산점 행렬

양자역학의 개념은 산란 행렬을 참조하십시오.

다변량 통계량과 확률 이론에서 산점 행렬은 다변량 정규 분포의 예와 같이 공분산 행렬의 추정치를 만드는 데 사용되는 통계량이다.

정의

m-by-n 행렬로 표현되는 m-차원 ${\displaystyle {}_{}}$의 표본이 n개인 경우,${\displaystyle }X{\displaystyle }$ =${\displaystyle }$[ ${\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$,${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle {}_{}}$]$${\$displaystyle$ X$=[\mathbf {x} _${1$},\mathbf$ {$x} _{2},\ldots,\mathbf {x}, {n},$ 샘플 평균은 다음과 같다$.$

${\displaystyle {\mathbf{x}}}}}}}}={\frac {1}{n}\sum _{j=1}^{n}\mathbf {x} _{j}}}}}}$

여기서 $x{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$의 j-th 열이다$.$

산점 행렬은 m-by-m 양의 반확정 행렬이다.

${\displaystyle S=\sum _{j=1}^{n}(\mathbf {x} _{j}-{\mathbf {x}})^{{j}-{j}-{\mathbf {x}}}}}^{\mathbf {x}}}}}^{{{}}}}}})T}=\sum _{j=1}^{n}(\mathbf {x} _{j}-{\overline {\mathbf {x} }})\otimes (\mathbf {x} _{j}-{\overline {\mathbf {x} }})=\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {x} _{j}\mathbf {x} _{j}^{T}\\오른쪽)-n{\overline {\mathbf {x}}}}{{\overline {\mathbf {x}}}^{T}$

${\displaystyle {여기}^{}}$서 (${\displaystyle \cdot {}^{}}$) T ${\$$T}}$은 매트릭스가 전치되는 것을$$ 나타내며, 곱셈은 외부 제품에 관한 것이다.산점 행렬은 다음과 같이 더욱 간결하게 표현될 수 있다.

${\displaystyle S=X\,C_{n}\,X^{T}$

여기서 ${\displaystyle C{}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$는 n-by-n 중심 행렬이다.

적용

다변량 정규 분포의 공분산 행렬에 대한 최대우도 추정치(표본 n개)는 정규화된 산포 행렬로 표시할 수 있다.

${\displaystyle C_{ML}={\frac {1}{n}S.}$

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 열이$$ 다변량 정규 분포에서 독립적으로 샘플링되는 $경우{\displaystyle }$S {\$displaystyle$S}에는 위시아트 분포가 있다.

참고 항목

• 공분산 행렬 추정
• 표본 공분산 행렬
• 위시아트 분포
• 아우터 제품—${\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\top \mathrm{}}^{}}$ ${\$ 또는$$ X⊗X는 그 자체로 X의 아우터 제품이다.
• 그램 매트릭스

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