리드-프로스트 모델

리드-프로스트 모델은 존스홉킨스 대학의 로웰 리드(Lowell Reed)와 웨이드 햄튼 프로스트(Wade Hampton Frost)가 1920년대에 내놓은 전염병 수학 모델이다.^[1][2]원래 1928년 프로스트의 강연에서 발표되어 20년 동안 홉킨스의 강좌에서 사용되었지만, 이 수학적 공식은 1950년대에 이르러서야 출판되었는데, 이 역시 TV 에피소드로 만들어졌다.^[3]

역사

1920년대에 수학자 로웰 리드(Lowell Reed)와 의사 웨이드 햄튼 프로스트는 존스홉킨스 대학의 생물통계학 및 역학 수업에서 사용되는 질병 전파를 위한 이항 연쇄 모델을 개발했다.그들의 결과를 발표하지 않았음에도 불구하고, 몇몇 다른 학자들은 그들의 연구에서 그것들을 해냈다.^[4]1950년이 되어서야 수학적 공식화가 출판되어 전염병 이론이라는 제목의 텔레비전 프로그램으로 바뀌었다. 뭔데?^[3]

이 프로그램에서 로웰 리드는 모델의 공식 정의를 설명한 후 다른 색상의 구슬 실험을 통해 그 응용을 증명한다.^[3]

그 모델은 H.E가 제안한 것의 연장선이다. 1929년 홍역 환자였습니다.Soper의 모델은 결정론적이었는데, 그 결과 인구의 모든 구성원이 똑같이 질병에 걸리기 쉽고 질병을 전염시킬 수 있는 능력을 가지고 있었다.이 모델은 또한 대량 작용의 법칙에 기초하여, 주어진 시간의 감염률은 그 당시의 취약하고 전염되는 감염의 수에 비례하였다.적당히 큰 모집단에 효과적이지만, 같은 개인과 접촉하는 여러 감염병은 고려하지 않는다.따라서 작은 모집단에서 모델은 감염되는 취약성의 수를 크게 과대평가한다.^[5][6][7]

Reed와 Frost는 특정 취약성이 두 개 이상의 사례와의 접촉을 포함할 경우 하나의 새로운 사례만 생성된다는 사실을 설명하기 위해 Soper 모델을 수정했다.^[8]Reed-Frost 모델은 널리 사용되어 왔으며 보다 상세한 질병 전파 시뮬레이션 연구 개발의 기초가 되었다.^[9][10][11]

설명.

이것은 "사슬 이항체" 모델의 한 예로서, 전염병이 시간이 지남에 따라 어떻게 행동할 것인가에 대한 단순하고 반복적인 모델이다.

Reed-Frost 모델은 가장 단순한 확률론적 전염병 모델 중 하나이다.1928년 로웰 리드(Lowell Reed)와 웨이드 프로스트(Wade Frost)에 의해 공식화되었으며(발표되지 않은 작품에서) 세대별로 감염의 진화를 기술하고 있다.세대 t(t = 1,2,...)에서 감염된 각 개인은 모집단의 각 취약한 개인을 어느 정도 확률 p로 독립적으로 감염시킨다.세대 t에 의해 개인에 의해 감염되는 개인은 t + 1세대를 구성하고 세대 t에 감염된 개인은 전염병 과정에서 제거된다.^[12]

Reed-Frost 모델은 다음과 같은 가정을 바탕으로 한다.^[13]

1. 감염은 특정 유형의 접촉("적절한 접촉")에 의해 감염된 개인으로부터 다른 개인으로 직접 전파되며 다른 방법은 없다.
2. 그룹에서 면역자가 아닌 사람은 특정 기간 동안 감염 개인과 접촉한 후에 감염이 발생하고 다음 기간 내에만 다른 사람에게 감염된다. 이후 기간에는 완전히 영구적으로 면역된다.
3. 각 개인은 한 시간 간격 내에 그룹의 다른 특정 개인과 적절하게 접촉할 확률을 고정하며, 이 확률은 그룹의 모든 구성원에 대해 동일하다.
4. 개인은 그룹 밖의 다른 사람들과 완전히 분리되어 있다.(폐쇄 인구다.)
5. 이러한 상태는 전염병 중에도 일정하게 유지된다.

초기 설정에는 다음과 같은 파라미터가 있다.

• 모집단 규모
• 이미 면역된 개인 수
• 건수(보통 1로 설정)
• 적절한 접촉 확률

이 정보로 간단한 공식을 통해 다음 시간 간격에 얼마나 많은 개인이 감염될 것인지, 그리고 얼마나 많은 면역자가 감염될 것인지를 계산할 수 있다.이것은 전체 인구가 면역력이 있거나, 감염되는 개인이 남아 있지 않을 때까지 반복된다.그런 다음 초기 조건을 조정하여 반복적으로 모델을 실행하면 이것이 전염병의 진행에 어떤 영향을 미치는지 확인할 수 있다.

적절한 접촉 확률은 기본 생식 번호인 R과₀ 대략 일치한다 – 초기 감염자 수가 적을 때$,$ 감염된 개인은 ${\displaystyle R_{\mathrm{}}}$ $0{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$= ${\displaystyle \ln }$⁡ (${\displaystyle 1}$/${\displaystyle p}$ $displaystyle {\mathcal{R}}=\ln(1/(1-p)})}$의 새로운$$ 경우를 일으킬 것으로 예상된다.

수학

Let $I{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$는 $시간$ t ${\displaystyle t}$의 감염 사례 수를 나타내며$,$ 모든 사례가 정확히 한 번에 복구되거나 제거된다고 가정한다.Let $S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$는 $시간{\displaystyle }$ t ${\displaystyle t}$의 취약한 개체 수를 나타내며$$$,$ $B{\displaystyle \mathcal{}(x}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle$ {\$b}}($$x)$는 $확률{\displaystyle \mathrm{}}$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyty$ x}, $확률$ 0$$${\displaystystyle 0$}을$$$$ 가진 1을 반환하는 베르누이 랜덤 변수가 되도록$$ 한다.y $1{\displaystyle \mathrm{}}$- ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1-x$ 임의변수 곱하기 규칙을 사용하여 Reed-Frost 모델을 다음과 같이 작성할 수 있다.

${\displaystyle {\reasoned}I_{t+1}&=\sum _{k=0}^{S_{t}}{\mathcal{B}(1-p)^{{\mathcal{B}}}{{{p}}}}}{{{k=0}}}}}}}}}{p}}}I_{t})\\S_{t+1}&=S_{t}-I_{t+1}\end{aigned}}}$

감염되기 쉬운 초기 개체 수$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ I ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle(S_{0}),$$I_{0}}$이(가) 제공됨.여기서 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$는 한 번의 시간 단계에서 사람이 다른 사람과 접촉하게 되고 그 접촉이 질병 전염으로 이어질 확률이다$$.

결정론적 한계는 (임의 변수를 기대값으로 대체함으로써 발견됨)

${\displaystyle {\reasoned}I_{t+1}&=S_{t}\,(1-(1-p)^{I_{t})\\S_{t+1}&=S_{t}\,(1-p)^{I_{{t}}\end{aigned}}$

참고 항목

• 케르맥-맥켄드릭 이론
• 감염병의 수학적 모델링

참조