기수 힙

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기수 힙은 모노톤 priority 큐의 연산을 실현하기 위한 데이터 구조입니다.그런 다음 키가 할당되는 요소 세트를 관리할 수 있습니다.작업의 실행 시간은 가장 큰 키와 가장 작은 키 또는 상수의 차이에 따라 달라집니다.데이터 구조는 주로 크기가 기하급수적으로 증가하는 일련의 버킷으로 구성됩니다.

전제 조건

1. 모든 키는 자연수입니다.
2. 최대 키 - 최소.상수 C의 경우 키$${\(\$displaystyle\leq)$ C$$;
3. extract-min 연산은 단조롭습니다.즉, 연속되는 extract-min 콜에 의해 반환되는 값은 단조롭게 증가합니다.

데이터 구조 설명

가장 중요한 3가지 필드는 다음과 같습니다.

1. ${\displaystyle }$$b{\displaystyle }$ 크기 B : ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \lfloor }$ ${\displaystyle l}$$o$ g ( ${\displaystyle C}$+${\displaystyle 1}$ )${\displaystyle 1}$ +$$1 ( \ $display$ B : = \ $lfloor log$( C + 1)\$rfloor +$1 $)$의 b ${$ $display$ $style$ b$$}는 가장 낮은 인덱스로서0 을 $사용$하여 버킷을 저장합니다.
2. ${\displaystyle }$$크기{\displaystyle }$B +$$의 u$\displaystyle$ u$$$\$$displaystyle$ B$+1$최하위 인덱스로 0 포함) 버킷의 (하위) 경계를 저장합니다.
3. ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \mathrm{nu}}$ \ $displaystyle bNum$, 、 각 $요소{\displaystyle }$x { \ $displaystyle$ x$$}에$$ 대해 저장되는 버킷을 보관합니다.

위 그림은 데이터 구조를 보여줍니다.다음 불변 사항이 적용됩니다.

1. ${\displaystyle u}$[ i${\displaystyle }$] [$$i$\$ {\ b + $]{$ $displaystyle$$b$$$[ $i$$$]< u [ $i$${\displaystyle \mathrm{u}}$ + 1$$${\displaystyle }$]$또는{\displaystyle }$ ${\displaystyle [}$$u ]$의 값을 통해 b${\displaystyle }$[${\displaystyle i}$$$$]$의 키가 업 또는 다운됩니다.
2. ${\displaystyle u}$[ ${\displaystyle 0}$] $=$ ,$u$ [ ${\displaystyle 1}$]=$u$ [ $0$ + 1 ,${\displaystyle u}$ [ $B$]=$0$ $, u$ [ 0 ]+1$, u$ [ B ]=\$infty$$$${\displaystyle \}}$및$$ $0{\displaystyle \mathrm{}}$[ ${\displaystyle \mathrm{i}}$] -$u$ [ ${\displaystyle i}$ ] $2$ ${\displaystyle 2^{}}$ - $1$ [ $i$] 、 [ i$]$

한계치(및 버킷이 유지하는 범위)의 지수적 증가에 주목하는 것이 중요합니다.이와 같이 필드량의 로그 의존성은 두 키 값 사이의 최대 차이인 값 C가 됩니다.

운용

초기화 중에는 빈 버킷이 생성되고 $하한{\displaystyle }$u(불변 2에 따라)\$displaystyle$u(\displaystyle $u)$가 생성됩니다$$.$실행시간{\displaystyle }$ O$)\displaystyle$ O(B$)\}$

삽입 중 새 $요소{\displaystyle }$x {\$display$ $x$$}$가 버킷을 통해 오른쪽에서 왼쪽으로 선형으로 이동하고 k$x)$ {$displaystyle$k($x)}$의 새 요소는 왼쪽 버킷에 $해당{\displaystyle }$u [${\displaystyle i]k}$k$($ {$display$u[$i]\geq$ k$($$x)$ ; 실행 $시간{\displaystyle }$O$(B)$로 저장됩니다.

감소 키의 경우 먼저 키 값이 감소합니다(불변수에 대한 준수 검사).$그런{\displaystyle }$ 다음 b ${\displaystyle \mathrm{Nu}}$m { $style bNum$$$}필드를 사용하여 요소를 찾습니다.필요한 경우 삽입 조작과 유사하게 왼쪽으로 반복됩니다.실행 시간은 $O{\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$) {$displaystyle$O (1) $$（ amorated ） 。

extract-min 조작은 $버킷b{\displaystyle }$[ $]{$ $displaystyle$b [ $0$]에서$$ 요소를 삭제하고 반환합니다.$버킷{\displaystyle }$b [ $]{$ $display$ b [ 0 ]{ display b [ $0$]} 가$$ 아직 비어 있지 않은 경우는, 조작이 종료됩니다.그러나 빈 버킷이 비어 있으면 다음으로 큰 버킷이 검색되고 가장 작은 요소$k$가 $추적$되며${\displaystyle }$u [ $](\displaystyle$u [ $0$])가$$ k로 설정됩니다(단일성이 필요합니다).다음으로 불변수에 따라 버킷 경계가 재정의되고 새로 생성된 버킷에 대해 요소가 $b{\displaystyle }$[$]$ {$displaystyle$ b$[i$$]$ {i] {displaystyle O(1) } (변환)$실행시간{\displaystyle }$O (${\displaystyle 1}${ $displaystyle$O(1$)$} (변환)

표시된 경우 $필드{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \mathrm{Nu}}$ m$(\displaystyle bNum)$이 업데이트됩니다.

레퍼런스

• B.V. 체르카스키, A.V. 골드버그, C.실버스타인:버킷, 힙, 리스트 및 모노톤 우선 큐(추상) : 디스크리트 알고리즘에 관한8년간의 ACM-SIAM 심포지엄의 속행.1997년 1월, 페이지 83-92