파티션 순위

파티션의 순위(영 다이어그램으로 표시됨)

2005년 프리먼 다이슨

수학에서, 특히 숫자 이론과 콤비네이터의 분야에서, 양의 정수 칸막이의 순위는 칸막이와 관련된 특정한 정수다.사실 적어도 두 가지 다른 계급의 정의가 문헌에 나타난다.이 글의 대부분을 다루는 첫 번째 정의는 칸막이의 서열은 칸막이의 가장 큰 부분으로부터 칸막이의 부품 수를 빼서 얻은 숫자라는 것이다.이 개념은 프리먼 다이슨이 잡지 유레카에 게재한 논문에서 소개한 것이다.^[1]인도의 수학 천재 스리니바사 라마누잔이 발견한 칸막이 함수의 특정 일치 성질에 대한 연구의 맥락에서 제시되었다.같은 이름을 공유하는 다른 개념은 콤비네이터에 사용되는데, 여기서 계급은 칸막이의 더피 사각형의 크기로 취해진다.

정의

양의_{k − 1} 정수 n의 분할에 의해 우리는 다음과 같은 두 조건을 만족하는 양의 정수 finite_k = { ,, ,, . . . . } }의₁ 유한한 다수를 의미한다.

λ_k ≥ . . . ≥ λ₂ ≥ λ₁ > 0.
λ_k₂ + . . . + + + = = n₁.

만약 λ_k, . . . . . λ₂, λ이₁ 구별된다면, 즉 if가 구별된다.

λ_k > . . . > λ₂ > λ₁ > 0

그 다음 칸막이 λ은 n의 엄격한 칸막이라고 불린다.정수 λ_k, λ_{k − 1}, ..., λ은₁ 칸막이의 부분이다.칸막이 λ의 부품 수는 k이고 칸막이에서 가장 큰 부분은 λ이다_k.칸막이 λ(일반적이든 엄격하든)의 순위는 λ_k - k로 정의된다.^[1]

n의 칸막이의 순위는 다음과 같은 값을 가지며 다른 값은 가지지 않는다.^[1]

n - 1, n -3, n -4, . . 2, 1, 0, -1, -1, -2, . . . . -(n - 4) -(n - 3,) -(n - 1)

다음 표는 숫자 5의 다양한 칸막이의 순위를 나타낸다.

정수 5의 파티션 순위

칸막이 (λ)	가장 큰 부분 (λ_k)	부품수 (k)	파티션의 순위 (1998_k - k )
{ 5 }	5	1	4
{ 4, 1 }	4	2	2
{ 3, 2 }	3	2	1
{ 3, 1, 1 }	3	3	0
{ 2, 2, 1 }	2	3	−1
{ 2, 1, 1, 1 }	2	4	−2
{ 1, 1, 1, 1, 1 }	1	5	−4

공증

다음 공명은 주어진 순위를 가진 파티션의 수를 지정하는 데 사용된다.n, q를 양의 정수로 하고 m을 어떤 정수로 한다.

n의 총 파티션 수는 p(n)으로 표시된다.
순위 m을 가진 n의 파티션 수는 N(m, n)으로 표시된다.
m m modulo q에 해당하는 n의 파티션 수는 N(m, q, n)으로 표시된다.
n의 엄격한 칸막이의 수는 Q(n)로 표시된다.
등급 m을 가진 n의 엄격한 칸막이의 수는 R(m, n)으로 표시된다.
m m modulo q에 해당하는 랭크를 가진 n의 엄격한 칸막이의 수는 T(m, q, n)로 표시된다.

예를 들어,

p(5) = 7, N(2, 5) = 1, N(3, 5) = 0, N(2, 2, 5) = 5 .

Q(5) = 3, R(2, 5) = 1, R(3, 5) = 0, T(2, 2, 5) = 2.

몇 가지 기본적인 결과

n, q를 양의 정수로 하고 m을 어떤 정수로 한다.^[1]

$N(m,n)=N(-m,n)$
$N(m,q,n)=N(q-m,q,n)$
$N(m,q,n)=\sum _{r=--\infit }^{\n(m+rq,n)$

라마누잔의 응집과 다이슨의 추측

스리니바사 라마누잔은 1919년에 발표된 논문에서 파티션 함수 p(n)와 관련된 다음과 같은 합치성을 입증했다.^[2]

p(5n + 4) ≡ 0 (mod 5)
p(7n + 5) ≡ 0 (mod 7)
p(11n + 6) ≡ 0 (mod 11)

다이슨은 이 결과에 대해 "5n + 4의 칸막이를 똑같이 많은 5개의 하위 클래스로 나눌 수 있다는 것을 증명할 수 있지만, 그 칸막이가 어떻게 만들어질 것인지에 대한 구체적인 아이디어가 없다는 증거로부터 받는 것은 만족스럽지 못하다"고 언급했다.우리는 기능 생성에 어필하지 않을 증거를 필요로 한다,^[1] . . . 다이슨은 스스로 설정한 임무를 완수하기 위해 칸막이의 계급에 대한 생각을 소개했다.그는 이 새로운 생각을 이용하여 다음과 같은 추측을 했다.

N(0, 5, 5n + 4) = N(1, 5, 5n + 4) = N(2, 5, 5n + 4) = N(3, 5, 5n + 4) = N(4, 5, 5n + 4)
N(0, 7, 7n + 5) = N(1, 7, 7n + 5) = N(2, 7, 7n + 5) = . . . N(6, 7, 7n + 5)

이러한 추측들은 1954년 앳킨과 스윈너튼-다이어에 의해 증명되었다.^[3]

다음 표는 정수 4 (5 × n + 4 with n = 0)와 9 (5 × n + 4 with n = 1)의 파티션이 어떻게 동일한 수의 하위 클래스로 분할되는지 보여준다.

정수 4의 파티션

파티션: 0등급을 매기다 (모드 5)	파티션: 1위를 차지하다 (모드 5)	파티션: 2위를 차지하다 (모드 5)	파티션: 서열 3위 (모드 5)	파티션: 4등급을 주다 (모드 5)
{ 2, 2 }	{ 3, 1 }	{ 1, 1, 1, 1 }	{ 4 }	{ 2, 1, 1 }

정수 9의 파티션

파티션: 0등급을 매기다 (모드 5)	파티션: 1위를 차지하다 (모드 5)	파티션: 2위를 차지하다 (모드 5)	파티션: 서열 3위 (모드 5)	파티션: 4등급을 주다 (모드 5)
{ 7, 2 }	{ 8, 1 }	{ 6, 1, 1, 1 }	{ 9 }	{ 7, 1, 1 }
{ 5, 1, 1, 1, 1 }	{ 5, 2, 1, 1 }	{ 5, 3, 1}	{ 6, 2, 1 }	{ 6, 3 }
{ 4, 3, 1, 1 }	{ 4, 4, 1 }	{ 5, 2, 2 }	{ 5, 4 }	{ 4, 2, 1, 1, 1 }
{ 4, 2, 2, 1 }	{ 4, 3, 2 }	{ 3, 2, 1, 1, 1, 1 }	{ 3, 3, 1, 1, 1 }	{ 3, 3, 2, 1 }
{ 3, 3, 3 }	{ 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1 }	{ 2, 2, 2, 2, 1 }	{ 4, 1, 1, 1, 1, 1 }	{ 3, 2, 2, 2 }
{ 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1 }	{ 2, 2, 2, 1, 1, 1 }	{ 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 }	{ 3, 2, 2, 1, 1}	{ 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 }

함수 생성

p(n)의 발생함수는 오일러가 발견하여 잘 알려져 있다.^[4]

\sum \{n=0}^{\p(n)x^{n}=\prod _{k=1}^{1}{1-x^{k}}}}}}

N(m, n)에 대한 생성 함수는 다음과 같다.^[5]

\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }N(m,n)z^{m}q^{n}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}}}{\prod _{k=1}^{n}(1-zq^{k})(1-z^{-1}q^{k})}}

Q ( n )에 대한 생성 함수는 다음과 같다.^[6]

{\displaystyle \sum \{n=0}^{\inflt }Q(n)x^{n}=\prod _{k=0}^{\fract{1}{1-x^{2k-1}}}}}}}}.

Q ( m , n )의 생성 함수는 다음과 같다.^[6]

\sum _{m,n=0}^{\infty }Q(m,n)z^{m}q^{n}=1+\sum _{s=1}^{\infty }{\frac {q^{s(s+1)/2}}{(1-zq)(1-zq^{2})\cdots (1-zq^{s})}}

대체 정의

콤비네이터학에서 파티션의 구순위는 다른 개념을 설명하기 위해 가끔 사용된다: 파티션의 λ의 순위는 λ이 각각 최소한 i 파트를 가지고 있는 가장 큰 정수 i이다.^[7]동등하게, λ에 대한 영 도표나 페러러 도표의 주 대각선 길이 또는 λ의 더피 광장의 측면 길이이다.

5개의 칸막이의 순위표는 아래와 같다.

정수 5의 파티션 순위

칸막이	순위
{ 5 }	1
{ 4, 1 }	1
{ 3, 2 }	2
{ 3, 1, 1 }	1
{ 2, 2, 1 }	2
{ 2, 1, 1, 1 }	1
{ 1, 1, 1, 1, 1 }	1

추가 읽기

순위 파티션 함수에 대한 점근 공식:^[8]
순위 함수에 대한 조합:^[9]
BG 순위에 대한 등급 일반화:^[10]

참고 항목

파티션의 크랭크

참조

^ ^a ^b ^c ^d ^e F. Dyson (1944). "Some guesses in the theory of partitions" (PDF). Eureka (Cambridge). 8: 10–15.
^ Srinivasa, Ramanujan (1919). "Some properties of p(n), number of partitions of n". Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. XIX: 207–210.
^ A. O. L. Atkin; H. P. F. Swinnerton-Dyer (1954). "Some properties of partitions". Proceedings of the London Mathematical Society. 66 (4): 84–106. doi:10.1112/plms/s3-4.1.84.
^ G.H. Hardy and E.W. Wright (1938). An introduction to the theory of numbers. London: Oxford University Press. p. 274.
^ Bringmann, Kathrin (2009). "Congruences for Dyson's ranks" (PDF). International Journal of Number Theory. 5 (4): 573–584. doi:10.1142/S1793042109002262. Retrieved 24 November 2012.
^ ^a ^b Maria Monks (2010). "Number theoretic properties of generating functions related to Dyson's rank for partitions into distinct parts" (PDF). Proceedings of the American Mathematical Society. 138 (2): 481–494. doi:10.1090/s0002-9939-09-10076-x. Retrieved 24 November 2012.
^ 스탠리, 리처드 P. (1999) 열거적 결합론, 제2권, 페이지 289.케임브리지 대학 출판부.ISBN 0-521-56069-1
^ Bringman, Kathrin (July 2009). "Asymptotics For Rank Partition Functions" (PDF). Transactions of the American Mathematical Society. 361 (7): 3483–3500. arXiv:0708.0691. doi:10.1090/s0002-9947-09-04553-x. S2CID 42465633. Retrieved 21 November 2012.
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^ Berkovich, Alexander; Garvan, Frank G. (2008). "The BG-rank of a partition and its applications" (PDF). Advances in Applied Mathematics. 40 (3): 377–400. arXiv:math/0602362. doi:10.1016/j.aam.2007.04.002. S2CID 7337479. Retrieved 21 November 2012.

[Dyson-1] F. Dyson (1944). "Some guesses in the theory of partitions" (PDF). Eureka (Cambridge). 8: 10–15.

[2] Srinivasa, Ramanujan (1919). "Some properties of p(n), number of partitions of n". Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. XIX: 207–210.

[3] A. O. L. Atkin; H. P. F. Swinnerton-Dyer (1954). "Some properties of partitions". Proceedings of the London Mathematical Society. 66 (4): 84–106. doi:10.1112/plms/s3-4.1.84.

[4] G.H. Hardy and E.W. Wright (1938). An introduction to the theory of numbers. London: Oxford University Press. p. 274.

[5] Bringmann, Kathrin (2009). "Congruences for Dyson's ranks" (PDF). International Journal of Number Theory. 5 (4): 573–584. doi:10.1142/S1793042109002262. Retrieved 24 November 2012.

[Maria-6] Maria Monks (2010). "Number theoretic properties of generating functions related to Dyson's rank for partitions into distinct parts" (PDF). Proceedings of the American Mathematical Society. 138 (2): 481–494. doi:10.1090/s0002-9939-09-10076-x. Retrieved 24 November 2012.

[7] 스탠리, 리처드 P. (1999) 열거적 결합론, 제2권, 페이지 289.케임브리지 대학 출판부.ISBN 0-521-56069-1

[8] Bringman, Kathrin (July 2009). "Asymptotics For Rank Partition Functions" (PDF). Transactions of the American Mathematical Society. 361 (7): 3483–3500. arXiv:0708.0691. doi:10.1090/s0002-9947-09-04553-x. S2CID 42465633. Retrieved 21 November 2012.

[9] Bringmann, Kathrin (2009). "Congruences for Dyson's rank" (PDF). International Journal of Number Theory. 5 (4): 573–584. doi:10.1142/S1793042109002262. Retrieved 21 November 2012.

[10] Berkovich, Alexander; Garvan, Frank G. (2008). "The BG-rank of a partition and its applications" (PDF). Advances in Applied Mathematics. 40 (3): 377–400. arXiv:math/0602362. doi:10.1016/j.aam.2007.04.002. S2CID 7337479. Retrieved 21 November 2012.

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