일반 반알레브레이크 시스템

컴퓨터 대수학에서, 정규 반알제브라틱 시스템은 다변량 다항식이 실제 폐쇄된 영역 위에 있는 특정한 종류의 삼각형 계통은 실제 다항식 다항식 다변량 다항식이다.

소개

일반 사슬과 삼각형 분해는 다항식 시스템의 복잡한 해결책을 설명하기 위한 기본적이고 잘 발달된 도구다.일반 반알지브레이크 시스템의 개념은 실제 아날로그: 반알지브레이크 시스템의 솔루션에 초점을 맞춘 정규 체인의 개념을 개작한 것이다.

Any semi-algebraic system ${\displaystyle S}$ can be decomposed into finitely many regular semi-algebraic systems ${\displaystyle S_{1},\ldots ,S_{e}}$ such that a point (with real coordinates) is a solution of ${\displaystyle S}$ if and only if it is a solution of one of the systems ${\displaystyle S_1,\dots ,S_{}}$${\displaystyle e_{}}$ ${\$^[1]

형식 정의

Let ${\displaystyle T}$ be a regular chain of ${\displaystyle \mathbf {k} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ for some ordering of the variables ${\displaystyle \mathbf {x} =x_{1},\ldots ,x_{n}}$ and a real closed field ${\displaystyle \mathbf {k} }$. Let ${\displaystyle \mathbf{u}=u_1}$${\displaystyle \mathbf {u} =u_{1},\ldots ,u_{d}}$ and ${\displaystyle \mathbf {y} =y_{1},\ldots ,y_{n-d}}$ designate respectively the variables of ${\displaystyle \mathbf {x} }$ that are free and algebraic with respect to ${\displaystyle T}$. Let ${\displa$Ystyle P\subset \mathbf([\mathbf{x}]} 유한은 P{P\displaystyle}의 각 다항식 T{T\displaystyle}의 포화 상태 이상에 존경을 받게 한다. 정의를 정기적으로 그런 P>:\{p>0∣ p∈ P}{\displaystyle P_{>}:.=\{p>, 0\mid p\in P\}} 할게. Q{\displaystyle{{Q\mathcal}}}가 되quantifier-free의 'caput'ormula of ${\displaystyle \mathbf {k} [\mathbf {x} ]}$ involving only the variables of ${\displaystyle \mathbf {u} }$. We say that ${\displaystyle R:=[{\mathcal {Q}},T,P_{>}]}$ is a regular semi-algebraic system if the following three conditions hold.

• ${\displaystyle \mathcal{Q}}$ ${\$은(는) $k{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 비어 있지 않은 개방형 반알제브라틱 세트 $S{\displaystyle }$ ${\\displaystyle S}$을(를) 정의하며$,$
• 일반 시스템${\displaystyle }$[${\displaystyle T}$, ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [T,P]}$은$($는) $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 모든 $지점$에서 잘 $전문화$된다.
• $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 각 지점 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$에서$$전문 시스템[(), P()> ${\displaystyle [T(u), P(u)_{>}}}}}}$은(는) 적어도 하나의 실제 0을 갖는다.

The zero set of ${\displaystyle R}$, denoted by ${\displaystyle Z_{\mathbf {k} }(R)}$, is defined as the set of points ${\displaystyle (u,y)\in \mathbf {k} ^{d}\times \mathbf {k} ^{n-d}}$ such that ${\displaystyle {\mathcal {Q}}(u)}$ is true and ${\displaystyle t(u,y)=0,p(u,y)>0}$, for all ${\displaystyle t\in T}$and all ${\displaystyle p\in P}$. Observe that ${\displaystyle Z_{\mathbf {k} }(R)}$ has dimension ${\displaystyle d}$ in the affine space ${\displaystyle \mathbf {k} ^{n}}$.

참고 항목

• 실물대수 기하학

참조