레일리 지수 반복

Rayleigh quotient iteration은 점점 더 정확한 고유값 추정치를 얻기 위해 Rayleigh quotient를 사용하여 역반복의 개념을 확장하는 고유값 알고리즘이다.

Rayleigh 지수 반복은 반복적인 방법, 즉 한계에서 진정한 솔루션으로 수렴되는 일련의 근사 해답을 전달한다.매우 빠른 수렴이 보장되며 합리적인 근사치를 얻기 위해 실무에서 몇 번 이상 반복할 필요가 없다.Rayleigh 지수 반복 알고리즘은 분석 중인 행렬의 고유 벡터에 충분히 가까운 초기 벡터가 주어진 경우, Emidantian 또는 대칭 행렬에 대해 입체적으로 수렴한다.

알고리즘.

알고리즘은 역반복과 매우 유사하지만, 각 반복이 끝날 때 추정된 고유값을 레일리 인수로 대체한다.먼저 일부 값 ${\displaystyle {\mu \mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$을 Emitial matrix $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$에 대한 초기 고유값 추측으로$$ 선택하십시오$.$ 초기 벡터 b ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$도 초기 고유 벡터 추정치로 제공되어야 한다$$.

다음을 기준으로$$ 고유 벡터 $b{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$의 다음 근사치를 계산한다.

${\displaystyle b_{i+1}={\frac {(A-\mu _{i}I)^{-1}b_{i}}{\}}{{-1}b_{i}}^{1}b_{i}}},}$
여기서 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$은(는) ID 행렬이며 고유값의 다음 근사치를 다음과 같은 현재 반복의 Rayleigh 몫으로 설정한다.
${\displaystyle \mu _{i+1}={\frac {b_{i+1}^{*}Ab_{i+1}:{b_{i+1}^{*}b_{i+1}.}$

둘 이상의 고유값을 계산하기 위해 알고리즘을 디플레이션 기법과 결합할 수 있다.

매우 작은 문제의 경우 행렬을 애드주게이트로 역행하는 것이 이롭다는 점에 유의하십시오. 애드주게이트는 관련 없는 척도(특히 결정요인의 역행)까지 역행과 같기 때문에 동일한 반복을 산출하게 된다.애드주게이트는 역수(작지 않은 문제에 대해서는 역수를 벡터에 적용하기 쉬우나)보다 명시적으로 계산하기 쉽고, 고유값 수렴으로 잘 정의되어 있기 때문에 수적으로 더 건전하다.

예

행렬 고려

${\displaystyle A=\왼쪽[{\begin{matrix}1&2&3\\1&1\3&1\\3&1\\end{matrix}\오른쪽]}$

정확한$$ 고유값은 ${\displaystyle {corresponding\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 3\sqrt{\mathrm{}}}$+ 5 ${\$${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$2 $=$${\displaystyle 3}$ - ${\displaystyle 5\sqrt{\mathrm{}}}${\$displaystyle \pa$\${\displaystyle \mathrm{2-}}$${\sqrt{5}},$ ${\displaystyle {\lambda \mathrm{}}_{}}$ 3${\displaystyle {}_{}}$=$$2$${\$displaystyleda \{3}이다.$

${\displaystyle v_{1}=\left[{\begin{matrix}1\\\varphi -1\\1\\\end{matrix}}\right]}$, ${\displaystyle v_{2}=\left[{\begin{matrix}1\\-\varphi \\1\\\end{matrix}}\right]}$ and ${\displaystyle v_{3}=\left[{\begin{matr$$ix}1\\0\\\1\\$end${nd}\오른쪽]}$.

(여기서 $\phi {\displaystyle }$= ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$+ ${\displaystyle \frac{5}{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle \frac{2\sqrt{\mathrm{}}}{}}$ ${\$가 황금비임)

The largest eigenvalue is ${\displaystyle \lambda _{1}\approx 5.2361}$ and corresponds to any eigenvector proportional to ${\displaystyle v_{1}\approx \left[{\begin{matrix}1\\0.6180\\1\\\end{matrix}}\right].$$}$

우리는 초기 고유값 추측으로 시작한다.

${\displaystyle b_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$=${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 1\begin{array}{c}\mathrm{}\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{}1\\ \mathrm{}\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{}]\end{array}}$ ,${\displaystyle {\mu \mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 200}$ ${\displaystyle b_{0}=\왼쪽[{\put}1\\\1\\\$end{1\\\$nd{1$\nd$}\nd$}\right], $~\mu _{0}=200}$.

그 후, 첫 번째 반복은

${\displaystyle b_{1}\cHB\cHB\\\\\\\\\\\\\\\\\mu_{1}\{1}\cHB}\reason[0.57927\\-0.57927\\end}\right]~\mu _{1}\ 약 5.33555}$

두 번째 반복,

${\displaystyle b_{2}\company \left[{\put}{0.64676\\0.40422\\0.64676\\\end{pend}\right]~\mu _{2}\ 약 5.2418}$

그리고 세번째는

${\displaystyle b_{3}\cHB\{\protect}-0.64793\\-0.40045\\-0.64793\\end{prot}\right]~\mu _{3}\약 5.2361}$

입방체 수렴 현상이 뚜렷하다.

옥타브 구현

다음은 옥타브 알고리즘의 간단한 구현이다.

x기능))rayleigh(A, 엡실론, 뮤, 음)x)/, 옥타브%백 슬래시 교환수는 선형계 y=(A-뮤*눈(수()))\와 같이 x를 해결한다;람다 = y의*x;mu)/실수를 범하다 람다)+1뮤 norm())norm(y-*람다))/norm(y)는 동안 추구>엡실론)= y/norm(y), y=(A-뮤*눈(수()))\와 같이 x, 람다 = y의*x;mu)+1/어 람다 뮤.r) norm(y - 람다 * x) / norm(y) 엔드 엔드 엔드

참고 항목

• 파워 반복
• 역반복

참조

• 로이드 N.Trefethen과 David Bau, III, 수치 선형 대수학, 산업 및 응용 수학 협회, 1997. ISBN0-89871-361-7.
• 레이너 크레스, 1991년 스프링거 "수치적 분석"ISBN 0-387-98408-9