민감도지수

Bayes-최적 분류 오류 확률

e_{b}

e_{b}

{\

및 분산이 같지 않은 두 개의 일변량 정규 분포(위)와 공분산 행렬이 같지 않은 두 개의 이변량 정규 분포(아래, 타원은 1 sd 오차 타원)의 판별성 지수. 분류 경계가 검은색이다. 이것들은 수치적 방법에^[1] 의해 계산된다.

민감도 지수 또는 판별성 지수 또는 검출성 지수는 신호 검출 이론에 사용되는 무차원 통계량이다. 지수가 높을수록 신호가 더 쉽게 검출될 수 있음을 나타낸다.

정의

판별성 지수는 두 분포(일반적으로 신호와 소음 분포)의 평균을 표준 편차의 단위로 구분하는 것이다.

등분산/공분산

동일한 표준 편차를 갖는 $b$ $a$ 및 $a$ $b$ ${\displaystyle$ $b$ $}('$ dee-prime') $두$ 개의 일변량 분포의 경우 $d$ $'$ ${\$ d $'}('$ dee-prime')로 표시된다.

d'={\frac {\left\vert \mu _{a}-\mu _{b}\right\vert }{\sigma }}

=

d'={\frac {\left\vert \mu _{a}-\mu _{b}\right\vert }{\sigma }}

d'={\frac {\left\vert \mu _{a}-\mu _{b}\right\vert }{\sigma }}

-

d'={\frac {\left\vert \mu _{a}-\mu _{b}\right\vert }{\sigma }}

d'={\frac {\left\vert \mu _{a}-\mu _{b}\right\vert }{\sigma }}

d'={\frac {\left\vert \mu _{a}-\mu _{b}\right\vert }{\sigma }}

{\

d

'={\frac {\좌측\vert \mu_{a}-\mu_{b

}\

오른쪽\vert }{\ma

더 높은 차원에서는, 즉, 동일한 분산-공분산 행렬 $\mathbf {\Sigma }$ [\ $displaystyle \mathbf {\Sigma$ $\mathbf {\Sigma }$ (대칭 제곱근은 $\mathbf {S}$ 편차 행렬인 S ${\\$ })를 갖는 두 다변량 분포의 경우, $\mathbf {S}$ 이는 두 분포 사이의 Mahalanobis 거리로 일반화된다.

{\displaystyle d'={\sqrt {({\boldsymbol {\mu }}_{a}-{\boldsymbol {\mu }}_{b})'\mathbf {\Sigma } ^{-1}({\boldsymbol {\mu }}_{a}-{\boldsymbol {\mu }}_{b})

}}=\lVert \mathbf {S} ^{-1}({\boldsymbol {\mu }}_{a}-{\boldsymbol {\mu }}_{b})\rVert =\lVert {\boldsymbol {\mu }}_{a}-{\boldsymbol {\mu }}_{b}\rVert /\sigma _{\boldsymbol {\mu }}}

,

where $\sigma _{\boldsymbol {\mu }}=1/\lVert \mathbf {S} ^{-1}{\boldsymbol {\mu }}\rVert$ is the 1d slice of the sd along the unit vector ${\boldsymbol {\mu }}$ through the means, i.e. the $d'$ equals the $d'$ 1d 슬라이스를 따라 수단을 통과한다.^[1]

이것은 또한 $Z({\text{hit rate}})-Z({\text{false alarm rate}})$ ( $Z({\text{hit rate}})-Z({\text{false alarm rate}})$ ) $Z({\text{hit rate}})-Z({\text{false alarm rate}})$ - $Z({\text{hit rate}})-Z({\text{false alarm rate}})$ ( $){\displaystyle$ Z $({\text{hit rate}}})-Z({\text{false 경보율}}})$ 로 추정된다. $Z({\text{hit rate}})-Z({\text{false alarm rate}})$ ^[2]^{[page needed]}^{: 7}

불균등분산/공분산

두 분포가 서로 다른 표준 편차(또는 일반 차원에서는 서로 다른 공분산 행렬)를 갖는 경우 여러 개의 경쟁 지수가 존재하며, 이 지수는 모두 동일한 분산/공분산을 위해 $d'$ $'$ ${\$ d $'}($ 으)로 감소한다.

베이즈 판별 지수

이것은 두 분포에 대한 최대 (Bayes-최적) 판별성 지수로, 중복의 양, 즉 이상적인 관찰자에 의한 $e_{b}$ 분류 e $e_{b}$ ${\$ 의 최적 (Bayes) 오류 또는 그 보완, $a_{b}$ ${\$ :

d'_{b}=-2Z\left({\text{Bayes error rate }}e_{b}\right)=2Z\left({\text{best accuracy rate }}a_{b}\right)

d'_{b}=-2Z\left({\text{Bayes error rate }}e_{b}\right)=2Z\left({\text{best accuracy rate }}a_{b}\right)

d'_{b}=-2Z\left({\text{Bayes error rate }}e_{b}\right)=2Z\left({\text{best accuracy rate }}a_{b}\right)

=

d'_{b}=-2Z\left({\text{Bayes error rate }}e_{b}\right)=2Z\left({\text{best accuracy rate }}a_{b}\right)

-

d'_{b}=-2Z\left({\text{Bayes error rate }}e_{b}\right)=2Z\left({\text{best accuracy rate }}a_{b}\right)

Z

d'_{b}=-2Z\left({\text{Bayes error rate }}e_{b}\right)=2Z\left({\text{best accuracy rate }}a_{b}\right)

(

d'_{b}=-2Z\left({\text{Bayes error rate }}e_{b}\right)=2Z\left({\text{best accuracy rate }}a_{b}\right)

d'_{b}=-2Z\left({\text{Bayes error rate }}e_{b}\right)=2Z\left({\text{best accuracy rate }}a_{b}\right)

d'_{b}=-2Z\left({\text{Bayes error rate }}e_{b}\right)=2Z\left({\text{best accuracy rate }}a_{b}\right)

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d'_{b}=-2Z\left({\text{Bayes error rate }}e_{b}\right)=2Z\left({\text{best accuracy rate }}a_{b}\right)

=

d'_{b}=-2Z\left({\text{Bayes error rate }}e_{b}\right)=2Z\left({\text{best accuracy rate }}a_{b}\right)

Z

d'_{b}=-2Z\left({\text{Bayes error rate }}e_{b}\right)=2Z\left({\text{best accuracy rate }}a_{b}\right)

(

d'_{b}=-2Z\left({\text{Bayes error rate }}e_{b}\right)=2Z\left({\text{best accuracy rate }}a_{b}\right)

의

d'_{b}=-2Z\left({\text{Bayes error rate }}e_{b}\right)=2Z\left({\text{best accuracy rate }}a_{b}\right)

d'_{b}=-2Z\left({\text{Bayes error rate }}e_{b}\right)=2Z\left({\text{best accuracy rate }}a_{b}\right)

)

{\

}\}\},

},

d'_{b}=-2Z\left({\text{Bayes error rate }}e_{b}\right)=2Z\left({\text{best accuracy rate }}a_{b}\right)

^[1] }}},

})}},},},},

여기서 $Z$ $Z$ 은 $Z$ (는) 표준 정규의 역 누적 분포 함수다. 일변량 정규 분포와 다변량 정규 분포 사이의 베이즈 판별성은 수치적으로 계산될 수 있으며(Matlab 코드), 분포가 정규 분포에 가까울 때 근사치로도 사용할 수 있다.

$d'_{b}$ $′{\$ 는 $d'_{b}$ Kullback-Leibler $D_{\text{KL}}$ D $D_{\text{KL}}$ {\ $displaystyle D_{\text{}$ 와 같이 분포에 대한 가정이 없는 양의 확실한 통계 거리 측정값이다. $KL$ $D_{\text{KL}}(a,b)$ $D_{\text{KL}}(a,b)$ , b $D_{\text{KL}}(a,b)$ ) $D_{\text}}{KL}(a,b)$ 이(가) 비대칭인 $D_{\text{KL}}(a,b)$ 반면 $d'_{b}(a,b)$ $d'_{b}(a,b)$ $d'_{b}(a,b)$ $d'_{b}(a,b)$ ) ${\displaystyle$ d $'_{b}(a,b)}$ 은 $d'_{b}(a,b)$ 두 분포에 대해 대칭이다. 그러나 $d'_{b}$ $′{\$ 는 삼각 불평등을 만족시키지 $d'_{b}$ 못하기 때문에 완전한 메트릭은 아니다. ^[1]

특히 평균 $\mu _{a},\mu _{b}$ , $\mu _{a},\mu _{b}$ , $\mu _{a},\mu _{b}$ , $\mu _{a},\mu _{b}$ μb ,\ $displaystyle \mu _{a},\mu _{b}$ 및 분산 $\mu _{a},\mu _{b}$ v $v_{a}>v_{b}$ > $v_{a}>v_{b}$ $v_{a}>v_{b}$ > v ${\$ }>v_ ${b}}}}$ 을 갖는 두 일변량 정규 분포 사이의 예/아니오 작업 정확도는 다음과 같다 $v_{a}>v_{b}$ ^[1]

p(A a)=p({\chi '}_{1,v_{a}\lambda }^{2}>v_{b}c),\;\;p(B b)=p({\chi '}_{1,v_{b}\lambda }^{2}<v_{a}c)

,

where $\chi '^{2}$ denotes the non-central chi-squared distribution, $\lambda =\left({\frac {\mu _{a}-\mu _{b}}{v_{a}-v_{b}}}\right)^{2}$ , and ${\displaystyle c=\lambd$ $a +{\frac {\ln v_{a}-\ln v_{b}}{v_{a}-v_{b$ 베이즈 판별성 $d'_{b}=2Z\left({\frac {p\left(A|a\right)+p\left(B|b\right)}{2}}\right).$ $d'_{b}=2Z\left({\frac {p\left(A|a\right)+p\left(B|b\right)}{2}}\right).$ $d'_{b}=2Z\left({\frac {p\left(A|a\right)+p\left(B|b\right)}{2}}\right).$ = 2 $d'_{b}=2Z\left({\frac {p\left(A|a\right)+p\left(B|b\right)}{2}}\right).$ ( $d'_{b}=2Z\left({\frac {p\left(A|a\right)+p\left(B|b\right)}{2}}\right).$ ( $d'_{b}=2Z\left({\frac {p\left(A|a\right)+p\left(B|b\right)}{2}}\right).$ ) $d'_{b}=2Z\left({\frac {p\left(A|a\right)+p\left(B|b\right)}{2}}\right).$ + p $d'_{b}=2Z\left({\frac {p\left(A|a\right)+p\left(B|b\right)}{2}}\right).$ b $d'_{b}=2Z\left({\frac {p\left(A|a\right)+p\left(B|b\right)}{2}}\right).$ ) 2 $d'_{b}=2Z\left({\frac {p\left(A|a\right)+p\left(B|b\right)}{2}}\right).$ ) $d'_{b}=2Z\left({\frac {p\left(A|a\right)+p\left(B|b\right)}{2}}\right).$ . ${\displaystyle d'_{b}=2Z\좌({\frac {p\좌)(A$ a $\우)+p\좌(B b\우){2}}\우)\$ 우. $}$

$d'_{b}$ $′{\$ 은(는) 단일 이동 기준을 가진 두 일변량 정규 분포 사이의 예/아니오 작업의 ROC 곡선에서 계산할 수도 $d'_{b}$ 있다. 또한 대각선으로부터 가장 멀리 있는 ROC 곡선에서 점을 찾음으로써 이동우도비율을 가진 두 분포의 ROC 곡선에서 계산될 수 있다. ^[1]

이러한 분포 사이의two-interval 과제는 최적의 정확성이 b)p({\displaystyle a_{b}({\tilde{\chi}}_{{\boldsymbol{w}},{\boldsymbol{k}},{\boldsymbol{\lambda}},0,0}^{2}>0\right)}(χ일 2{\displaystyle{\tilde{\chi}}^{2}}denot.그 전 일반화 카이 제곱 분포가 w)[n2sσ 2− σ], k=[11], λ)sμ −μ nσ s2− σ n2[σ s2σ n2]{\displaystyle{\boldsymbol{w}}={\begin{bmatrix}\sigma _{s}^{2}&, -\sigma _{n}^{2}\end{bmatrix}},\,{\boldsymbol{k}}={.\be $gin{bmatrix}1&1\end{bmatrix}},\;{\boldsymbol {\lambda }}={\frac {\mu _{s}-\mu _{n}}{\sigma _{s}^{2}-\sigma _{n}^{2}}}{\begin{bmatrix}\sigma _{s}^{2}&\sigma _{n}^{2}\end{bmatrix}}}$ .^[1] 베이즈 판별성 $d'_{b}=2Z\left(a_{b}\right)$ = $d'_{b}=2Z\left(a_{b}\right)$ $d'_{b}=2Z\left(a_{b}\right)$ ( $d'_{b}=2Z\left(a_{b}\right)$ ) ${\$ .

RMS sd 판별성 지수

는 closed-form을 가지고 있는 흔한 대략적인(i.e. 차선의)구별 가능성. 지수는 표준 편차의 2의 기업 예:′을 삭제 예측이 변수의 평균을)− μ μ은 b/σ 기업{\displaystyle d'_{}=\left\vert \mu _{를}-\mu _{b}\right\vert /\sigma _{\text{실효}}}[3](또한 이 가리키da { $\displaystyle d_{a}}.$ 단일 기준 관찰자의 수신기 작동 특성 곡선( $AUC$ ) 아래 $z$ 의 z $z$ -스코어 $z$ ${\displaystyle$ z} -core의 ${\sqrt {2}}$ $2배이다$ . This index is extended to general dimensions as the Mahalanobis distance using the pooled covariance, i.e. with $\mathbf {S} _{\text{rms}}=\left[\left(\mathbf {\Sigma } _{a}+\mathbf {\Sigma } _{b}\right)/2\right]^{\frac {1}{2}}$ as the common sd matrix.^[1]

평균 sd 판별성 지수

또 다른 지수는 de′), 일반적인 치수 S를 사용하여 평균)(S+Sb)/2{\displaystyle \mathbf{S}_{\text{평균}}=\left(\mathbf{S}_{1}+\mathbf{S}_{b}\right)/2을 연장했다}a는 − μ b/σ 평균{\displaystyle d'_{e}=\left\vert \mu _{를}-\mu _{b}\right\vert /\sigma _{\text{평균}}}μS는 일반적인 sd 행렬.[1]

지수 비교

두 일도량의 정상 분포, db′{\displaystyle d'_{}\leq d'_{e}\leq d'_{b}}, 다변량 정규 분포, 친절′≤ de′{\displaystyle d'_{}\leq d'_{e}}여전히′≤ de′≤ 해야만 하다는 것을 보였다.[1]

따라서,}({\displaystyle d'_{}}(}약 30%를 최대 db{\displaystyle d'_{b}을 과소 평가할 수 있는 최대 구별 가능성. db을 과소 평가한′{\displaystyle d'_{}}과 de′{\displaystyle d'_{e}을 삭제. 높은 구별 가능성.의 일도량의 정상 분포의 한계에서 해야 e({\displaystyle d'_{b}}. 이 결과가 종종 들어 더 높은 차원에서, 항상 그렇지는 않지만 사실.[1] 보다 모든 경우에 심슨과 맞추는 사람[3]d는′{\displaystyle d'_{}}로two-interval 작업, 특히 광대한 가장 좋은 지표지만 다스와 Geisler[1]b은 d을 보여 주었다′{\displaystyle d'_{b}}을 추진하였다는 최적의 구별 가능성., de({\displaystyle d'_{e}}은 자주 더 저렴한 closed-form의 근사치이다.D는 ′{\displaystyle d'_{}},two-interval 작업 해도

sd의 기하학적 평균을 사용하는 대략적인 지수 $d'_{gm}$ $d'_{gm}$ $′{\$ 는 작은 판별성에서는 d $d'_{b}$ ${\$ ^[1]보다 작지만 큰 판별성에서는 더 크다.

참고 항목

참조

^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m ⁿ Das, Abhranil (2020). "A method to integrate and classify normal distributions". arXiv:2012.14331 [stat.ML].
^ MacMillan, N.; Creelman, C. (2005). Detection Theory: A User's Guide. Lawrence Erlbaum Associates. ISBN 9781410611147.
^ ^a ^b Simpson, A. J.; Fitter, M. J. (1973). "What is the best index of detectability?". Psychological Bulletin. 80 (6): 481–488. doi:10.1037/h0035203.

Wickens, Thomas D. (2001). Elementary Signal Detection Theory. OUP USA. ch. 2, p. 20. ISBN 0-19-509250-3.

외부 링크

d′ 계산을 포함한 대화형 신호 검출 이론 자습서.

이 신호 처리 관련 기사는 단조롭다. 위키피디아를 확장하여 도울 수 있다.

이 통계 관련 기사는 단조롭다. 위키피디아를 확장하여 도울 수 있다.

[Das-1] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m ⁿ Das, Abhranil (2020). "A method to integrate and classify normal distributions". arXiv:2012.14331 [stat.ML].

[MandC-2] MacMillan, N.; Creelman, C. (2005). Detection Theory: A User's Guide. Lawrence Erlbaum Associates. ISBN 9781410611147.

[SandF-3] Simpson, A. J.; Fitter, M. J. (1973). "What is the best index of detectability?". Psychological Bulletin. 80 (6): 481–488. doi:10.1037/h0035203.

[1]

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