산물의 산물로 총액의 지수화를 대체할 수 있다.

$1$$}$$L_{2}t}y_{0}+{\mathcal {O}(t)}$.

이렇게 하면 원래의 초기 문제를 해결하는 대신 두 하위 문제를 번갈아 해결하는 수치적 계획이 생긴다.

${\displaystyle {\tilde{y}_{1}=e^{L_{1}\Delta t}y_{0}}}$

${\displaystyle y_{1}=e^{L_{2}\Delta t}{\tilde{y}_{1}:{1}$

${\displaystyle {\tilde{y}_{2}=e^{L_{1}\Delta t}y_{1}:{1}$

${\displaystyle y_{2}=e^{L_{2}\Delta t}{\tilde{y}_{2}}$

등

이 맥락에서 $e{\displaystyle {}^{}}$ L ${\displaystyle {{1\mathrm{}}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {\Delta }^{}}$ t ${\$는 하위$$ 문제를 해결하는 숫자 체계다.

${\displaystyle {\frac{d{y}}{dt}=L_{1}({y})}$

제1순에접근방식은 선형 문제로 제한되지 않는다. 즉, $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}는$$어떤 차등 연산자가 될 수 있다$$.

교살 분할

교살 분할은 다른 작업 순서를 선택하여 이 접근방식을 두 번째 순서로 확장한다.각 연산자와 함께 전체 시간 단계를 밟는 대신 다음과 같이 시간 단계를 수행한다.

${\displaystyle {\tilde{y}_{1}=e^{L_{1}{\frac {\Delta t}{2}}:y_{0}}}$

${\displaystyle {\bar{y}_{1}=e^{L_{2}\Delta t}{\tilde{y}_{1}:{1}$

${\displaystyle y_{1}=e^{L_{1}{\frac {\Delta t}{2}}:{\bar{y}_{1}}$

${\displaystyle {\tilde{y}_{2}=e^{L_{1}{\frac {\Delta t}{2}}년_{1}:{1}$

${\displaystyle {\bar{y}_{2}=e^{L_{2}\Delta t}{\tilde{y}_{2}}$

${\displaystyle y_{2}=e^{L_{1}{\frac {\Delta t}{2}}:{\bar{y}_{2}}:$

등

Baker-Campbell-Hausdorff 공식, Root tree 분석 또는 Taylor 확장을 사용한 오차항들의 직접 비교를 통해 교살 분리가 두 번째 순서임을 증명할 수 있다.계획이 두 번째 순서가 정확하려면 $e{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\cdots }^{}}$ ${\$ e$^{\cdots }}$은(는) 솔루션 운영자에 대한 두 번째 순서의 근사치여야 한다$$.

참고 항목

• 주제 분할 연산자 목록
• 행렬 분할

참조

• 길버트, 목이 졸려라.차이점 계획의 구성과 비교에 관하여.수치해석에 관한 SIAM Journal 5.3 (1968): 506-517. doi:10.1137/0705041
• 맥라클란, 로버트 1세, 그리고 G. 리너아웃 W.퀴즈펠.분할 방법.Acta Numerica 11(2002): 341-434. doi:10.1017/S0962492902000053
• LeVeque, Randall J, 쌍곡선 문제에 대한 유한 볼륨 방법.제31권케임브리지 대학 출판부, 2002. (pbk) ISBN0-521-00924-3)