섀도우 힙

컴퓨터 과학에서 섀도 힙은 상각된 의미에서 효율적인 힙 병합을 지원하는 병합 가능한 힙 데이터 구조입니다.구체적으로는 섀도 힙은 섀도 머지 알고리즘을 이용하여 O(f(n)상환시간에 삽입하고 O((log n log n)/^[1]f(n)상환시간에 삭제한다.

이 문서에서는 A와 B는 A와 B를 가진 이진 힙이라고 가정합니다.

섀도 머지

섀도 머지는 2개의 이진 힙을 어레이로 구현한 경우 효율적으로 머지하기 위한 알고리즘입니다.구체적으로는 2개의 $힙{\displaystyle }$ A$(\displaystyle$ A$)$와 B$(\displaystyle$ B$)$의 섀도우 머지 실행시간은 O${\displaystyle (A}$+${\displaystyle }$min { ${\displaystyle \log b}$ ${\displaystyle B}$ log${\displaystyle \log }$ log${\displaystyle log}$ B${\displaystyle ）}$\ $displaystyle$ O$(A$+ \$$$min$ \ )입니다.$(\log$B \$log B$ , \$log$A \$log$ B $\}$ $).$

알고리즘.

2개의 바이너리 $미니히프{\displaystyle }$$A$와$B를$결합합니다$.$알고리즘은 다음과 같습니다.

1. $어레이{\displaystyle }$B의 끝에 $어레이{\displaystyle }$ A$(\$$displaystyle$ B$)$를 연결하여 $어레이{\displaystyle }$C(\$displaystyle$ C$)$를 얻습니다.
2. C$(\displaystyle$ C$)$에서 A$(\displaystyle$ A$)$의 그림자를 확인합니다.즉, C$(\displaystyle$C)에서$$힙 $속성$을 ${\displaystyle 파괴}$하는${\displaystyle }$마지막 A(\$displaystyle$ A$)$ 노드의$$ 조상입니다.
3. C$${\$displaystyle$ C$\}$에서 그림자의 다음 두 부분을 식별합니다.
   • $경로{\displaystyle }$ P$(\displaystyle$ P$):$ C$(\displaystyle$ C$)$의 깊이에 최대 2개의 노드가 있는 그림자 내의 노드 세트.
   • $서브트리{\displaystyle }$T {\$displaystyle$ T$\}$ : 그림자의 나머지 부분.
4. 섀도에서 가장 ${\displaystyle 작은}$P 노드(\$displaystyle{\displaystyle }$ P$$)를 추출하여 배열 S(\displaystyle S$(\displaystyle$ S$)$
5. S$(\displaystyle$ S$)$를 다음과 같이 변환합니다.
   • ] [ C \ $displaystyle$ S [ C $]$의 경우 정렬된 배열의 최소 요소부터 순서대로 S$$\ $displaystyle$ S$$$]$의 $각{\displaystyle }$ 요소를$$C \ $displaystyle$C 에$$$삽입$하여 C$$\ $displaystyle$ C$]$의 최소 $요소$로 바꿉니다.
   • [ S ${\displaystyle ]}{\displaystyle C}$ \ $display style S$ \$leq$ C $]$의 경우 C$${\ $display style$ C$\}$에서 가장 작은${\displaystyle }$P { $display style$ P $}$ 요소를 ${\displaystyle 추출}$ 및 정렬하여 이 정렬 목록을$$S { $displaystyle$ S$$}와 Marge합니다.
6. S$(\displaystyle$ S$)$ $요소$를 C$(\displaystyle$ C$)$의 원래 위치로 교체합니다.
7. T$${\$displaystyle$ T$\}$로 힙을 만듭니다.

실행 시간

다시 P$(\displaystyle$ P$)$는 경로를 $나타내고{\displaystyle }$T(\$displaystyle$ T$)$는 연결된 $힙{\displaystyle }$ C$(\displaystyle$ C$)$의 서브트리를 $나타냅니다{\displaystyle }$.P$(\$$displaystyle$$$P$)$의 노드 수는 최대${\displaystyle }$O($log$display$$B$)$인 C(\$displaystyle$ C$)$의 2배입니다.또$,$ D$(\$$displaystyle$ D$)$의 T(\displaystyle T)의 노드 수는 $최대{\displaystyle \mathrm{4분}}$의 $3입니다.$$1$ 이므로 서브트리의 ${\displaystyle 사이즈}$는${\displaystyle }$O (${\displaystyle }$A$$) { $displaystyle$O ( $A$)$$。P$${ $displaystyle$ P$\}$ $p{\displaystyle }$ level on on on nodes nodes nodes2 노드까지 존재하므로 섀도우의 ${\displaystyle 최소}$P { $displaystyle$ P $}$ 요소를$$$$ 정렬된 $배열$로 읽으면 O${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{로그}b}$ B$$) style O $(로그)$가 $됩니다{\displaystyle }$$.$$B)}$회$$

만약 S>C{\displaystyle S>C}, 5단계에서 P{P\displaystyle}, C{C\displaystyle}을 결합하는 위 O(로그 ⁡ 통나무 ⁡ B){O(A\log B\log)\displaystyle}시간이 걸린다. 그렇지 않으면, 시간 이 단계에서 찍은 사진이다 O(+로그 ⁡ B로그 ⁡ 로그 ⁡ B ) {\$displaystyle$ O$(A +\log$B \$log \log$ B$).$ 마지막으로 $T의$$$힙을 만들려면 O$)$ {\$displaystyle$ O$(A)}$ 시간이$$ $걸립니다{\displaystyle }$$.$이는${\displaystyle }O$의 섀도 머지(${\displaystyle A}$+${\displaystyle min}$ { ${\displaystyle \log a}$ A log${\displaystyle a}$B , ${\displaystyle \log }$log${\displaystyle }$B ${\displaystyle )}$의 ${\displaystyle 합계}$ 실행시간에 $해당합니다.\$ $displaystyle$O ( A + $\$ $min$ \ )$(\log$ A $\log$ B $,\log$B \$log$B $\}$ $).$

구조.

섀도 $힙{\displaystyle }$H(\$displaystyle$ H$)$는 임계값 $함수{\displaystyle }$ f$)\displaystyle$ f$(H$와 일반적인 어레이 구현 바이너리 힙 속성이 첫 번째 엔트리에서 유지되고 다른 엔트리에서 반드시 유지되지 않는 배열로 구성됩니다.따라서 섀도 힙은 기본적으로 $A$에 인접한 바이너리 힙$B{\displaystyle }$({$displaystyle$$$A$\})$입니다.섀도 힙에 요소를 추가하려면 $어레이$A({displaystyle$$A$\})$에 배치합니다$$.어레이가 지정된 임계값에 따라 너무 커지면 먼저 를 사용하여 A$({displaystyle$A})로 힙을 만듭니다.Floyd의 힙 ^[2]구축 알고리즘은 섀도 머지를 사용하여 이 힙을 B$(\displaystyle$ B$)$와 병합합니다.마지막으로 상기 삽입 절차를 사용하여 한쪽 힙을 다른 쪽 힙에 순차적으로 삽입함으로써 섀도 힙의 병합을 간단히 할 수 있다.

분석.

섀도우 $힙{\displaystyle }$ H ${\displaystyle =}$ ( ${\displaystyle B}$,${\displaystyle A}$ $){$ $displaystyle$ H = ($B$ , $A$) $。$${\displaystyle 위}$의 임계값 ${\displaystyle \mathrm{함수}}$ ${\displaystyle 로그}$는${\displaystyle }$H $≤$ ${\displaystyle f（}$ ${\displaystyle H}$） q log ${\displaystyle 、}$ ${\displaystyle H}$ log${\displaystyle h}$H { $displaystyle \leq$f ( $H$)\ $log$\ $log$ H \ log H$}$입니다.임계값 함수가 B${\displaystyle (\backslash }$$displaystyle$B$)$의 변경이 f$H$의 변경보다 큰 변경을 유발하지 않는 경우라고 가정합니다.상각된 분석의 잠재적 방법을 사용하여 병합 가능한 힙 동작에 대해 원하는 실행 시간 범위를 도출합니다.히프의 $)(\displaystyle \Psi(H))$는 다음과 같이 선택됩니다.

$\Displaystyle \Psi (H) = A (1+\min)\log B \log B , \log B \log A \} / f ( H )}$

이 가능성을 이용하여 원하는 상각 실행 시간을 얻을 수 있습니다.

create(H): 새로운 빈 섀도우 힙 $(\displaystyle$ H$)$를 초기화합니다.

여기서 잠재적 $\display\Psi$is는$$ 변경되지 않으므로 상각된 제작비용은 $실제{\displaystyle }$ 비용인${\displaystyle }$O ( ${\displaystyle 1}$)$$\$displaystyle O(1$)

insert(x, H): x$${$displaystyle$ x$}$를 섀도우 $힙{\displaystyle }$H {\$displaystyle$ H$}$에 $삽입$합니다.

두 가지 경우가 있습니다.

• Marge를 채용하고 있는 경우, 전위함수의 강하는 정확히$$B(\$displaystyle$B$$)와$$A(\$displaystyle$A$)$의 Marge의 실제 비용입니다.따라서 상각된 비용은${\displaystyle }$O(1$)(\displaystyle$O(1$))$입니다.
• Marge가 이루어지지 않은 경우 상각된 $비용$은 O${\displaystyle (1}$ +${\displaystyle \min }$ { ${\displaystyle log\log }$ B log${\displaystyle }$log log ${\displaystyle \log }$ log${\displaystyle log}$ B${\displaystyle b}$ A ${\displaystyle \}}$ /${\displaystyle f}$ (${\displaystyle H}$) \ $displaystyle$O ( $1$+ \$$$min$ \ )$(\log B \log \log B ,\log B \log A \} / f ( H ) ) 。$

따라서 임계값 함수를 선택함으로써 상각된 삽입 비용은 다음과 같습니다.

$\displaystyle O(\log H\log H/f(H))}$

delete_min(H): 최소 priority 요소를$H{\displaystyle }${ $displaystyle$H).

최소 검색 및 삭제에는 $실제{\displaystyle }$ 시간 O${\displaystyle }$( ${\displaystyle A}$+ ${\displaystyle \log b}$B$$) { $displaystyle$O ( $A$+ \ $log$ B$$) $\}$ 。또, 이 삭제 ${\displaystyle 후}$에 f${\displaystyle }$(${\displaystyle }$H$$) { $displaystyle$ f $($H ) }의 $값$이 감소하는 경우에만 잠재적인 함수가 증가할 수 있습니다.f$${\$displaystyle$f}를 $선택함$으로써 이 작업에 대한 상각비용은 실제 비용과 동일합니다.

관련 알고리즘 및 데이터 구조

단순한 바이너리 힙 머지 알고리즘은 두 $힙$을 연결하고 Floyd의 힙 구성 알고리즘을 사용하여 결과 어레이에서 힙을 만드는 것으로 시간 $B)$에 두 힙 A$(\displaystyle$ A$)$와 B$(\$$displaystyle B)$를 병합합니다.또는 A$(\displaystyle$ A$)$의 각 요소를 B$(\displaystyle$ B$)$에 순차적으로 삽입하여 O${\displaystyle (A}$ log${\displaystyle b}$B$$)(\$displaystyle$ O$(A \log$ B$))$를 표시함으로써 힙을 병합할 수 있습니다.

Sack과 Strothotte는 O${\displaystyle (}$^[3]${\displaystyle A}$+ log${\displaystyle a}$ A ${\displaystyle \log b}$ B$$)(\$displaystyle$ O$(A +\log$A \$log$ B$$)) 시간$$ $내$에 바이너리 힙을 병합하는 알고리즘을 제안했습니다.이러한 알고리즘은 A> B { $displaystyle$ A > \ $log$ B섀도 머지는 최악의 경우에도 알고리즘보다 점근적으로 뛰어난 성능을 한다고 알려져 있습니다.

더 빠른 병합 시간을 지원하는 다른 여러 힙이 있습니다.예를 들어, 피보나치 힙은${\displaystyle }$O ($)(\displaystyle$O(1$)$시간$$ $내$에 병합할 수 있습니다.바이너리 힙은 병합에${\displaystyle }$^[4]$(A)\displaystyle\$Omega($A)}$ 시간이$$ 필요하므로 섀도 병합은 계속 효율적입니다.

레퍼런스